Il s'ensuit que la projection d'un point z sur la droite AB est donnée par : π(z

Prérequis : Soit A(a), B(b) et C(c) trois points du cercle unité dans le plan complexe.

La symétrie par rapport à la droite AB s'écrit : z ⟶ z’ = 𝛼. + 𝛽 .

Comme A et B sont fixes, et = 1/a et = 1/b , cela donne : z ⟶ z’ = – ab. + (a + b) .

Il s'ensuit que la projection d'un point z sur la droite AB est donnée par : π(z) = 1/2 (z – ab. + (a + b)).

Remarque : on notera au passage que, comme la droite AB est l'ensemble des points fixes de la symétrie son équation est : z = – ab. + (a + b) .

Position du problème : On cherche la projection de C sur AB, puis les projections D(d) et F(f) de celle-ci sur les côtés AC et BC. Le point G(g) est alors le point tel que g – c = (ƒ – c) + (e – c), i.e. : g = ƒ + e – c .

Pour avoir un angle en C de 45 °, on peut prendre a = 1 et b = i , il vient :

• La projection de C sur AB est : c’ = 1/2 (c – i/c + 1 + i) ,

• Sa projection sur AC est : d = 1/2 [1/2 (c – i/c + 1 + i) – c.1/2 (1/c + i c + 1 – i) + (1 + c)].

d = 1/4 [ – i/c + i – i c² + ic + 2 + 2c],

• Sa projection sur AB est : f = 1/4 [ – i/c + 1 + c² – ic + 2i + 2c].

• L'affixe g de G vaut donc : g = 1/4 [ – 2 i/c + 3 (1 + i) + (1 – i) c²] = 3(1 + i)/4 – i [ 1/c + i(1 – i) c² /2 ] / 2 . Le lieu cherché est donc la courbe image par la similitude directe z ⟶ z’ = (–i/2) z + 3(1 + i)]/4 de la courbe paramétrée (par c = exp (– iθ) ) :

G(θ) = exp (iθ) + (√2/2) exp (– 2 iθ + iπ/4) .

C'est une “hypocycloïde allongée” dérivée de la “deltoïde” : ∆(θ) = exp (iθ) + (1/2) exp (– 2 iθ).

[Cf. par exemple : https://www.mathcurve.com/courbes2d/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml]