Enonc´e noG138 (Diophante) La travers´ee de la rue
Ma rue est `a sens unique et la vitesse des v´ehicules `a moteur est limit´ee `a 30 km/h. J’ai la fˆacheuse manie de traverser la rue en courant (20 km/h) sans regarder s’il y a des v´ehicules qui arrivent. Si l’on suppose que la circulation est faite d’un flot r´egulier de voitures assimil´ees `a des rectangles de 3 m`etres de longueur sur 2 m`etres de largeur espac´es tous les 50 m`etres et roulant `a la vitesse maximale autoris´ee, la probabilit´e d’un accrochage peut-elle ˆetre inf´erieure `a 10% ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La largeur de 2 m`etres me prend 10−4heure `a parcourir `a 20 km/h, temps pendant lequel une voiture parcourt 3 m`etres `a 30 km/h et occupe, compte tenu de sa longueur, 3 + 3 = 6 m`etres. R´eciproquement, `a l’instant o`u je me lance `a traverser, cela d´efinit une longueur de 6 m`etres o`u la pr´esence d’une voiture va provoquer un accrochage.
Si les 50 m`etres sont compt´es d’avant de voiture `a avant de voiture, la probabilit´e de pr´esence d’une voiture dans ces 6 m`etres est 6/50 = 12%.
Si ces 50 m`etres sont compt´es comme espace libre de l’arri`ere d’une voi- ture `a l’avant de la suivante, la probabilit´e est 6/53 = 11,32%, encore sup´erieure `a 10%.
Cependant, je peux am´eliorer mes chances en prenant en biais, ce qui me donne de l’avance sur les voitures sans trop me p´enaliser en temps de travers´ee, dans une certaine limite.
Siαest l’angle de ma travers´ee avec la direction du flot des voitures, j’aurai
`
a l’instant t(compt´e en dix-milli`emes d’heure `a partir de 0, instant o`u je m’engage sur la bande de circulation) une avance de 2tcosα m`etres par rapport `a mon point de d´epart. Cet instant sera instant de choc si un avant de voiture se trouve `a cet instant dans l’intervalle (2tcosα,2tcosα+ 3), ce qui ´equivaut `a la pr´esence d’un avant de voiture, `a l’instant 0, dans l’intervalle (2tcosα−3t,2tcosα+ 3−3t).
L’´eventualit´e d’accrochage pendant ma travers´ee, intervalle de temps 0<
t <1/sinα, est li´ee `a la pr´esence d’un avant de voiture `a l’instant 0 dans la r´eunion de ces intervalles, qui est l’intervalle
(2 cotα−3/sinα,3).
Cet intervalle est de longueur minimum pour cosα= 2/3 et vaut 3 +√ 5 = 5,236. . . m`etres.
Si les 50 m`etres sont compt´es d’avant de voiture `a avant de voiture, la probabilit´e de pr´esence d’une voiture dans cet intervalle est 10,47%, encore sup´erieure `a 10%.
Si ces 50 m`etres sont compt´es comme espace libre de l’arri`ere d’une voi- ture `a l’avant de la suivante, l’intervalle est `a comparer `a 53 m`etres et la probabilit´e est 9,88%, soit moins de 10%.
Peut-on faire encore mieux en abandonnant la ligne droite ? Soitαl’angle, variable en fonction du temps, de ma vitesse instantan´ee avec la direction du flot ; je le consid`ere comme fonction dey, distance au bord de la bande circul´ee.
Le temps mis `a atteindre la distanceyestR0ydv/(2 sinα(v)) ; l’avance prise par rapport au point de d´epart estR0ycotα(v)dv; l’intervalle pour la posi- tion `a l’instant 0 de l’avant d’une voiture qui m’accroche `a la distanceyest Z y
0
(cotα(v)−1,5/sinα(v))dv, 3 + Z y
0
(cotα(v)−1,5/sinα(v))dv
et la r´eunion de ces intervalles a pour longueur 3− min
0<y<2
Z y 0
(cotα(v)−1,5/sinα(v))dv
= 3 + Z 2
0
(1,5/sinα(v)−cotα(v))dv
la quantit´e `a int´egrer ´etant de signe constant.
Cette quantit´e ne d´ependant pas de la d´eriv´eedα/dv, l’optimisation donne pourα la valeur constante arccos(2/3) comme pr´ec´edemment.
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