Université de Bordeaux
Préparation à l’Agrégation interne Révisions d’algèbre élémentaire
Olivier Brinon
Table des matières
1. Compléments sur les ensembles 1
1.1. Relations d’ordre et relations d’équivalence 1
1.2. Le monoïdeN 2
1.3. Dénombrabilité 3
2. Algèbre générale 4
2.1. Extensions successives de la notion de nombre 4
2.2. Polynômes à une indéterminée sur un corps commutatifK 15
2.3. Fractions rationnelles sur un corps commutatifK 18
2.4. Décomposition en éléments simples 18
2.5. Éléments algébriques, éléments transcendants 19
2.6. Anneaux 24
Références 29
1. Compléments sur les ensembles 1.1. Relations d’ordre et relations d’équivalence.
Définition 1.1.1. SoitX un ensemble.
(1) Unerelation d’ordre surX est une relation binaireďsurX vérifiant les propriétés suivantes :
‚ xďx(réflexivité) ;
‚ pxďy et yďxq ñx“y(antisymétrie) ;
‚ pxďy et yďzq ñxďz(transitivité).
pour tousx, y, zPX. Le couplepX,ďq s’appelle unensemble ordonné. Lorsque deux éléments quelconques deX sont comparables (c’est-à-direp@x, yPXqxďy ouyďx), on dit que l’ordre esttotal. Si toute partie deX admet un plus petit élément (c’est-à-direp@AĂXq pDaPAq p@xPAqaďx), on dit que ďest unbon ordre. Un bon ordre est total, mais la réciproque est fausse en général.
(2) Unerelation d’équivalence surX est une relation binaireRsurX vérifiant les propriétés suivantes :
‚ xRx(réflexivité) ;
‚ xRyñyRx(symétrie) ;
‚ pxRy etyRzq ñxRz(transitivité).
pour tous x, y, z PX. La classe d’équivalence de xPX est alorsrxs :“ ty P X;xRyu. C’est une partie de X, et si x1, x2 P X, alors on a rx1s “ rx2s ou rx1s X rx2s “ ∅ : les classes d’équivalence forment donc une partition deX. Notons que cette partition détermine entièrementR: on axRyô rxs “ rys. L’ensemble quotient X{Rest la partie de PpXqconstituée par les classes d’équivalence. SiAPX{R, on aA“ rxspour toutxPA: un tel élémentxs’appelle unreprésentant deA.
Notons qu’il est parfois commode d’identifier une relation d’équivalenceRà l’ensemble tpx, yq PXˆX;xRyu ĂXˆX
(idem pour les relations d’ordre). Par exemple la relation d’égalité correspond à la diagonale ∆X ĂXˆX. Prendre garde que toute partie de XˆX ne définit pas une relation d’équivalence : il faut que les axiomes soient vérifiés (exercice : comprendre cette partie en termes de la partition associée).
Exemple 1.1.2. (1) Soit f: X Ñ Y une application. On définit une relation d’équivalence Rf sur X en posant x1Rfx2ôfpx1q “fpx2q. Par définition, les classes d’équivalence sont les préimages non vides des singletons.
(2) Soient Gun groupe et H ĂG un sous-groupe. On définit une relation d’équivalence surG en posantg1Rg2 ô g´11 g2 PH. Les classes d’équivalence sont les classes à gauche moduloH : ce sont les parties de la formegH. Bien entendu, on définit de façon analogue les classes à droite1.
Version du 18 novembre 2020
1. LorsqueH n’est pas distingué dansG, les relations d’équivalence (et donc les partitions) associées ne coïncident pas.
Définition 1.1.3. SiRest une relation d’équivalence sur un ensembleX, on dispose de lasurjection canonique πR:X ÑX{R
xÞÑ rxs.
Unsystème (complet) de représentants est une partie T ĂX telle que la restriction de πR à T induise une bijection TÑ„ X{R. Cela signifie que pour tout A P X{R, il existe un unique t P T tel que A “ rts, i.e. tel que t soit un représentant deA. Dans ce cas, tout élément deX est équivalent à un unique élément deT.
Remarque. Si on accepte l’axiome du choix, il existe toujours un système de représentants.
Proposition 1.1.4. SoientRune relation d’équivalence sur un ensembleX etf:X ÑY une application. Supposons quex1Rx2ñfpx1q “fpx2q. Alors il existe une unique applicationfr:X{RÑY telle quef “fr˝πR.
Démonstration. Si A PX{R, il existe xP X tel que A“ rxs : si frexiste, on a nécessairement frpAq “fpxq, ce qui montre l’unicité defr. Pour l’existence, il suffit de vérifier quefpxqne dépend pas du choix du représentantxdeA, ce
qui résulte précisément de l’hypothèse surf.
Corollaire 1.1.5. (Décomposition canonique d’une application) Soitf:X ÑY une application. Il existe une unique applicationfr:X{Rf ÑfpXqtelle que f “ι˝fr˝πRf oùι:fpXqãÑY est l’inclusion. L’applicationfrest bijective.
X f //
πRf
Y X{Rf
fr //fpXq?OOι
Démonstration. f se factorise uniquement en f “ ι˝g où g: X Ñ fpXq est surjective. La proposition précédente appliquée àR“Rf fournit alors une unique application fr:X{Rf ÑfpXqtelle quef “ι˝fr˝πRf. Si x1, x2 PX sont tels quefrprx1sq “frprx2sq, alors fpx1q “fpx2qi.e.x1Rfx2 d’oùrx1s “ rx2s, ce qui montre que frest injective.
Elle est surjective parce quegl’est.
Proposition 1.1.6. SoitGun groupe (resp. Aun anneau). Les relations d’équivalence surG(resp. surA) qui sont compatibles avec la loi de groupe (resp. d’anneau) sont les relations modulo un sous-groupe distingué (resp. un idéal bilatère).
Démonstration. Soit R une relation d’équivalence sur G. Notons H la classe d’équivalence de l’élément neutre et π: GÑ G{Rla surjection canonique. SupposonsR compatible à la loi de groupe : cela implique que si g1, g2 PG, la classe πpg1g2q ne dépend que des classesπpg1q et πpg2q, et pas des représentants g1 et g2. Cela implique qu’on a une loi de composition interne bien définie sur G{R, définie par πpg1q ¨πpg2q “ πpg1g2q. Les propriétés de groupe
« passent au quotient » (vérification immédiate) : l’ensemble quotient est muni d’une loi de groupe telle que π soit un morphisme de groupes. Cela implique déjà queH :“Kerpπq est un sous-groupe distingué deG. Si g1, g2PG, on a alorsg1Rg2 ôπpg1q “πpg2q ôg1´1g2 PKerpπq “H ce qui montre que Rcoïncide avec la relation modulo H (à gauche ou à droite, c’est la même chose).
Pour les relations d’équivalence sur un anneau compatibles aux loi d’anneau, on procède de même, en se rappelant
que le noyau d’un morphisme de groupes est un idéal bilatère.
Exemple 1.1.7. Sif:GÑG1est un morphisme de groupes, alorsf induit un isomorphismeG{KerpfqÑ„ Impfq. On a des énoncés analogues pour les anneaux ou les espaces vectoriels.
Par exemple, l’application naturelleZÑ pZ{2Zq ˆ pZ{3Zqest un morphisme de groupes (et même d’anneaux, dont le noyau est6Z: en passant au quotient, elle induit un morphisme injectifZ{6ZÑ pZ{2Zq ˆ pZ{3Zq. C’est un isomorphisme par cardinalité. C’est un cas particulier du théorème des restes chinois (cf théorème2.1.31).
1.2. Le monoïdeN. On admet l’existence d’un ensembleN(desentiers naturels) vérifiant les axiomes suivants (dits de Peano) :
(1) N contient un élément0(en particulierN n’est pas vide) ;
(2) il existe une applications: NÑN(successeur), ayant les propriétés suivantes : (i) 0RImpsq;
(ii) sest injective ;
(iii) siEĂNvérifie0PEet spEq ĂE, alorsE“N(axiome de récurrence).
On définit alors l’addition sur N par récurrence : si x, y P N, on pose x`0 “x et x`spyq “ spx`yq. Si on pose1 “sp0q, alors on a spxq “spx`0q “x`sp0q “x`1, de sorte que spxq “x`1. De même la multiplication est définie par récurrence parx0“0et xspyq “xy`x. On vérifie facilement que l’addition et la multiplication sont commutatives, associatives et que la multiplication est distributive sur l’addition.
On munitN d’une relation d’ordre en posant
xďyô pDzPNqy“x`z.
(montrer-le). On vérifie facilement queďest compatible à l’addition et à la multiplication.
Proposition 1.2.1. ďest un bon ordre surN, en particulier c’est un ordre total.
2
Démonstration. Commençons par montrer que c’est un ordre total : soientx, yPN. Montrons par récurrence sury quexďy ouyďx. Siy“0, alorsyďx: supposons y‰0. Six“0, alorsxďy : on peut supposer quex‰0. Par hypothèse de récurrence, on ax´1ďy´1ouy´1ďx´1, et doncxďyouyďx, ce achève la récurrence.
SoitAĂN une partie non vide : il s’agit de montrer queAadmet un plus petit élément. CommeA est non vide, il existenPNtel quenPA. PosonsEn“ txPN;xďnu. Comme l’ordre est total, il suffit de montrer queAXEn a un plus petit élément. Il s’agit donc de vérifier que pour toutnPN, l’ensembleEn muni de la relation d’ordre induite parďest bien ordonné : on procède par récurrence surn. Lorsquen“0, on aE0“ t0u, et c’est évident. Supposons n‰0et soitBĂEn non vide. SinRB, alorsBĂEn´1 et l’hypothèse de récurrence implique queB a un plus petit élément. Supposons donc quen PB. Si B “ tnu, c’est évident : supposons en outre B ‰ tnu. Alors Bztnu est une partie non vide En´1 : l’hypothèse de récurrence implique que Bztnu a un plus petit élément, qui est aussi le plus
petit élément deB.
1.3. Dénombrabilité.
Définition 1.3.1. (1) SinPN, on poserr1, nss “ txPN; 1ďxďnu(c’est l’ensemble vide lorsquen“0).
(2) Un ensembleX est fini s’il existe nPN et une bijection XÑrr1, nss. L’entier„ n est alors unique est s’appelle le cardinal deX.
(3) Un ensemble estdénombrable s’il est fini ou en bijection avecN.
Remarque. (1) Généralement, on dit que deux ensemblesX et Y ontmême cardinal s’il existe une bijection XÑ„ Y. (2) L’unicité du cardinal d’un ensemble fini résulte du fait que si n et m sont des entiers et rr1, nss Ñ rr1, mss une injection, alorsnďm. Il se montre par récurrence sur m: si m“0, cela résulte qu’il n’y a aucune application d’un ensemble non vide dans l’ensemble vide. Supposonsm‰0et soitf:rr1, nss Ñ rr1, mssinjective. Il n’y a rien à faire si n“0: supposonsn‰0. Soitτla transposition qui échangefpnqetm: quitte à remplacerf parτ˝f, on se ramène au cas oùfpnq “m. Par restriction,f induit alors une injectionrr1, n´1ss Ñ rr1, m´1sset l’hypothèse de récurrence impliquen´1ďm´1, d’où nďm.
(3) Un ensembleX est dénombrable s’il existe une application injectiveX ÑN. Cela résulte du fait qu’une partie infinie deNest en bijection avecN(exercice2).
Proposition 1.3.2. NˆN est dénombrable (et doncNd est dénombrable pour toutdPN).
Démonstration. Il s’agit de numéroter les éléments deN2. On se promène dans un quadrant diagonale par diagonale.
0‚
1‚
2‚
‚3
‚4 5‚
6‚
‚7
‚8
On pose fp0q “ p0,0q, fp1q “ p1,0q, fp2q “ p0,1q, fp3q “ p2,0q, fp4q “ p1,1q, fp5q “ p0,2q, fp6q “ p3,0q... On numérote ainsi tous les couples d’entiers naturels. L’application réciproque est donnée par
f´1pn, mq “m`
n`m´1
ÿ
k“0
pk`1q “pn`mq2`n`3m 2
Corollaire 1.3.3. Qest dénombrable.
Démonstration. Tout rationnel s’écrit de façon unique comme fraction réduite x“ pq où qP Ną0 et pgcdpp, qq “ 1.
L’applicationf: QÑZˆN;xÞÑ pp, qqest injective, c’est une bijection sur son image, un sous-ensemble deZˆN.
CommeZˆNest dénombrable,Ql’est aussi.
Proposition 1.3.4. Soient Ω un ensemble et pXnqnPN une suite de parties dénombrables de Ω. Alors Ť8
n“0
Xn est dénombrable.
Démonstration. Pour nPN, posons Yn “XnzpX1Y ¨ ¨ ¨ YXn´1q: on a
8
Ť
n“0
Xn“
8
Ť
n“0
Yn et lesYn sont deux à deux disjoints. PournPN, soitfn:Xn ÑNune injection. PourxPYn, posonsfpxq “ pn, fnpxqq. On obtient une injection f:
Ť8
n“0
YnÑNˆN : la proposition1.3.2implique que Ť8
n“0
Xn est dénombrable.
2. SoitAĂNune partie infinie. On construit par induction des suitespanqnPNetpAnqnPNoùAnest une partie deA0“A,an est le plus petit élément deAn estAn`1 “Anztanu. C’est possible parce queAétant infini, il en est de même de chaqueAn. On a alors anăan`1 pour toutnPN, ce qui implique que l’applicationnÞÑanest une application injectiveNÑA. Elle est surjective parce que aněnpour toutn, ce qui montre queAX t0, . . . , nu Ă ta0, . . . , anu.
3
Exercices.
(1)QrXs est dénombrable.
(2) L’ensemble des parties finies deNest dénombrable.
(3)QXr0,1setQXr0,1rsont en bijection.
Théorème 1.3.5. (Cantor)Rn’est pas dénombrable.
Démonstration. Il suffit de trouver un sous-ensemble A Ă R qui n’est pas dénombrable. Notons A l’ensemble des éléments de s0,1r dont le développement décimal ne comporte que des 1 et des 8 après la virgule. On raisonne par l’absurde : supposons qu’il existe une bijectionf: NÑA. Pour chaquenPN, on peut écrire
fpnq “0.an,1an,2an,3. . . oùan,k vaut1 ou8. Soientxle réel dont le développement décimal est
x“0.a1,1a2,2a3,3. . .
ety “1´x. AlorsyPA, car le développement décimal dey présente un 1 (resp. un8) là où celui dexprésente un 8(resp. un 1). Il existe doncnPNtel quefpnq “y. Or le n-ième chiffre dey vaut9´an,n, alors que celui defpnq
vautan,n : contradiction.
Théorème 1.3.6. (Cantor)SoitX un ensemble. Il n’existe pas de surjectionX ÑPpXq.
Démonstration. Soitf:X ÑPpXqune surjection. PosonsA“ txPX; xRfpxqu : on aAPPpXq. Commef est surjective, il existex0 PX tel que A“fpx0q. Si x0 PA, alors x0 Rfpx0q “A, ce qui est absurde. Si x0 RA, alors x0Pfpx0q “A, ce qui est absurde. L’existence def est donc contradictoire.
Remarque. Cela fournit une autre rédaction de la non dénombrabilité deR : le développement diadique fournit une bijection 2Nz2pNq „Ñr0,1r (la partie 2pNq correspondant aux développements non admissibles, c’est-à-dire aux suites qui valent1à partir d’un certain rang). Comme2pNq“
À8
n“1
2rr1,nss est dénombrable en vertu de la proposition1.3.4, la non dénombrabilité der0,1r(et donc deR) résulte de la non dénombrabilité de2N “PpNq(cf théorème1.3.6).
Théorème 1.3.7. (Cantor-Bernstein).Soientf:X ÑY et g:Y ÑX deux applications injectives. Alors il existe une bijectionXÑ„Y.
Démonstration. L’idée consiste à construire une partieAĂX telle que gpYzfpAqq “XzA: l’applicationh: X ÑY définie par
hpxq “
#fpxq sixPA g´1pxq sixRA est alors bien définie et une bijection.
CommeXzA “gpYzfpAqq Ă gpYq, on a A ĄA0 :“XzgpYq. On a alors fpA0q ĂfpAq, d’où YzfpA0q Ą YzfpAq, et donc gpYq Ą gpYzfpA0qq Ą gpYzfpAqq “ XzA, de sorte que A0 Ă A1 :“ XzgpYzfpA0qq Ă A en passant aux complémentaires. Cela suggère de définir la suitepAnqnPN en posantAn`1“XzgpYzfpAnqqpour toutnPN.
SinPNą0vérifieAn´1ĂAn, on afpAn´1q ĂfpAnq, d’oùYzfpAn´1q ĄYzfpAnq, etgpYzfpAn´1qq ĄgpYzfpAnqq, et doncAn ĂAn`1en passant aux complémentaires. Par récurrence, la suitepAnqnPN est donc croissante. On montre de même que siAexiste, alorsAnĂApour toutnPN : cela suggère de poserA“
Ť8
n“0
An (c’est en quelque sorte le choix minimal pourA).
On a XzA “ Ş8
n“0
pXzAn`1q “ Ş8
n“0
gpYzfpAnqq “g´ 8
Ş
n“0
pYzfpAnqq
¯
(la dernière égalité parce que g est injective).
Comme Ş8
n“0
pYzfpAnqq “Yz Ť8
n“0
fpAnq “YzfpAq, il en résulte queXzA“gpYzfpAqq, comme requis.
Exercices. (1) Soient E un ensemble non vide et x P E. Montrer que E est infini si et seulement s’il existe une bijectionEÑ„ Eztxu.
(2) Montrer que l’application
N2ÑN
pn, mq ÞÑ2np2m`1q ´1 est bijective.
(3) Montrer queNpNq (l’ensemble des suites d’entiers nuls à partir d’un certain rang) est dénombrable.
(4) Montrer queR2zQ2est connexe par arcs (on montrera que siA, BPR2zQ2, il existe une infinité d’arcs de cercle d’extrémitésAet B et inclus dansR2zQ2).
(5) Montrer queCardpRNq “CardpRq.
2. Algèbre générale 2.1. Extensions successives de la notion de nombre.
4
2.1.1. AnneauZdes entiers relatifs. Le monoïde additifNa un défaut : ce n’est pas un groupe (les éléments non nuls n’ont pas d’opposé). On l’enrichit donc en construisant le groupe associé de la façon suivante.
On munitX “NˆNde la relation binaireRdéfinie par
pa1, b1qRpa2, b2q ôa1`b2“a2`b1
On vérifie facilement qu’il s’agit d’une relation d’équivalence, et on poseZ“X{R.
Soitpa, bq PX. Sipa1, b1qRpa2, b2qdansX, alorspa`a1, b`b1qRpa`a2, b`b2q. Cela montre que la loi d’addition sur X“NˆNpasse au quotient, et fournit une loi de composition interne`surZ. Il est alors immédiat qu’il s’agit d’une loi de groupe abélien, pour laquelle la classe dep0,0q(notée0) est l’élément neutre. Sipa, bq PX, l’inverse (opposé) de la classe depa, bqest celle de pb, aq. Composée avec la surjection canonique, l’application N ÑX;aÞÑ pa,0q fournit une application injectiveNÑZ, compatible à l’addition. L’opposé de aPN dansZest la classe ´adep0, aq. Il en résulte alors que la classe depa, bq PX dansZn’est autre quea´b.
L’application N Ñ Z qu’on vient de construire jouit de la propriété universelle suivante : si G est un groupe et f: NÑGest un morphisme de monoïdes (c’est-à-dire tel quefp0q “eG etfpa`bq “fpaqfpbqpour touta, bPN), alors il existe un unique morphisme de groupesZÑGqui prolongef (il vérifie bien sûr fpa´bq “fpaqfpbq´1). En ce sens,Zest le « plus petit » groupe mono´’ide qui contientN. On dira qu’un élément deZestpositif s’il appartient à l’image deN.
On vérifie aisément que la multiplication deNs’étend de façon unique en une multiplication surZ: sia1, a2, b1, b2PN, il s’agit essentiellement de voir quepa1´b1qpa2´b2q “ pa1a2`b1b2q ´ pa1b2`b1a2q ne dépend que des classes de pa1, b1qet pa2, b2qdansZ, ce qui est trivial. Il n’est pas très difficile (mais un peu fastidieux) de vérifier que pZ,`, .q est un anneau commutatif, d’unité la classe1 dep1,0q. L’anneauZa la propriété universelle suivante : si A est un anneau unitaire, alors il existe un unique morphisme d’anneauxZÑA(il envoie nPNsurn1A“1A` ¨ ¨ ¨ `1A
looooooomooooooon
nfois
).
Observons enfin que la relation d’ordreďsurN se prolonge àZ: six, yPZ, il existenPN tel quex`n, y`nPN, et on a xďy ô x`nď y`n (par définition de ď, cela est indépendant de n). Bien entendu les règles de calcul (addition, multiplication par un entier positif) se vérifient aisément. SiaPZ, on pose|a| “maxta,´au PN.
2.1.2. Division euclidienne dansZet premières conséquences. La division euclidienne est le point de départ de l’arith- métique deZ.
Lemme 2.1.3. Toute partie non vide et minorée deZadmet un plus petit élément.
Démonstration. On sait que l’ordre sur N est bon. Soit A Ă Z non vide et minoré par x. Si x ě 0 alors A Ă N, et son plus petit élément dans N est aussi son plus petit élément dans Z. Supposons maintenant xă 0 et posons A´x“ ta´x;aPAu. SiaPA, on a xďai.e.0ďa´xd’oùA´xĂN. Soitble plus petit élément deA´x. Il existecPAtel queb“c´xet pour toutaPA, on abďa´x, de sorte quec“b`xest le plus petit élément deA
dansZ.
Remarque. Cela implique que l’ordre surZest total. Cependant, il n’est pas bon : l’ensembleZn’a pas de plus petit élément.
Théorème 2.1.4. (Division euclidienne dansZ).Soient aPZetb PZzt0u. Il existe un unique couple pq, rq P ZˆN tel que
a“bq`ret0ďră |b|.
Les entiersq etrsont appelés, respectivement, lequotient et lereste de ladivision euclidienne deaparb.
Démonstration. Preuve de l’existence. Sia“0, alors le couplep0,0qconvient. Supposons désormaisa‰0. Supposons bą0: posonsA“ tnPZ;nbąau. L’entierp|a|`1qbest un multiple debqui est strictement plus grand quea(en effet p|a| `1qbą |a|b“ |a| pb´1`1q ě |a| ěa). On a donc3A‰∅. Par ailleurs, sixă ´ |a|, on axbă ´ |a|bď ´ |a| ďa (vu quebě1), donc xRA. Cela montre queA est minoré par´ |a|. Soientn le plus petit élément deA (cf lemme 2.1.3) et q“n´1. Comme qăn, on a qbďaănb, ce qui montre que 0ďrăb avecr “a´qb: le couple pq, rq convient.
Sibă0, le cas traité ci-dessus montre qu’il existe un couplepq, rqtel que´a“qp´bq `ret 0ďră ´b. On a alors a“qb´r et´bă ´rď0: sir“0, le couplepq,0qconvient, et siră0, le couplepq´1, b´rqconvient.
Preuve de l’unicité. Supposonsa“q1b`r1 et a“q2b`r2 avec0ďr1, r2 ă |b|. On a alors pq1´q2qb“r2´r1, de sorte que´ |b| ă pq1´q2qbă |b|, soit encore0ď |q1´q2| |b| ă |b|, ce qui implique|q1´q2| ă1 d’oùq1“q2, et donc
r1“r2.
Théorème 2.1.5. Les sous-groupes deZsont les parties de la forme nZavecnPN.
Démonstration. Il est clair que si nP N, alors nZ est un sous-groupe deZ. Réciproquement, soit GĂ Zun sous- groupe. Supposons G ‰ t0u : l’ensemble GXNą0 n’est pas vide. Notons n son plus petit élément : on a n P G, donc nZĂ G. Six P G, soitx “qn`r la division euclidienne de x par n. Comme nZ ĂG, on a qn PG, donc r“x´qnPG. Comme0 ďr ăn, on a nécessairementr“0 par définition den, si bien quex“qnPnZ, ce qui
prouveG“nZ.
3. On vient de montrer queNest archimédien.
5
Remarque. L’entier nPNdu théorème est unique : c’est0lorsque G“ t0u, etmin`
GXNą0˘
lorsque G‰ t0u.
Corollaire 2.1.6. Les idéaux deZsont les parties de la forme nZavecnPN.
Démonstration. Les partiesnZsont les idéaux deZ. Réciproquement, siI ĂZest un idéal, c’est en particulier un
sous-groupe additif, donc de la formenZd’après le théorème2.1.5.
Remarque. Il en résulte que les quotients du groupe (et même de l’anneau, puisque sous-groupes et idéaux coïncident) deZsontZet lesZ{nZpournPNą0.
Définition 2.1.7. (1) SoitAun anneauintègre, commutatif et unitaire. On dit queAestprincipal si ses idéaux sont principaux,i.e.engendrés par un élément, c’est-à-dire de la formexAavecxPA(exercice : l’élémentxest alors défini de façon unique à multiplication par un élément inversible près).
(2) Soit Aun anneau unitaire. On sait qu’il existe un unique morphisme d’anneaux ZÑA. Son noyau est un idéal deZ: il existe un unique entiercPN tel que ce noyau soit cZ. Cet entier s’appelle lacaractéristique deA. Lorsque c“0, le morphismeZÑAest injectif. Lorsquecą0, il se factorise en un morphisme injectifZ{cZÑA(on dit que Aest de caractéristique positive).
Exemple 2.1.8. Qest de caractéristique nulle.pZ{6ZqrXsest de caractéristique6.
Exercice.La caractéristique d’un corps est soit0, soit un nombre premier (i.e.un élémentpPNą1qui n’a d’autres diviseurs dansN que1 et lui-même). SiKest un corps de caractéristiquepą0, le morphismeZÑK se factorise en un morphisme de corpsZ{pZÑK. SiKest de caractéristique nulle, il se prolonge de façon unique en un morphisme de corpsQÑK. Dans le premier cas (resp. le deuxième cas)Z{pZ(resp.Q) est le sous-corps premier deK.
Théorème 2.1.9. (Systèmes de numération).Soitb PNě2 (la base de la numération). Si aPN, il existe un unique élémentpanqnPN P t0, . . . , b´1upNqtel que a“
ř8
n“0
anbn (la somme est finie). Il s’agit de l’écriture de aen base b.
Démonstration. On procède par récurrence sur a, le cas a “0 étant trivial. Supposons aą 0. Si la décomposition existe, on a nécessairementa“a0`bqavecq“
ř8
n“1
anbn´1PN, de sorte quea0est le reste de la division euclidienne de apar b, et q le quotient. Comme b ą1 et a ą0, on a qă a: l’hypothèse de récurrence implique l’existence et l’unicité depanqnPNą0 P t0, . . . , b´1upNą0qtelle que q“
ř8
n“1
anbn´1, de sorte quea“ ř8
n“0
anbn.
Définition 2.1.10. Soienta, bPZnon tous les deux nuls. CommeZest principal, il existe des entiers positifs uniques d, mPNą0 tels queaZ`bZ“dZetaZXbZ“mZ. L’entierd(resp.m) est le plus grand commun diviseur (resp.
leplus petit commun multiple) deaet deb. On le notepgcdpa, bq(resp.ppcmpa, bq).
Par définition, il existeu, vPZtels que
pgcdpa, bq “au`bv.
Une telle écriture s’appelle uneégalité de Bézout. On dit queaetbsontpremiers entre eux lorsque pgcdpa, bq “1.
Remarque. Si pPNest premier etaPZzt0u, on apgcdpa, pq P t1, pu(car c’est un diviseur dep).
Théorème 2.1.11. (Algorithme d’Euclide).Soienta, bPZnon tous les deux nuls. Leur pgcd se calcule récursivement par l’algorithme suivant :
pgcdpa, bq “
#
|a| sib“0
pgcdpb, rq sib‰0, oùrest le reste de la division euclidienne deaparbsib‰0.
Remarque. Dans la pratique, on construit donc la suite des restes prnq0ďnďN telle que
#r0“a,
r1“b, rn`1est le reste de la division euclidienne dern´1 parrn sirn ‰0.
Son dernier terme non nul estpgcdpa, bq.
Démonstration. Par construction, rn`1ărn pour toutną0 tel quern ‰0. Il en résulte bien qu’il existeN PNą0 tel que la suiteprnq1ďnďN soit strictement décroissante, etrN “0. Par ailleurs, onpgcdprn`1, rnq “pgcdprn, rn´1q “ pgcdpa, bqpour toutnP t1, . . . , Nu, en particulier rN´1“pgcdpa, bq.
Remarque. Nombre d’étapes de l’algorithme d’Euclide. Rappelons que la suite de FibonaccipFnqnPN est définie par F0 “F1 “1 et Fn`1 “Fn`Fn´1 pour tout ną1. On aFn “ ?15`
φn`1´ p´φq´n´1˘
oùφ“ 1`
?5
2 est le nombre d’or (il en résulte queFn est l’entier le plus proche de φ?n`1
5 ).
Proposition 2.1.12. (Lamé).Soient0ăbăades entiers etdleur pgcd. Si l’algorithme d’Euclide appliqué à pa, bq termine enN étapes, alorsdFN`1ďaetdFN ďb.
Démonstration. On raisonne par récurrence. SiN “1, alorsaest un multiple deb: on ab“d“dF1etaě2d“dF2. SupposonsNą1: la première étape transformepa, bqenpb, a´qbqoùr“a´qbďa´b. Par hypothèse de récurrence, on a doncdFN ďb etdFN´1ďrďa´b, de sorte queaědFN´1`bědpFN´1`FNq “dFN`1.
6
Corollaire 2.1.13. Le nombre d’étapes dans l’algorithme d’Euclide appliqué à pa, bqtels que0 ăb ăaest majoré par1`32lnpbq.
Démonstration. D’après ce qui précède, cet entierN vérifiebědFN ěFN : il suffit de vérifier quenď 32lnpFNq `1
pour toutN PN.
En théorie et en pratique, il est très important de pouvoir trouver non seulement le pgcd de deux entiers0ăbăa, mais aussi une relation de Bézout. Pour ce faire, on applique l’algorithme d’Euclide étendu. Il est défini par trois suites prnq0ďnďN, punq0ďnăN et pvnq0ďnăN définies de la façon suivante. On initialise les suites en posantr0 “a, r1 “b, pu0, v0q “ p1,0qetpu1, v1q “ p0,1q. Ces suites étant connues au rangnavecrn‰0, soitrn´1“qnrn`rn`1la division euclidienne dern´1parrn. On pose alorspun`1, vn`1q “ pun´1, vn´1q ´qnpun, vnq. On l’a vu, il existeN PNtel que rN “0etrN´1“pgcdpa, bq. Une récurrence immédiate implique que pour toutnP t0, . . . , Nu, on arn “una`vnb: au rangn“N´1, cela fournit une égalité de Bézout.
Dans la pratique, il est commode de présenter l’algorithme sous forme d’un tableau de la façon suivante :
a 1 0
b 0 1 q1 ... ... ... ... rn un vn qn
... ... ... ...
Lan`1-ième ligne n’est alors que lan´1-ième moinsqn fois lan-ième (Ln`1ÐLn´1´qnLn).
Exemple 2.1.14. Trouver une relation de Bézout pourp57,13q: rn un vn qn
57 1 0
13 0 1 4
5 1 ´4 2
3 ´2 9 1
2 3 ´13 1
1 ´5 22
donc1“ p´5q ˆ57`22ˆ13.
Proposition 2.1.15. (Lemme de Gauss).Soient a, b, cPZtels que a|bcetpgcdpa, bq “1. Alorsa|c.
Démonstration. Soitau`bv“1une relation de Bézout : on aa|acu`bcv“c.
Proposition 2.1.16. (Bachet-Bézout). Soient a, b, c PZzt0uet d “pgcdpa, bq. Si d- c, l’ensemble des solutions de l’équation diophantienneax`by“cest vide. Sid|c, l’ensemble des solutions est de la forme
px0, y0q `k`b
d,´ad˘
;kPZ( .
Démonstration. La conditiond|cest évidemment nécessaire à l’existence de solutions : supposons-la remplie. Écrivons c“dn. Il existe une égalité de Bézoutu0a`v0b“d, de sorte queax0`by0“cavecpx0, y0q “npu0, v0q. Si maintenant px, yq est une solution, on a apx´x0q `bpy´y0q “0, d’où adpx´x0q “ ´bdpy´y0q. Comme pgcd`a
d,bd˘
“ 1, le lemme de Gauss implique que db |x´x0 : écrivons x´x0“ bdkavec kPZ. On a alorsy´y0 “ ´adk, de sorte que px, yq “ px0, y0q `k`b
d,´ad˘
.
2.1.17. Nombres premiers, factorisation des entiers.
Lemme 2.1.18. Soient a, bPZet pun nombre premier tels quep|ab. Alorsp|aoup|b.
Démonstration. Sip-a, on a pgcdpa, pq “1et le lemme de Gauss impliquep|b.
Théorème 2.1.19. Tout élément nP Zzt0u s’écrit de façon unique n“ ˘p1¨ ¨ ¨pr oùp1, . . . , pr sont des nombres premiers uniques à l’ordre près.
Démonstration. Existence. Comme n“ ´p´nq, il suffit de traiter le cas oùną0. On procède par récurrence. C’est trivial lorsquen“1 : on a alorsr“0(le produit est vide). Supposonsną1. Sinest premier, on ar“1et p1“n, sinon il existe m P N tel que m | n et 1 ă m ă n : on peut écrire n “ mmn. Comme m,mn ă n, l’hypothèse de récurrence implique l’existence dep1, . . . , psetps`1, . . . , prpremiers tels quem“p1¨ ¨ ¨pset mn “ps`1¨ ¨ ¨pr, de sorte quen“p1¨ ¨ ¨pr, ce qui achève la récurrence.
Unicité. Supposons qu’on a deux écrituresa“ ˘p1¨ ¨ ¨pr“ ˘q1¨ ¨ ¨qs. Montrons par récurrence sursque ce sont les mêmes à permutation des facteurs près. Le signe est celui de a : quitte à multiplier par ´1, on peut supposer que a ą 0. Si s “0, alors a “1, ce qui implique nécessairement r “ 0. Si s ą 0, alors qs divise le produit p1¨ ¨ ¨pr : d’après le lemme2.1.18, il existeiP t1, . . . , rutel queqs|pi, et doncpi“qs vu quepi etqs sont premiers. Quitte à renuméroter, on peut supposeri“r. En divisant par qs, on a doncp1¨ ¨ ¨pr´1“q1¨ ¨ ¨qs´1, et on peut conclure en
vertu de l’hypothèse de récurrence.
7
Définition 2.1.20. SoientnPZzt0uetpun nombre premier. On pose vppnq “max kPN; pk |n(
(c’est bien défini vu quepkąnet doncpk -nsik"0). L’entiervppnqs’appelle lavaluationp-adique den. On a donc vppnq ą0ôp|n. Il en résulte que l’ensemble des nombres premiersptels quevppnq ą0est fini, et une reformulation du théorème2.1.19est
n“signpnqź
pPP
pvppnq
oùPdésigne l’ensemble des nombres premiers (le produit a bien un sens car fini en vertu de ce qui précède).
On étendvpà Zen posant vpp0q “ `8.
Exercice.Propriétés des valuations. Six, yPZ, alors : (1)vppx`yq ěmintvppxq, vppyquavec égalité sivppxq ‰vppyq; (2)vppxyq “vppxq `vppyq;
(3) on ax|yô p@pPPqvppxq ďvppyq.
2.1.21. Congruences, anneaux quotientsZ{nZet premières applications.
Définition 2.1.22. SoitnPZzt0u. Deux entiersx, yPZsontcongrus modulonsiy´xPnZ: on note alors y”x modn.
Cela définit une relation d’équivalence surZ, qui n’est autre que la relation d’équivalence modulo l’idéalnZĂZ. Les classes d’équivalences sont les parties de la formex`nZ.
Le quotientZ{nZest un anneau. SixPZ, on notex“x`nZson image dans le quotient.
Remarque. Une congruence modulonest exactement la même chose qu’une égalité dansZ{nZ. Comme ce dernier a le bon goût d’être un anneau et comme il est plus léger de manipuler des égalités que des congruences, il est souvent bien plus commode de travailler dansZ{nZqu’avec des congruences.
Proposition 2.1.23. #pZ{nZq “n.
Démonstration. C’est une conséquence de la division euclidienne.
Remarque. Explicitement, on a Z{nZ “ t0,1, . . . , n´1u, mais il ne faut bien sûr pas confondre avec l’ensemble t0,1, . . . , n´1u.
Définition 2.1.24. Un groupe estcyclique s’il est isomorphe àZ{nZpournconvenable.
Exemple 2.1.25. Si nPNą0, notons Un“ tzPC;zn“1ule groupe des racinesn-ièmes de l’unité. L’application ZÑCˆ
kÞÑe2ikπn
est un morphisme de groupes surjectif, de noyaunZ: il se factorise en un isomorphismeZ{nZÑ„Un, ce qui montre queUn est cyclique.
Proposition 2.1.26. Les sous-groupes deZ{nZsont les quotientsdZ{nZpourdPNą0 divisantn. En particulier il y a bijection entre ces sous-groupes et l’ensemble des diviseurs de n. Idem en remplaçant « sous-groupes » par
« idéaux ».
Démonstration. Les sous-groupes de Z{nZ sont les parties de la forme H{nZ où H est un sous-groupe de Z qui contientnZ. Un tel sous-groupe est de la formedZ, et l’inclusionnZĂdZéquivaut àd|n.
Exercice.DéterminerHomgrpZ{nZ,Z{mZq.
Proposition 2.1.27. SoientnPZzt0uet xPZ. AlorsxP pZ{nZqˆ si et seulement sipgcdpx, nq “1.
Démonstration. On axP pZ{nZqˆsi et seulement s’il existe uPZtel quexu“1, soit encorexu”1 modn, ce qui équivaut à l’existence devPZtel quexu`nv“1, soit encorepgcdpx, nq “1.
Remarque. (1) Calcul explicite de l’inverse d’un élément depZ{nZqˆ. Soit xPZtel quexP pZ{nZqˆ,i.e.tel que pgcdpx, nq “1 : il existe une relation de Bézoutxu`nv “1. Dans Z{nZ, cela donnexu“1, de sorte que l’inverse dexest u(cela montre l’importance de l’algorithme d’Euclide étendu).
(2) SixPZ, alors on a les équivalences
pgcdpx, nq “1ôxP pZ{nZqˆô`
xengendre le groupe Z{nZ˘ .
Définition 2.1.28. Si nPNą0, on poseϕpnq “#pZ{nZqˆ. L’applicationϕs’appelle l’indicatrice d’Euler.
Proposition 2.1.29. SiαPNą0 etpest un nombre premier, on aϕppαq “ pp´1qpα´1. En particulier,ϕppq “p´1, de sorte queZ{pZest un corps.
8
Démonstration. Il s’agit de compter le nombre d’éléments de t0, . . . , pα´1u qui sont premiers àp : il s’agit de pα moins le nombre d’éléments qui sont divisibles par p, i.e.de la forme pk avec 0ďk ăpα´1. Cela montre donc que
ϕppαq “pα´pα´1“ pp´1qpα´1.
Exercice.Montrer queϕpnq “n´1 si et seulement sinest premier.
Théorème 2.1.30. (Euler).Si nPNą0et aPZest premier àn, on a aϕpnq”1 modn.
Démonstration. C’est le théorème de Lagrange appliqué au groupepZ{nZqˆ. Remarque. Lorsquen“pest premier, on retrouve le petit théorème de Fermat : siaPZest non divisible parp, on aap´1”1 modp.
Théorème 2.1.31. (Théorème des restes chinois).Soient a, bPZzt0u. Alorspgcdpa, bq “1 si et seulement si l’appli- cation naturelle
Z{abZÑ pZ{aZq ˆ pZ{bZq est un isomorphisme d’anneaux.
Démonstration. ‚ Supposonspgcdpa, bq “1. Notons f: ZÑ pZ{aZq ˆ pZ{bZqle morphisme naturel. SixPKerpfq, alorsa|xet b|y. Comme pgcdpa, bq “1, le lemme de Gauss implique que ab|x. Cela implique que Kerpfq “abZ, de sorte que l’applicationf se factorise en un morphisme injectif d’anneaux fr: Z{abZÑ pZ{aZq ˆ pZ{bZq. C’est un isomorphisme pour des raisons de cardinalité.
‚Réciproquement, supposons que l’application naturelleZ{abZÑ pZ{aZq ˆ pZ{bZqest un isomorphisme d’anneaux.
Cela implique l’existence dez PZtel quez ”0 modaet z ”1 modb : écrivonsz“au etz´1“bv. On a alors
1“au`bv, ce qui montre quepgcdpa, bq “1.
Remarque. (1) Bien entendu, une récurrence immédiate implique que sia1, . . . , ar P Zzt0u sont des entiers deux à deux premiers entre eux, alors l’application naturelle
Z{a1¨ ¨ ¨arZÑ pZ{a1Zq ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pZ{arZq est un isomorphisme d’anneaux.
(2) Le théorème est une équivalence. Par exemple,pZ{2Zq2 et Z{4Zne sont pas isomorphes, parce que le premier est tué par2, et le deuxième non.
(3) Soienta, bPZzt0upremiers entre eux. Il est important de savoir calculer l’antécédent depx, yq P pZ{aZqˆpZ{bZq.
On part d’une relation de Bézoutau`bv“1 : l’image deauestp0,1qet celle de bvestp1,0q. Celle debvx`auyest doncpx, yq: l’antécédent recherché est donc l’image debvx`auy moduloab.
Corollaire 2.1.32. Soienta, bPZzt0udeux entiers premiers entre eux. AlorspZ{abZqˆ „ÑpZ{aZqˆˆ pZ{bZqˆ. En particulier, on a4ϕpabq “ϕpaqϕpbq.
Il résulte de ce qui précède que si n P Ną0 a pour factorisation en produit de nombres premiers n “
r
ś
i“1
pαii (où p1, . . . , prsont des entiers premiers deux à deux distincts et αiPNą0 pour toutiP t1, . . . , ru), alors
ϕpnq “
r
ź
i“1
pαii´1ppi´1q “n
r
ź
i“1
`1´p1
i
˘.
Proposition 2.1.33. Soientpun nombre premier impair, etαPNą0. Alors le groupepZ{pαZqˆest cyclique.
Lemme 2.1.34. Soient G un groupe,x, yPGdeux éléments qui commutent et d’ordres n et m respectivement. Si pgcdpn, mq “1, alorsxyest d’ordrenm.
Démonstration. Commexetycommutent, on a bien sûrpxyqnm“` xn˘m`
ym˘n
“e, ce qui montre que l’ordre dexy divisenm. Réciproquement, sikPZest tel quepxyqk “e, alorse“ pxyqkm “xkmykm“xkm, ce qui montre quen divisekm. Comme pgcdpn, mq “1, le lemme de Gauss implique que n|k. On a de mêmem|k, d’oùnm|k, ce qui
achève la preuve.
Remarque. Aucune hypothèse n’est superflue.
Définition 2.1.35. Si Gest un groupe fini, l’exposant deGest le ppcmµpGqdes ordres de tous les éléments deG.
Lemme 2.1.36. Si Gest un groupe abélien fini, il existexPGd’ordreµpGq(en particulierµpGq |#G).
Démonstration. SoitµpGq “
r
ś
i“1
pαii la factorisation de µpGqen produit de nombres premiers (où p1, . . . , pr sont des entiers premiers deux à deux distincts etαiPNą0 pour toutiP t1, . . . , ru). Par définition, pour toutiP t1, . . . , ru, il existexiPGd’ordre divisible par pαii. En remplaçantxi par une puissance convenable, on peut supposerxi d’ordre pαii exactement. Le lemme2.1.34implique alors quex1¨ ¨ ¨xrPGest d’ordreµpGq.
4. On dit que l’applicationϕ: Ną0ÑCestmultiplicative.
9
Lemme 2.1.37. SoitK un corps commutatif. Tout sous-groupe fini deKˆ est cyclique.
Démonstration. Soit G ď Kˆ un sous-groupe fini. Notons d son exposant. D’après le théorème de Lagrange, les éléments de G sont racines du polynôme Xd´1. Dans un corps commutatif, un polynôme de degré d a au plus d racines : cela implique que#Gďd. Commed| #G, on a en fait #G“d. D’après le lemme 2.1.36, G contient un
élément d’ordred: il est cyclique.
Démonstration de la proposition2.1.33. ‚ Le lemme 2.1.37 appliqué à G “ pZ{pZqˆ et K “ Z{pZ implique que pZ{pZqˆ est cyclique (dans la pratique, il n’est pas du tout évident de trouver un générateur explicitement) : soit θ un générateur. SoitxPZ{pαZun antécédent deθ par la surjectionZ{pαZÑZ{pZ: on axP pZ{pαZqˆ. Comme θ est d’ordrep´1, l’ordre dexest divisible par p´1 : quitte à remplacer xpar une puissance, on peut supposerx d’ordrep´1 exactement.
‚Montrons que l’imagey dey“1`pest d’ordrepα´1 danspZ{pαZqˆ. Il s’agit de voir quep1`pqpα´1”1 modpα mais quep1`pqpα´2 ı1 modpα: il suffit de montrer que pour toutkPN, on avp
`p1`pqpk´1˘
“k`1, ce qu’on fait par récurrence sur k. Le cas k “ 0 est trivial : supposons k ą 0. Par hypothèse de récurrence, on peut écrire p1`pqpk´1 “1`pkλk avecλkPZzpZ. D’après la formule du binôme, on a
p1`pqpk “ p1`pkλkqp“1`pk`1λk`1
avecλk`1“
p´1
ř
i“1 1 p
`p
i
˘pkpi´1qλik`pkpp´1q´1λpk. On aλk`1´λk “
p´1
ř
i“2 1 p
`p
i
˘pkpi´1qλik`pkpp´1q´1λpk PpZcar ką0 et pą2, ce qui implique queλk`1RpZ, et achève la récurrence.
‚ Comme les ordres de x et y sont p´1 et pα´1, premiers entre eux, le lemme 2.1.34 implique que xy est d’ordre pp´1qpα´1“ϕppαq(cf proposition2.1.29) : c’est un générateur depZ{pαZqˆ. Remarque. On a pZ{2Zqˆ “ t1u, pZ{4Zqˆ “ t˘1u. Lorsque α ě3, le groupe pZ{2αZqˆ n’est pas cyclique. On montre comme plus haut que5est d’ordre2α´2danspZ{2αZqˆ (petite récurrence), puis que l’application
t˘1u ˆ pZ{2α´2q Ñ pZ{2αZqˆ pε, kq ÞÑε5k
est un isomorphisme. En utilisant le théorème des restes chinois, cela montre que les seules valeurs denPNą0 pour lesquellespZ{nZqˆ est cyclique sont celle de la forme2,4,pαet 2pαavecppremier impair etαPNą0.
Mentionnons quelques applications des anneauxZ{nZ.
Équations diophantiennes.Considérons l’équation diophantienne3x2`2“y2: modulo3, cela donney2“2dans Z{3Z. Comme les carrés deZ{3Zsont0 et1, il n’y a pas de solution.
Considérons l’équation diophantiennex2`y2“2019. Modulo4, on ax2`y2“3. Par ailleurs, on ax2, y2P t0,1u, de sorte quex2`y2P t0,1,2u: contradiction. L’équation n’a donc pas de solution. Par contrex2`y2“2020a des solutions (tp˘16,˘42q,p˘42,˘16q,p˘24,˘38q,p˘38,˘24qu). Les entiersntels que l’équation diophantienne x2`y2“na des solutions sont décrits dans la proposition2.6.31.
Un exemple classique est l’équation de Pell-Fermat : soitdPNą0 sans facteur carré. On s’intéresse aux solutions entières de l’équationx2´dy2“ ˘1, c’est-à-dire aux points à coordonnées entières sur la réunion des deux hyperboles d’équations x2´dy2 “1 et x2´dy2 “ ´1. On introduit Qp?
dq “ tu`v?
d;u, v PQu: c’est un sous-corps de R, extension de degré2deQ. L’équation se réécritNpx`
?dyq “ ˘1, où
N: KÑQ u`v?
dÞÑu2´dv2 (on aNpu`v?
dq “ pu`v?
dqpu´v?
dq, oùu´v?
dest la quantité conjuguée àu`v?
d). On dispose de l’anneau A“Zr?
ds ĂK: c’est l’ensemble desu`v?
davecu, vPZ. Tout le problème se ramène donc à déterminer l’ensemble desz“x`y?
dPAtels queNpzq P t˘1u,i.e.tels quezPAˆ. Cela montre en particulier que l’ensemble des solutions de l’équation a une strucure de groupe abélien. Un théorème général de théorie des nombres implique que ce groupe isomorphe àpZ{2Zq ˆZ. En particulier, il existe uneunité fondamentale z0“x0`y0
?dPAˆ telle que toute unité soit de la forme˘zk0 aveckPZ. En développant, on peut écrirez0k “xk`yk
?davecx,k, yk PZpour toutkPZ, et l’ensemble des solutions de l’équation est alorst˘pxk, ykqukPZ.
Exemple 2.1.38. Si d“2, une unité fondamentale estz0“1`?
2. Commez08“577`408?
2, le couplep577,408q est solution dex2´2y2“1.
10
1‚
‚´1
z0
‚ z0´1
‚
´z0´1
´z0 ‚
‚
z02
‚
´z0´2
‚
z0´2
‚
´z02
‚
Remarque. Si px, yq P Z2 est solution de l’équation x2´dy2 “ ˘1, avec x, y ą 0, on a x´y?
d “ x`y˘1?d, ce qui montre que
ˇ ˇ ˇ
x y ´
? d
ˇ ˇ ˇă y21?
y. Le rationnel xy est donc une très bonne approximation du réel?
d. En fait, les solutions de l’équation de Pell-Fermat sont reliées audéveloppement en fraction continue du réel?
d, qui permet de trouver une unité fondamentale.
Exercice.Montrer quex2“2n´1n’a pas de solution entière siną1.
Déterminer les entiers naturelsy et ntels quey2“2n`1.
Remarque. (Carrés de Z{nZ). C’est un problème classique et important. Le cas central est celui où n est premier.
C’est trivial lorsquen“2: supposonsną2. Les applications
c:pZ{nZqˆÑ pZ{nZqˆ xÞÑx2
`.
n
˘:pZ{nZqˆÑ pZ{nZqˆ xÞÑxn´12
sont des morphismes de groupes (multiplicatifs). CommeZ{nZest un corps, on a#Kerpcq ď2, et doncKerpcq “ t˘1u.
Cela implique que le groupe des carrés non nuls Impcq est d’ordre n´12 . D’après le théorème de Lagrange, on a Impcq Ă Ker`.
n
˘, ce qui montre que n´12 | #Ker`.
n
˘. Comme pZ{nZqˆ est cyclique, l’application `.
n
˘ n’est pas triviale : on a nécessairement#Ker`.
n
˘“n´12 , de sorte que Ker`.
n
˘“Impcq est le groupe des carrés non nuls deZ{nZ. Par ailleurs, on a#Im`.
n
˘“2, ce qui montre que Im`.
n
˘“ t˘1u.
Par abus, on dispose donc d’un morphisme de groupes surjectif
`.
n
˘:pZ{nZqˆÑ t˘1u etxP pZ{nZqˆest un carré si et seulement si`x
n
˘“1. Cela montre en particulier que six, yP pZ{nZqˆne sont pas des carrés, alors le produitxy est un carré danspZ{nZqˆ.
Méthodes de cryptage.On identifie un texte (ou une partie de texte) avec un élément de Z{nZavec nP Ną1
convenable fixé à l’avance. On cherche à crypter les textes au moyen d’une opération de codage C: Z{nZÑZ{nZ
et à les décoder au moyen d’une opération de décodage
D: Z{nZÑZ{nZ
de sorte que D˝C “IdZ{nZ. Les méthodes naïves (C donné par une application affine) sont bien trop faibles. La méthode moderne la plus connue (et élémentaire) est la méthode RSA5. On se donne deux entiers premiers distincts pet q(très grands et secrets) et on pose n“pq. On dispose deϕpnq “ pp´1qpq´1q (secret lui aussi, et difficile à calculer en connaissant seulementnet pas sa factorisation). Choisissons un entiere(public) premier àϕpnq: il existe un entierdtel queed”1 modϕpnq. Commeϕpnqest secret, il en est de même ded. Posons
C: Z{nZÑZ{nZ xÞÑxe D: Z{nZÑZ{nZ
xÞÑxd
5. Initiales des inventeurs : Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman.
11
Commeed”1 modϕpnq, on a ed”1 modp´1 : le petit théorème de Fermat implique quexed´1”1 modpet doncxed ”x modp lorsquexPZzpZ. C’est encore vrai lorsque p|x: on axed ”x modppour tout xPZ. De même, on axed ”x modq pour tout xPZ. Comme Z{nZ» pZ{pZq ˆ pZ{qZq en vertu du théorème des restes chinois, on a donc xed “x pour tout xP Z{nZ. Cela prouve que C et D sont des bijections réciproques l’une de l’autre : elles permettent donc de coder et décoder des messages.
Définition 2.1.39. Le couple pn, eqs’appelle laclé publique, l’entierdlaclé privée.
Remarque. Comme on le voit, cette méthode repose sur la difficulté de factoriser un grand nombre entier.
Méthodes de codage.Quand on transmet une information par un canal de communication (câble téléphonique, Internet, CD, DVD), les données peuvent être corrompues : on crée de la redondance pour pouvoir détecter, voire corriger les erreurs. La méthode standard consiste à utiliser descodes correcteurs (linéaires) : on prend les messages dans un sous-espace vectorielV Ă pZ{2ZqN. Génériquement, une erreur fera « sortir » le message deV. Si le message transmis est suffisamment « proche » d’un mot dans V, on le corrige en le remplaçant par ce dernier. La notion d’écart entre deux mots correspond à une distance (ladistance de Hamming) sur V : elle est donnée par le nombre de coordonées qui diffèrent entre les deux mots considérés. Pour être efficace, il faut faire un compromis entre la dimension deV (si elle est trop petite par rapport àN, on utilisera beaucoup d’octets pour coder peu de messages, si elle est trop grande, on pourra détecter et corriger moins d’erreurs) et ladistance minimaledu code (qui correspond à l’écart minimal entre deux mots du code, et détermine la capacité de correction du code).
2.1.40. Les corpsQĂRĂC. L’anneauZest très beau, mais il a le « défaut » de ne pas être un corps (on ne peut pas inverser2dansZ). On construit soncorps des fractionsQpar une construction analogue à celle qui nous a permis de construireZà partir deN.
On munitX “ZˆZzt0ude la relation binaireRdéfinie par
pa1, b1qRpa2, b2q ôa1b2“a2b1.
C’est une relation d’équivalence : on noteQ“X{Rl’ensemble quotient, et sipa, bq PX, on note ab son image dansQ.
Soitpa, bq PX. Sipa1, b1qRpa2, b2qdansX, alorspab1`a1b, bb1qRpab2`a2b, bb2qetpaa1, bb1qRpaa2, bb2q. Cela montre que si pa1, b1q,pa2, b2q PX, les expressions a1b2b`a2b1
1b2 et ab1a2
1b2 ne dépendent que des classes x1 :“ ab1
1 et x2:“ ab2
2 : on les notex1`x2 et x1x2respectivement. Il est élémentaire, mais assez fastidieux, de montrer que les opérations `et .ainsi définies munissent Q d’une structure d’anneau (l’élément neutre pour`est 0“ 01 et l’élément neutre pour . est1 “ 11). C’est en fait un corps : si xPQzt0u, on a x“ ab avecpa, bq PX eta‰0, et on axab “1. L’application ZÑQ; aÞÑ a1 est le morphisme canonique.
On a la propriété universelle suivante : siK est un corps de caractéristique0, le morphisme canoniquef: ZÑK est injectif. Il se prolonge de façon unique en un morphisme d’anneauxf: QÑK(on a bien entenduf`a
b
˘“fpaqfpbq´1 pour toutpa, bq PX). On dit queQ est lecorps des fractions de Z: c’est le « plus petit » corps qui contientZ. Ses éléments s’appellent les rationnels.
Soientpa, bq PX etd“pgcdpa, bq: on peut écrirea“da1 etb“db1, et on a ab “ ab11. On peut donc toujours écrire un rationnel sous la forme ab avecpgcdpa, bq “1: on parle alors defraction irréductible. Observons que quitte à multiplier pa, bq PX par´1, on peut se restreindre aux couplespa, bq PX pour lesquelsbą0.
La relation d’ordreďs’étend àQ: six1“ab1
1 et x2“ ab2
2 avecb1, b2ą0, on a x1ďx2ôa1b2ďa2b1 (il faut vérifier que ça ne dépend effectivement que dex1 etx2, et que c’est bien une relation d’ordre, ce qui est trivial). Cela permet en particulier de prolonger la valeur absolue àQ.
Signalons l’extension immédiate du théorème2.1.19: pourpPP, la valuationp-adiquevp: ZÑNYt`8use prolonge naturellement envp: QÑZYt`8uen posantvp`a
b
˘“vppaq ´vppbq(cela ne dépend que de ab et pas depa, bq PX).
Tout élémentxPQˆ s’écrit alors de façon unique
x“signpxqź
pPP
pvppxq
(le produit est fini parce quevppxq “0pour toutpPPsauf un nombre fini).
On est très contents avec Q, mais il se révèle rapidement limité : les grecs savaient que l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté1 n’est pas rationnel, i.e.que le polynômeX2´2 n’a pas de racine dansQ. Cela dit, il est possible de trouver des rationnels aussi « proches » d’être une solution qu’on veut. Il est donc nécessaire de compléter Q, en lui adjoignant tous les éléments « limites » de rationnels (en un sens convenable). Bien entendu, comme on parle de limites, on commence à empiéter sur le monde de l’analyse : la construction n’est pas purement algébrique (mais un peu quand même).
Définition 2.1.41. Une suite pxnqnPN de rationnels est dite deCauchy (resp. tend vers 0) si pour tout εPQą0, il existeN PNtel que|xm´xn| ăεdès queN ďnďm (resp. tel que|xn| ăεdès queN ďn).
Remarque. L’ensemble des suites de Cauchy, muni de l’addition et de la multiplication terme à terme, est une anneau (et même uneQ-algèbre) : notons-le C. L’ensembleI des suites qui tendent vers0est un idéal de C. On dispose en outre du morphismeι: QÑC qui àxPQassocie la suite constante égale àx.
Définition 2.1.42. On noteR“C{I l’anneau quotient.
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