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Durée de l'épreuve : 2h – Répondre directement sur le sujet.

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Aucun document autorisé - SMARTPHONES et GSM interdits - Calculatrices interdites Première partie :

Suspension anti-rebond

On se propose d’étudier le mouvement d’un appareil d’essai destiné à mettre en évidence l’intérêt d’un vibreur sur un système oscillant forcé. Ce système montre une certaine analogie avec la solution technologique utilisée sur les suspensions des premières 2CV Citroën.

1. Modèle dynamique textuel et le schéma cinématique associé 1.1. Géométrie et masse

Le système est composé de :

- cinq solides indéformables : (S₀), (S₁), (S₂), (S₃) et (S₄) : - (S₀) la terre,

- (S₁) le simulateur de profil de la route,

- (S₂) le bras oscillant, de centre d’inertie A, de masse m2,

- (S₃) le vibreur, une masse ponctuelle de centre d’inertie G3, de masse m3, - (S₄) la roue, un solide de révolution, de rayon R, de centre d’inertie D, de

masse m₄, G3

A₀₂

C₂

0

01234

z

z r r

=

x r

S₁ S₂

S0

y

r

R₂₃

D24

B1

S₃

S4

x r

g r

Signature

solides (S₂) et (S₃) ;

- sept liaisons indéformables :

(S₀ - S1) : glissière (S₀ - S2) : pivot (S₂ - S3) : glissière (S₂ – S4) : pivot (S₁ – S4) : ponctuelle (R₂₃ – S2) : rotule (R₂₃ - S3) : rotule

Le mouvement du simulateur de profil de route (S₁) par rapport à la terre (S₀) constitue une donnée de l’étude.

1.2. Effort

Le ressort R₂₃ est supposé de caractéristique linéaire, raideur k et longueur libre l₀. Les liaisons pivots, glissière et rotules sont supposées parfaites contrairement à la liaison ponctuelle pour laquelle on tient compte du frottement de glissement par l'intermédiaire du modèle de Coulomb.

Le système évolue dans le champ de la pesanteur défini par la verticale ascendante du lieu

y r

. 1.3. Repère galiléen

Dans le domaine de l’étude, le repère lié à la terre (S₀) est supposé galiléen.

2. Construire un modèle géométrique vectoriel

La construction du modèle géométrique vectoriel ayant fait l’objet de l’examen « Médian », les résultats des premières étapes de la réalisation de ce modèle pour ce système sont donnés afin de se consacrer principalement, dans le temps imparti, à l’étude de dynamique.

2.1. Modéliser les liaisons - tracer le graphe des liaisons

S2

S1

S0

S4 Glissière

( )

cste y B A y

z y B A

=

∧

∧ 0 1 01 01

01 01 1 0, , ,

r r

r r

Contact ponctuel

( )^?

S3

Pivot (D24, zr24) Pivot

(A02, zr02)

Rotule

( )

Rotule

( )

Glissière

( )

cste y G C y

z y G C

=

∧

∧ 2 3 23 23

23 23 3 2, , ,

r r

r r

2.2. Modéliser les solides

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[

]

4 4

01234 23

23 3

3 3

01234 23

23 2

2

01234 01

01 1

1

01234 01

01 0

0

, ,

;

, ,

;

, ,

; ,

,

, ,

;

, ,

;

z y x D

R R

z y x G

R R

z y x D

C A R R

z y x B

R R

z y x A

R R

r r r

r r r

r r r

r r r

r r r

=

=

=

=

=

2.3. Paramétrer les repères liés

- exploiter un graphe minimum interbases

- exploiter un graphe minimum interpoints

3 23 23

23 01

01 (t)y AC ax AD bx CG yy

x c

AB r r r r r

=

=

= +

= λ

ATTENTION VOTRE TRAVAIL COMMENCE ICI

☺

2.4. Rechercher les équations de liaison

- exploiter les liaisons non encore prises en compte par leur modèle vectoriel o Conséquence de la liaison ponctuelle (S₁ − S₄) :

z₀₁₂₃₄ α y01

y23

x₀₁ x23 (01; 23)

z01234

β y01

y4

x₀₁ x4 (01; 4)

C A

G3

b2,3 b_0,1 b4

α

B

D

- exploiter les conditions géométriques non encore prises en compte de certaines liaisons o Conséquence de la liaison glissière (S0 − S1) :

(compte tenu du paramétrage, expliciter la constante dans l’expression cste

y B A

y01∧ 0 1∧ 01= r

r )

o Conséquence de la liaison glissière (S2 − S3) :

(compte tenu du paramétrage, expliciter la constante dans l’expression cste

y G C

y₂₃∧ _{2 3}∧ r₂₃=

r )

- exploiter les lois de comportement de type cinématique imprimées par les actionneurs o Le profil de la route est connu, AB

( )

λ

= ^{, avec} λ

( )

2.5. Définir les paramètres indépendants

o Nombre de paramètres indépendants : Nombre = o Définir les paramètres indépendants :

Dans la suite de l’étude, dans la cadre de l’examen et pour obtenir des questions indépendantes des équations de liaison, on conserve l’ensemble des paramètres initiaux.

3. Formaliser les lois de comportement en fonction du modèle géométrique 3.1. Le ressort (R₂₃)

3.2. La liaison ponctuelle (S₁ – S4)

- expression de la vitesse de glissement de (S4) par rapport à (S1) au point de contact I entre ces deux solides :

( )

r

- expression de la coordonnée somme du torseur des actions de (S₁) sur (S₄)

{

}

- condition d’existence de la liaison ponctuelle :

- lois de Coulomb

3.3. Les liaisons parfaites

3.4. Le champ de la pesanteur

4. Recenser les inconnues de l'étude - les paramètres indépendants :

- les composantes d’efforts qui interviennent dans les lois de comportement : - les composantes d’efforts inconnues de l’étude :

5. Ecrire les équations de dynamique 5.1. Définir la coupure

Indiquer la liaison coupée et le nombre de nouvelles composantes d’efforts non recensées précédemment.

* Cas du non glissement :

° Condition d’existence

° Equation

* Cas du glissement :

° Condition d’existence

° Equation

S1

S0

S4

S3

+

+

+

+

S2

5.2. Définir les nouvelles inconnues de l’étude

5.3. Définir le graphe des particularités

5.4. Ecrire les conséquences scalaires des théorèmes généraux

= avec E =

= avec E =

= avec E =

S1

S0

S4

S3 S₂

(On rappelle que dans la suite on garde les paramètres initiaux) 5.5. Calculer les composantes des efforts

=

=

=

5.6. Calculer les composantes de cinétique

- définir, sans les expliciter, les composantes non nulles de la matrice d’inertie

[ ] ^I

( ) ^__

[ ] ( )

(^__,__,__)

2

__

 







 







= I

- calculer les composantes de cinétique

=

=

=

Deuxième partie :

Etude sous SIMULINK du mouvement d’un système masse-ressort-amortisseur sollicité par un effort f(t).

Construire le modèle qui permet de résoudre l’équation de mouvement de ce système :

où x représente le déplacement de la masse m par rapport à sa position d’équilibre.

Données :

- m = 20 kg : masse du système,

- k = 17,5 kN/m : constante de raideur du ressort,

- c = 240 N.s/m : constante de viscosité de l’amortisseur,

- f(t) un échelon d’amplitude a = 700 N : effort appliqué au système.

Conditions initiales à t = 0 : - x(t = 0) = x0 = 0, - x’(t = 0) = x’₀ = 0.

Présentation des résultats :

On souhaite connaître le déplacement x sous forme : - d’une courbe x = x(t),

- d’une matrice x = x(t).

Ressort (k) Amortisseur (c)

Masse (m)

Effort f(t) Déplacement x

) (t f kx x c x

m & & + & + =

Modèle SIMULINK :