A60190. Translations sans recouvrement
On consid`ere l’ensemble E des entiers de 1 `a 31.
a) Soit Q une partie de E `a 4 ´el´ements ; montrer qu’on peut toujours former une partieP `a 5 ´el´ements telle que les sommespi+qj prennent des valeurs toutes distinctes.
b) Donner un exemple de partie Q `a 4 ´el´ements telle qu’aucune partie P
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a 6 ´el´ements ne permette d’obtenir des sommespi+qj toutes distinctes.
c) Mˆeme question qu’en a), avecQ`a 5 ´el´ements et P `a 4 ´el´ements.
d) Mˆeme question qu’en a), avec Q`a 6 ´el´ements etP `a 3 ´el´ements.
Solution
a) Pour que pi+qj 6=pk+qm quels que soient i, j, k, m, il faut et il suffit que l’ensemble ∆P des diff´erences|pi−pk|n’ait aucun ´el´ement en commun avec celui ∆Q des diff´erences |qj −qm|.
SiQa 4 ´el´ements, il y a au plusC42= 6 valeurs distinctes de|qj−qm|, qui sont les ´el´ements de ∆Q.
Prenons p1 = 1. Pour choisirp2, on doit ´eviterp1 et les sommes p1+ ∆Q (expression abr´eg´ee pour p1+ un des ´el´ements de ∆Q), soit au plus 7 va- leurs interdites. Prenons pour p2 la plus petite des valeurs non interdites (qui sont au moins 31−7 = 24). Cela cr´ee pour le choix dep3 de nouvelles valeurs interdites,p2 et les sommesp2+ ∆Q, pour autant qu’elle ne soient pas d´ej`a interdites ; il reste donc au moins 24−7 = 17 valeurs non inter- dites pour p3, prenons la plus petite. De mˆeme on a au moins 10 valeurs non interdites pour p4 et 3 valeurs non interdites pourp5, en choisissant toujours la plus petite.
b) Soit Q = {1,2,5,7}, d’o`u ∆Q = {1,2,3,4,5,6}. En ordonnant les pi par ordre croissant, on a
pi+1−pi ≥7, donc p6−p1 ≥35, incompatible avec 1≤p1 < p6 ≤31.
c) Si Q a 5 ´el´ements, ∆Q peut en avoir C52 = 10. Mais ce ne sont pas les entiers de 1 `a 10 : si, dans la somme des ´el´ements de ∆Q, je remplace chaque diff´erence |qj −qm| par la somme |qj+qm|, j’obtiendrai 4 fois la somme desqj, sans changer la parit´e du r´esultat. Or la somme des entiers de 1 `a 10 est 55, impaire.
Ainsi il y a un entierd≤10 qui n’est pas dans ∆Q, et apr`esp1= 1, on peut prendrep2= 1 +d≤11, et ainsi de suite avec les plus petites valeurs non interdites. Par exemple,Q={1,2,5,8,10} ouQ={1,5,6,8,14} donnent d= 10 etP ={1,11,21,31}convient. De mani`ere g´en´erale, le nombre des valeurs interdites comprises entre 1 et 31 augmente moins vite que la suite des multiples de 11.
d) SiQa 6 ´el´ements, ∆Q peut en avoirC62= 15. Mais comme dans le cas pr´ec´edent, si ce ne sont pas les entiers de 1 `a 15, on peut prendre p1 = 1, puis trouverp2 ≤16 et p3 ≤31. Ce cas se pr´esentera d’une part si les 15 diff´erences |qj −qm| ne sont pas toutes distinctes, d’autre part si la plus grande est>15.
Si ∆Q´etait form´e des entiers de 1 `a 15, on aurait par exemple 15 = 16−1 comme diff´erence du plus grand et du plus petit ´el´ement, puis (quitte `a remplacer lesqj par 17−qj) 14 = 16−2 ; pour cr´eer la diff´erence 13, sans cr´eer deux diff´erences 1, on met 14 dans Q, soit Q={1,2, q3, q4,14,16}; pour cr´eer la diff´erence 11 sans cr´eer une nouvelle diff´erence 1 ou 2, on prendq3 = 5, mais quel que soit le choix deq4 pour cr´eer la diff´erence 10, il reproduit une diff´erence d´ej`a existante et ∆Q a moins de 15 ´el´ements, contrairement `a l’hypoth`ese, si le plus grand est 15.
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