Note sur un caractère de divisibilité

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

J.-C H . D UPAIN

Note sur un caractère de divisibilité

Nouvelles annales de mathématiques 2

^e

série, tome 6 (1867), p. 368-369

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NOTE SUR VN CARACTERE DE DIVISIBILITÉ;

PAR M. J . - C H . DUPAIN.

On a quelquefois besoin de reconnaître si un nombre N est divisible par un certain facteur p\ il peut arriver que cette recherche soit pénible, tandis que la division de N par p — i se ferait immédiatement de tête ; supposons que cette division donne pour quotient Q et pour reste R, on aura

N = ( / j - i ) Q + R ou N~^Q-f-R —Q.

i 2 3 ,J i . S . p-\-\)

En effet, on a

„_j = ' r ' 1.2 3 . p p—1 [ 1 . 2 j .(p—1) 2 \ p

= ' r 1

3 4 . .(p-t-*) ( ^ - i ) L 3 4 ..(^-+-1) 4 5 . . . G » - 4 - 2 ) J '

-—^—[

n-hp — 1) p—i^|_rt («-+-1). .(/i-t-/? — 2)

î 1 . la somme des n premiers termes est, par consequent, egale a

— 0 1 _ Ï - 2 . 3 . . . O - I

il en résulte que X 5 -. . est la limite de la somme des p — i 1.2.3 . .(/? — 1)

termes de la serie considérée G.

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( 3 6 9 )

Si R — Q est divisible par p⁹ le nombre N le sera aussi.

De même, si la division de N par p -\- i donnait pour quotient Q' et pour reste R', on aurait

N r z f / j + i l Q ' + R' ou N=:/>Q'-f-Q'4-R'.

Si Q' -f- R' est divisible par p, le nombre N lésera aussi.

Ces remarques, dent je ne connais pas le premier au- teur, peuvent être utiles.

Exemples :

^ = 310717, pz=6oi9 Q = 5i7, R = 5i7, R—-Q~o;

la division réussit.

N = 27944, p = 499, Q' = 55, R' = 444, Q' + R' = 4 9 9 ; la division réussit.

Autre application. — 208569 est-il divisible par 37?

On sait que

3 7 X 2 7 = 999, on fera

7 ^ 9 9 9 5 alors

Q' = 2o8, ^ = - 5 6 9 , Q'-+-R'=777.

On essaye la division de 777 par 37, et comme elle réussit, le nombre proposé est divisible par 37.

Note. — De là une règle pour trouver le reste d'une division dans la- quelle le diviseur est de la forme ioBdz 1.

Ann. de Mathémat., 2« série, t. VI. (Août 1867.)²4