Soit −→u(−6√
3;−4√ 7;√
11),−→v (−5√ 3; 4√
7; 2√
11) et −→w(4√ 3;−√
7; 4√ 11) . (−→u ,−→v ,−→w)constitue une base orthogonale et k−→uk=k−→vk=k−→wk=√
231 .
On choisit une origine O et on constuit le cube ABCDEF GH avec :
−→OA=−→
−−→ 0 OB =−→u
−→OC =−→u +−→w
−−→OD =−→w
−−→ OE =−→v
−→OF =−→u +−→v
−→OG=−→u +−→v +−→w
−−→OH =−→v +−→w
Les altitudes des huit sommets sont :0√ 11,1√
11,5√ 11,4√
11,2√ 11,3√
11,7√ 11,6√
11. En divisant le côté du cube par √
11on réalise les contraintes imposées . L’arête vaut alors
√231
√11 =√ 21.
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