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TRANSLATIONS ET ROTATIONS
I. Translation
1) Découverte de la translation :
• Avec du papier quadrillé.
a) Imaginer faire un calque de ce voilier, puis faire glisser ce calque de façon que le point A vienne en A’ et le point B en B’. Dessiner la nouvelle position du voilier.
On dit que l’on a obtenu l’image du voilier par la translation qui transforme A en A’ (ou B en B’).
b) Dessiner l’image du voilier par la translation qui transforme A en M.
Correction :
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• Avec un logiciel de géométrie.
a) A l’aide du quadrillage, construire le voilier donné page 1.
Cacher le quadrillage, puis placer un point A’.
b) Créer l’image du voilier par la translation qui transforme A en A’
(utiliser faire un clic gauche et sans relâcher, inscrire le voilier dans un rectangle en surbrillance, puis cliquer sur A puis sur A’).
Renommer au besoin B’ l’image de B, C’ celle de C, …
c) * Afficher les longueurs des segments [𝐵𝐶] et [𝐵′𝐶′]. Que constate-t-on ?
………
* Afficher les mesures des angles 𝐴𝐵𝐶̂ et 𝐴′𝐵′𝐶′̂ . Que constate-t-on ?
………
* Construire les droites (AA’) et (BB’). Que semble-t-on pouvoir dire de ces droites ?
………
2) Définition :
Une translation permet de faire glisser une figure parallèlement à une droite sans déformer ni retourner cette figure.
3) Construire l’image d’un point par une translation : a. Figure de base :
Points A et B définissant la translation et le point C à translater.
b. On trace une droite passant par C parallèle à (AB) la direction de la translation.
c. On reporte la longueur AB sur (d) à partir de C et dans le bon sens (A vers B).
d. Figure finale :
4) Propriétés :
Une translation conserve :
* les longueurs * l’alignement * les mesures d’angles * les aires
3 Exemple :
• La figure F’ est l’image de la figure F par la translation qui transforme A en B.
Cette transformation transforme aussi M en M’, N en N’, P en P’.
• (AB)//(MM’) et (AB)//(NN’).
• AB = MM’ = NN’.
• Le segment [𝑀𝑁] est transformé en segment [𝑀′𝑁′]
portés par des droites parallèles et MN = M’N’.
• Les figures F et F ‘ ont la même aire : 6 carreaux .
• L’angle droit 𝑀𝑁𝑃̂ est transformé en l’angle droit 𝑀′𝑁′𝑃′̂ . Remarque :
Pour tracer le translaté d’un segment, il suffit de tracer les translatés de ses extrémités et pour tracer le translaté d’un cercle, il suffit de tracer le translaté de son centre.
II. Rotation
1) Découverte de la rotation :
• Avec du papier quadrillé.
La figure ci-dessous représente une nacelle de manège.
Dessiner la nacelle après une rotation :
- de 90° autour du point O dans le sens de la flèche ; - de 180 ° autour du point O dans le sens de la flèche.
4 Correction :
• Avec un logiciel de géométrie ;
a) A l’aide du quadrillage, construire la nacelle.
Cacher ensuite le quadrillage.
b) Créer l’image de la nacelle par la rotation de centre O et d’angle 65° dans le sens anti horaire (utiliser , faire un clic gauche et sans relâcher inscrire la nacelle dans un rectangle en surbrillance, puis cliquer sur O et saisir 65°).
c) Afficher la mesure de l’angle 𝐴𝑂𝐴′̂ et les longueurs des segments [𝑂𝐴] et [𝑂𝐴′]. Que semble-t-on pouvoir dire ?
………
2) Définition :
Une rotation de centre O et d’angle 𝜶 permet de faire tourner une figure autour du point O d’un angle 𝛼 sans la déformer.
3) Construire l’image d’un point par une rotation : a. Figure de base :
Un point et le centre de rotation.
b. Tracer un arc de cercle de centre O et de rayon OA dans le sens anti horaire.
c. Marque l’angle de rotation avec une demi-droite coupant l’arc de cercle.
d. Coder les longueurs égales.
5 4) Propriétés :
Une rotation conserve :
* les longueurs * l’alignement * les mesures d’angles * les aires
Exemple :
• La figure F’ est l’image de la figure F par la rotation de centre O et d’angle 70° dans le sens indiqué par la flèche.
Cette rotation transforme A en A’, M en M’, N en N’, P en P’.
• OA = OA’ et 𝐴𝑂𝐴′̂ = 70° ; OM = OM’ et 𝑀𝑂𝑀′̂ = 70° ; ON = ON’ et 𝑁𝑂𝑁′̂ = 70° ; OP = OP’ et 𝑃𝑂𝑃′̂ = 70° ;
• Le segment [𝑀𝑁] est transformé en segment [𝑀′𝑁′] de même longueur.
• Les figures F et F ‘ ont la même aire.
• L’angle droit 𝑀𝑁𝑃̂ est transformé en l’angle droit 𝑀′𝑁′𝑃′̂ . Remarque :
Pour tracer l’image d’un segment par une rotation, il suffit de tracer les images de ses extrémités et pour tracer l’image d’un cercle, il suffit de tracer le translaté de son centre.
III. Comprendre l’effet d’une rotation, d’une translation 1) Construire une frise :
ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
Expliquer comment on peut réaliser cette frise, à partir du triangle ABC, en effectuant uniquement des translations et des rotations.
6 Solution :
1) ………
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2) ………
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3) ………
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4) ………
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5) ………
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2) Construire un pavage du plan :
On se propose de réaliser un pavage du plan comme celui-ci-contre à partir d’un triangle ABC.
• Utiliser des rotations.
a) Avec un logiciel de géométrie, construire un triangle ABC tel que l’angle 𝐵𝐴𝐶̂ ait une mesure inférieure à 60°.
b) Construire cette figure composée de six triangles obtenus par des rotations successives de centre A et d’angle 60 ° dans le même sens.
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c) Que se passe-t-il si on effectue une sixième rotation ? Expliquer.
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• Utiliser des translations.
a) Construire les images du motif obtenu par la translation qui transforme :
* C en D * C en E * E en D b) Poursuivre ce pavage.
