Problème proposé par Michel Lafond
Dans le plan, on appelle orthogone un polygone (A1,A2,A3 ,....An) [An+1 = A1] tel que :
• Les sommets sont deux à deux distincts.
• Tous les angles sont droits.
• Les côtés ouverts ] Ai-1,Ai [ sont deux à deux disjoints. [Pas de croisement]
Un orthogone (A1,A2,A3 ,....An) est dit arithmétique si ses côtés mesurent 1, 2, 3, …, n dans cet ordre.
Q1 : Démontrer que dans un orthogone arithmétique, n est un multiple de 8.
Q2 : Démontrer que pour tout entier k ≥1 il existe un orthogone arithmétique à 8k sommets.
Q3 : Combien existe-t-il d’orthogones arithmétiques à 8 sommets ? 16 sommets ?
Un orthogone est dit géométrique si ses côtés sont des réels en progression géométrique avec une raison q > 1.
Q4 : Trouver un orthogone géométrique avec un nombre de côtés le plus petit possible.
Tous les angles étant droits, leur nombre doit être pair pour obtenir un polygone fermé : le nombre de cotés de rang impair (verticaux par exemple) est égal au nombre de cotés de rang pair (horizontaux). On peut caractériser un orthogone par la
séquence de la mesure algébrique de ses cotés, dans un repère orthonormé.
Q1 : La somme algébrique des longueurs des cotés horizontaux (resp. verticaux), paires (resp. impaires) doit être nulle : la somme algébrique des moitiés des longueurs (paires) des cotés horizontaux est nulle ; la moitié d’entre elles étant impaires, leur nombre doit être pair : le nombre de cotés horizontaux est donc divisible par 4, donc le nombre n est divisible par 8.
Q2 : Pour un orthogone à 8 cotés, les mesures algébriques des cotés impairs sont (-1, 3, 5, -7) celles des cotés pairs (-2, 4, 6, -8), aux changements de signes près qui
donnent quatre figures symétriques. Plus généralement, les séquences (-1, ...,-2k+1, 2k +1,...,6k-1, -6k-1,.... ,-8k+1) et (-2, ..., -2k, 2k+2, ... , 6k, -6k-2, ..., -8k) définissent un orthogone à 8k cotés.
Q3 : Il n’y a qu’une partition de {1, 2, 3, 4} en deux sous-ensembles de somme égale (à 5) : {1, 4} et {2, 3} ; donc un seul orthogone arithmétique à 8 cotés, aux symétries Pour {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, on peut obtenir deux sous-ensembles disjoints de même cardinal et de somme égale (à 18) de quatre façons : {1, 2, 7, 8} et {3, 4, 5, 6} ; {1, 3, 6, 8} {2, 4, 5, 7} ; {1, 4, 5, 8} {2, 3, 6, 7} ; {1, 4, 6, 7} {2, 3, 5, 8}. En combinant ces partitions, on pourrait obtenir (aux symétries près) 16 polygones différents, mais on se rend rapidement compte que la plupart sont croisés et qu’un seul convient
correspondant à la séquence (-1, -2, -3, -4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, -13, -14, -15, -16).
Q4 : Pour le nombre d’or, φ2=1+φ, donc si q2=φ, -1-q2+q4=0 et -q-q3+q5=0.
Il existe donc un orthogone géométrique à six cotés : verticaux {-1, -q2, q4} et horizontaux {-q, -q3, q5}.
