PB G107
1. Supposons que A, B et C ont comme taux de r´eussite 1, b et c avec 0 < c < b <1. La meilleure strat´egie pour A est de tirer sur B; pour B c’est de tirer sur A; pour C il y a deux strat´egies possibles a priori:
soit il tire sur A, soit il tire en l’air.
Si C tue A, sa probabilit´e de survie est ´egale `a p1 = (1−b)c+ (1− b)2(1−c)c+...= (1−b)c
1−(1−b)(1−c) = (1−b)c b+c−bc.
Si C rate A (ou s’il tire en l’air): soit A tire ensuite et tue B, C survit avec la probabilit´ec/2; soit B tire et tue A, C survit avec la probabilit´e
bc
2(1−(1−b)(1−c)); soit B tire et rate A, A tue alors B et C survit avec la probabilit´e (1−b)c/2. La probabilit´e de survie de C est donc
´
egale `a p2 =c/2 + bc
2(b+c−bc) + (1−b)c/2.
On calcule p2 − p1 = c(1−b)(2−b)c−(b2−5b+ 2)
2(b+c−bc) qui est positif si et seulement si c > b2 −5b+ 2
(1−b)(2−b) (1). Si b > 5−√ 17
2 ≈ 0,438 la condition (1) est toujours v´erifi´ee alors que si b < 0,349 elle n’est jamais v´erifi´ee. Dans la suite on supposera la condition (1) v´erifi´ee; la meilleure strat´egie pour C est donc de tirer en l’air et par suite il ne compte pas tant qu’ils sont tous les trois.
2. Calculons les probabilit´es de survie.
Premier cas (probabilit´e 1/2): A d´ebute et tue B; il gagne avec la probabilit´e (1−c)/2 alors que C gagne avec la probabilit´e c/2.
Deuxi`eme cas (probabilit´e b/2): B d´ebute et tue A; il gagne avec la probabilit´e b(1−c)b
2(b+c−bc) et C gagne avec la probabilit´e bc 2(b+c−bc) Troisi`eme cas (probabilit´e (1−b)/2): B d´ebute et rate A; A tue B et gagne avec la probabilit´e (1−b)(1−c)/2 et C gagne avec la probabilit´e (1−b)c/2.
On obtient les probabilit´es de survie: pA = (2 −b)(1 −c)/2 , pB = b2(1−c)
2(b+c−bc) etpC =p2 calcul´ee au dessus.
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On a pA−pB = (1−c)(1−b)(2b+ 2c−bc)
2(b+c−bc) >0 alors que pC−pA= 2(2−b)(1−b)c2−(3b2−8b+ 2)c−b(2−b)
2(b+c−bc) > 0 si et seulement si c > 3b2−8b+ 2 +√
b4−8b3+ 12b2+ 4
4(1−b)(2−b) (2). Si (2) est v´erifi´ee avec c < b, c’est C qui a la plus grande chance de survie des trois. Pour avoir (2) la plus petite valeur de b est b = 0,4168 (on a alors c = b);
quand b = 0,8 , il faut 0,362 < c <0,8 ; quand b= 1, il faut c > 1/3.
Pour b = 0,8 et c = 0,5 on obtient pA = 0,3 , pB = 0,178 et pC = 0,522.
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