Epreuve de Mathématiques A

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d’y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

L’usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

096

Problème d'algèbre linéaire

Dans tout le problème,l'espaceRⁿest muni de son produit scalaire usuel. Si F est un sous-espace vectoriel deRⁿ,on note F^⊥ l'orthogonal deF pour ce produit scalaire.

Si E est un espace vectoriel de dimension n,on appelle hyperplan un sous-espace vectoriel de E de dimensionn−1.

Partie I SoitA la matrice dénie par

A= 1 9



 −8 4 1 4 7 4 1 4 −8



.

1. Montrer que la matrice Aest orthogonale.

2. (a) Justier que A est diagonalisable. Que dire de plus de ses espaces propres ? (b) Rappeler quelles sont les valeurs propres réelles possibles d'une matrice ortho-

gonale.

(c) A l'aide des questions précédentes,déterminer les valeurs propres et les sous- espaces propres de A.

3. Caractériser l'endomorphismef deR³ dont la matrice dans la base canonique estA.

Partie II

Soit E = Rⁿ et soit u un endomorphisme de E tel que u ◦u = Id. Nous notons E_u⁺=Ker(u−Id) etE_u⁻=Ker(u+Id).

1. Montrer que u est inversible et préciser son inverse.

2. Pour tout x∈E,on pose

x₊= x+u(x)

2 et x₋= x−u(x) 2 . Montrer que x₊∈E_u⁺ etx₋∈E_u⁻.

3. En déduire que E=E_u⁺⊕E_u⁻. 4. Montrer que u est diagonalisable.

5. Montrer que u est une isométrie si et seulement siE_u⁺⊥E_u⁻.

Partie III SoitF le sous-ensemble de R⁴ déni par

F ={(x, y, z, t)∈R⁴, x−y−z+t= 0, 2x−z−t= 0}. 1. Vérier que F est un sous-espace vectoriel de R⁴.

2

Problème d'algèbre linéaire

Dans tout le problème,l'espaceRⁿ est muni de son produit scalaire usuel. SiF est un sous-espace vectoriel deRⁿ,on noteF^⊥ l'orthogonal deF pour ce produit scalaire.

Si E est un espace vectoriel de dimension n,on appelle hyperplan un sous-espace vectoriel de E de dimensionn−1.

Partie I SoitA la matrice dénie par

A= 1 9



 −8 4 1 4 7 4 1 4 −8



.

1. Montrer que la matrice Aest orthogonale.

2. (a) Justier que A est diagonalisable. Que dire de plus de ses espaces propres ? (b) Rappeler quelles sont les valeurs propres réelles possibles d'une matrice ortho-

gonale.

(c) A l'aide des questions précédentes,déterminer les valeurs propres et les sous- espaces propres de A.

3. Caractériser l'endomorphismef deR³ dont la matrice dans la base canonique estA.

Partie II

Soit E = Rⁿ et soit u un endomorphisme de E tel que u ◦u = Id. Nous notons E_u⁺ =Ker(u−Id) etE_u⁻=Ker(u+Id).

1. Montrer que u est inversible et préciser son inverse.

2. Pour tout x∈E,on pose

x₊= x+u(x)

2 et x₋= x−u(x) 2 . Montrer que x₊∈E_u⁺ etx₋∈E_u⁻.

3. En déduire que E =E_u⁺⊕E_u⁻. 4. Montrer que u est diagonalisable.

5. Montrer que u est une isométrie si et seulement siE_u⁺⊥E_u⁻.

Partie III SoitF le sous-ensemble de R⁴ déni par

F ={(x, y, z, t)∈R⁴, x−y−z+t= 0, 2x−z−t= 0}. 1. Vérier que F est un sous-espace vectoriel de R⁴.

2

2. Vérier que u˜₁ = (1,1,1,1)∈F.

Déterminer une base orthonormale (u₁, u₂) de F où u₁ est un vecteur colinéaire à

˜ u₁.

3. Vérier que u˜3 = (1,−1,−1,1)∈F^⊥.

Compléter la base précédente en une base orthonormale (u₁, u₂, u₃, u₄) de R⁴ en choisissant u₃ colinéaire àu˜₃.

4. On note sla symétrie orthogonale par rapport à F. Ecrire la matrice de s dans la base canonique.

5. On appelle réexion une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

Ecrire la symétrie s comme composée de deux réexions (on pourra se placer dans une base adaptée às).

Partie IV

SoitE =Rⁿ. Soitf une isométrie de E. On noteF_f l'ensemble des points xes de f soit F_f ={x∈E, f(x) =x}et

p_f =n−dim F_f.

On veut montrer par récurrence sur p_f que l'on peut trouverréexionsr₁, r₂, . . . , r avec ≤p_f telles que

f =r₁◦r₂· · · ◦r. 1. Montrer que le résultat est vrai pourp_f = 1.

2. Soitk un entier xé tel que2≤k≤net supposons le résultat vrai si p_f < k. Soitg une isométrie telle quep_g =k.

(a) Montrer que F_g^⊥={0}.

(b) Soit x₀ ∈F_g^⊥,x₀= 0 ety₀ =g(x₀). Montrer quey₀ =x₀ ety₀ ∈F_g^⊥. (c) Soit r la réexion par rapport àV ect(x₀−y₀)^⊥.

Montrer queFg⊂V ect(x0−y0)^⊥. En déduire que Fg⊂Fr puis queFg ⊂Fr◦g

(d) Montrer que (x₀−y₀)⊥(x₀+y₀).

Calculerr(x0−y0) etr(x0+y0). En déduire quer(y0) =x0. (e) Montrer que p_r◦g < p_g.

(f) En appliquant l'hypothèse de récurrence à r◦g,montrer que g peut s'écrire comme composition de réexions avec ≤k.

Probabilités

Un joueur joue au casino avec une fortune initiale dea∈N euros. A chaque partie,il a une probabilité p∈]0,1[de gagner 1 euro et une probabilitéq= 1−pde perdre 1 euro.

Les parties sont supposées indépendantes entre elles.

Plus formellement,nous notons R_n le résultat de la n-ième partie et nous supposons que les variables aléatoires (Rn)n≥1 sont indépendantes entre-elles et de même loi donnée par

∀n≥1, P(R_n= 1) = 1−P(R_n=−1) =p.

3

On noteX_nla fortune du joueur après lan-ième partie. La suite de variables aléatoires (X_n)_n≥0 est donc dénie par récurrence par

X₀ =a,

∀n≥0, X_n+1 =X_n+R_n+1.

On suppose que le joueur peut s'endetter et qu'il continue donc de jouer même si X_n<0. 1. Calculer les lois de X₁ et deX₂. Ces variables sont-elles indépendantes ?

2. Montrer que,pour tout n≥1,il existe une unique applicationφ_n:{−1,1}ⁿ−→Zⁿ telle que

(X₁, . . . , X_n) =φ_n(R₁, . . . , R_n).

Montrer que cette application φ_n est injective.

3. On note,pour tout entier k ≥ 1, N_k le nombre de parties nécessaires pour que le joueur atteigne la somme de a+k,soit

N_k= min{n≥0, X_n=a+k}

avec la conventionN_k = +∞si la somme a+kn'est jamais atteinte.

Ainsi,sur l'exemple suivant :

Numéro de la partie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Résultat -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1

Fortune a a-1 a a+1 a+2 a+1 a+2 a+3 a+4 a+3

on aN₁ = 3,N₂= 4,N₃ = 7. On notep_n=P(N₁ =n).

(a) Que valentp₀ etp₁?

(b) Justier que,pour toutk≥1,il existe un sous-ensembleAkde{−1,1}^ktel que nous ayons égalité des événements

{N1=k}={(R1, . . . , R_k)∈A_k}. (c) Justier que,pour toutn≥1 et toutk≥1,

P((R_n+1, . . . , R_n+k)∈A_k) =p_k. (d) Justier,pour 1≤k < n,l'égalité des événements

{N₁ =k, N₂=n}={(R₁, . . . , R_k)∈A_k, (R_k+1, . . . , R_n)∈A_n−k)}. (e) Soit n2 ∈N.

i. Déduire de la question précédente que,pour toutn₁< n₂, P(N₁ =n₁, N₂=n₂) =p_n1p_n2−n1.

ii. Donner la valeur deP(N₁=n₁, N₂ =n₂) si n₁ ≥n₂ ainsi que la valeur de P(N₁ = +∞, N₂=n₂).

4

On noteX_nla fortune du joueur après lan-ième partie. La suite de variables aléatoires (X_n)_n≥0 est donc dénie par récurrence par

X₀ =a,

∀n≥0, X_n+1 =X_n+R_n+1.

On suppose que le joueur peut s'endetter et qu'il continue donc de jouer même si X_n<0. 1. Calculer les lois de X₁ et de X₂. Ces variables sont-elles indépendantes ?

2. Montrer que,pour tout n≥1,il existe une unique applicationφ_n:{−1,1}ⁿ−→Zⁿ telle que

(X₁, . . . , X_n) =φ_n(R₁, . . . , R_n).

Montrer que cette application φ_n est injective.

3. On note,pour tout entier k ≥ 1, N_k le nombre de parties nécessaires pour que le joueur atteigne la somme de a+k,soit

N_k= min{n≥0, X_n=a+k}

avec la conventionN_k= +∞ si la sommea+kn'est jamais atteinte.

Ainsi,sur l'exemple suivant :

Numéro de la partie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Résultat -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1

Fortune a a-1 a a+1 a+2 a+1 a+2 a+3 a+4 a+3

on aN₁= 3,N₂= 4,N₃ = 7. On note p_n=P(N₁=n).

(a) Que valent p₀ etp₁?

(b) Justier que,pour toutk≥1,il existe un sous-ensembleAkde{−1,1}^ktel que nous ayons égalité des événements

{N1=k}={(R1, . . . , R_k)∈A_k}. (c) Justier que,pour toutn≥1 et toutk≥1,

P((R_n+1, . . . , R_n+k)∈A_k) =p_k. (d) Justier,pour 1≤k < n,l'égalité des événements

{N₁=k, N₂ =n}={(R₁, . . . , R_k)∈A_k, (R_k+1, . . . , R_n)∈A_n−k)}. (e) Soit n2∈N.

i. Déduire de la question précédente que,pour toutn₁< n₂, P(N₁=n₁, N₂=n₂) =p_n1p_n2−n1.

ii. Donner la valeur deP(N₁=n₁, N₂ =n₂)si n₁ ≥n₂ ainsi que la valeur de P(N₁ = +∞, N₂=n₂).

4

4. Montrer que,pour tout n >1,on a

pn=qP(N2 =n−1)

(on pourra étudier ce qui se passe à la première partie),puis,en appliquant la formule des probabilités totales,que

p_n=q(p₁p_n−2+p₂p_n−3+· · ·p_n−2p₁).

5. On noteG la fonction dénie pour touts∈[0,1]par G(s) =

+∞

n=0

p_nsⁿ.

Déduire de la formule précédente que,pour touts∈[0,1], G(s)−ps=qsG(s)².

6. CalculerG(0) puis en déduire une expression deG(s) pour tout s∈[0,1].

7. Calculer

+∞

n=0

p_n (On pourra remarquer que1−4pq= (1−2p)²). De quel événement cette quantité est-elle la probabilité ?

5

Fin de l’épreuve

RIE NATIONALE – 20 1096 – D’après documents fournis