D1850. Les trois comp` eres
DAC\ est constant et les angles en C et en D sont droits. DoncAP B\ etAQB\ sont constants : leurs lieux sont les cerclesΓp etΓq passant par A et B.
Si E et G sont les points deΓ sym´etriques par rapport `a la m´ediatrice de AB et tels que EG = CD, alors AE et AG coupent la m´ediatrice en I et en H qui sont les points hauts des 2 lieux. I et H sont inverses par rapport `a Γ, doncΓp et Γq sont sym´etriques par rapport `a AB.
Le faisceau de droites AB, AR, AP, AQ est harmonique. Donc R’, intersection de PQ et de AB, est le conjugu´e de R par rapport `a P et Q :
M R×M R0 =M P2=h2 (M milieu de PQ)
M d´ecrit le cercle de rayon Rp, le mˆeme que celui de Γp, et centr´e en O. D’o`u l’´equation du lieu de R, qui est une quartique :
x2+h2/y2=R2p
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Pour pr´eciser les constantes, on note que P et Q atteignent le point le plus `a droite deΓpetΓq quand CD est vertical (et dans la moiti´e droite de la figure).
Soitala distance de CD `a B dans cette position. On a : a×(2R−a) =L2
(R−a)×Rp =R2
2h×(2R−a) =L×(R+Rp)
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