Modeling and simulation of diffusion

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Modeling and simulation of diffusion

Jing-Rebecca Li

To cite this version:

Jing-Rebecca Li. Modeling and simulation of diffusion. Modeling and Simulation. Université Paris Sud - Paris XI, 2013. �tel-00925028�

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✸ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ❞✐✛✉s✐♦♥ ♠❛❣♥❡t✐❝ r❡s♦♥❛♥❝❡ ✐♠❛❣✐♥❣ ✸✽ ✹ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ P❉❊ ♠♦❞❡❧ ✸✾ ✺ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❖❉❊ ♠♦❞❡❧ ✹✶ ✺✳✶ ❍❡✉r✐st✐❝ ♠♦❞❡❧ ✉s❡❞ ❜② ▼❘ ♣❤②s✐❝✐sts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ✺✳✷ ◆❡✇ ❖❉❊ ♠♦❞❡❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✻ ❈✉rr❡♥t P❤❉ s✉♣❡r✈✐s✐♦♥ ✹✼ ✻✳✶ P❉❊ ♠♦❞❡❧ ✿ ✜♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❡s❤ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✻✳✷ ❖❉❊ ♠♦❞❡❧ ✿ ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✼ ❘❡s❡❛r❝❤ ♣❧❛♥ ✹✼ ✼✳✶ ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ✈❛❧✐❞❛t✐♦♥ ♦❢ P❉❊ ♠♦❞❡❧ ✐♥ t❤❡ ❆♣❧②s✐❛ ❣❛♥❣❧✐❛ ♥❡✉r♦♥❛❧ ♥❡t✇♦r❦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✼✳✷ ■♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ ❜❧♦♦❞ ✢♦✇ ✐♥ ❜r❛✐♥ ♠✐❝r♦✲✈❡ss❡❧s ✐♥ P❉❊ ♠♦❞❡❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ✼✳✸ ▼❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ❖❉❊ ♠♦❞❡❧ ❛t s❤♦rt❡r ❞✐✛✉s✐♦♥ t✐♠❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾

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∆r3, l + 1₂
∆r3]❛r❡ t❤❡ ❧✐♠✐ts ♦❢ t❤❡ s❧✐❝❡ ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳ ❇② ❝❤♦♦s✐♥❣ Gim(t) = (0, G2, 0) ❢♦r ❛ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ∆t2 ❛♥❞ t❤❡♥ ❝❤♦♦s✐♥❣ Gim(t) =

✶✷ (G1, 0, 0) ❢♦r ❛ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ∆t1✱ t❤❡♥ t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ❛t r ❛t ❚❊ ✐s M (r, t) = ρ(r) e−T E/T2(r) _e−I(k1r1,+k2r2)_, ✇❤❡r❡ k1 = γG1∆t1 ❛♥❞ k2 = γG2∆t2✳ ❚❤❡ ▼❘■ s✐❣♥❛❧✱ ❛❝q✉✐r❡❞ ❛t ❡❝❤♦ t✐♠❡ t = T E✱ ✐s t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❛t s❧✐❝❡ ✿ ˆ µl(k1, k2) = Z r1,r2 µl(r1, r2) e−I(k1r1+k2r2)dr1dr2, ✭✺✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦♥tr❛st ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ✿ µl(r1, r2) = Z (l+1₂)∆r3 (l−1₂)∆r3 ρ(r1, r2, r3) e− T E T2(r1,r2,r3) _dr3 ! . ✭✻✮ ■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t t❤❡ ▼❘■ s✐❣♥❛❧ ✐♥ ❊q✳ ✺ ✐s t❤❡ ✷❉ ❋♦✉r✐❡r tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr❛st ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ❊q✳ ✻✳ ❇② t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ G1✱ G2✱ ❛♥❞ ∆t1 ❛♥❞ ∆t2 t❤❡ ❋♦✉r✐❡r tr❛♥s❢♦r♠ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛t ❛ s❡t ♦❢ ✷❉ ❋♦✉r✐❡r ♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ❋♦✉r✐❡r tr❛♥s❢♦r♠ ❝❛♥ ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❛♥❞ t❤❡♥ s❛♠♣❧❡❞ ❛t ♣❤②s✐❝❛❧ s♣❛❝❡ ♣♦✐♥ts t♦ ♦❜t❛✐♥ ✐♥ ❡❛❝❤ ✈♦①❡❧✱ Vi,j,l✇❤❡r❡ Vi,j,l :=  i − 1₂  ∆r1,  i +1 2  ∆r1  ×  j − 1₂  ∆r2,  j + 1 2  ∆r2  ×  l − 1₂  ∆r3,  l + 1 2  ∆r3  , ❛♥ ❛✈❡r❛❣❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr❛st ❢✉♥❝t✐♦♥ ✿ ¯ µl(i, j) ≈ Z Vi,j,l ρ(r1, r2, r3) e− T E T2(r1,r2,r3) _dr1dr2dr3, ✭✼✮ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❞✐s♣❧❛②❡❞ ✐♥ ❛♥ ✐♠❛❣❡✳ ■♥ ✭✼✮ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ t✇♦ ✇✐❞❡❧② ✉s❡❞ ❝♦♥tr❛st ♠❡❝❤❛♥✐s♠s ✐♥ ▼❘■✱ t❤❡ s♣✐♥ ❞❡♥s✐t② ❛♥❞ t❤❡ T2 r❡❧❛①❛t✐♦♥✳ ❇❡s✐❞❡s t❤❡ s♣✐♥ ❞❡♥s✐t② ❛♥❞ t❤❡ T2 r❡❧❛①❛t✐♦♥✱ t❤❡ ✇❛t❡r ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ✐♥ t❤❡ t✐ss✉❡ ❝❛♥ ❜❡ ❛♥♦t❤❡r s♦✉r❝❡ ♦❢ ❝♦♥tr❛st✳ ❍♦✇ t❤✐s ❝♦♥tr❛st ✐s ❡♥❝♦❞❡❞ ✐s ❜② t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦r❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞ ❣r❛❞✐❡♥ts✳ ❚❤✐s ❣r❛❞✐❡♥t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡♥♦t❡❞ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t Gdf(t)✳ ❖♥❡ ♣✉❧s❡ ♦❢ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ g ❜❡❢♦r❡ ✶✽✵ ❞❡❣r❡❡ r❡❢♦❝✉s✐♥❣ ♣✉❧s❡ ❛♥❞ t❤❡ s❛♠❡ ♣✉❧s❡ ❛❢t❡r✳ ❚❤❡ ❧❛❝❦ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡t❡ r❡❢♦❝✉ss✐♥❣ ✐s ❞✉❡ t♦ ✇❛t❡r ❞✐✛✉s✐♦♥ ❛♥❞ ❣✐✈❡s t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ▼❘■ ❝♦♥tr❛st✳ ❚❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① tr❛♥s✈❡rs❡ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❡✛❡❝ts ♦❢ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇❧♦❝❤✲❚♦rr❡② ❡q✉❛t✐♦♥ ❬✶✵✻❪ ✿ ∂M (r, t) ∂t = −Iγ r·Gim(t) M (r, t) − M (r, t) T2(r) −Iγ r·gf(t) M(r, t)+∇·  D(r)∇M(r, t), ✭✽✮ ✇❤❡r❡ Gdf(t) = g f (t)✱ f(t) ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡ ♣r♦✜❧❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t✳ ❚❤❡ ❧❛st t❡r♠ ✐♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❝♦♥❝❡r♥s t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✭r❛♥❞♦♠ ♠♦✈❡♠❡♥t✮ ♦❢ ✇❛t❡r ♠♦❧❡❝✉❧❡s✳ ❚❤❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞ ❣r❛❞✐❡♥ts ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ ✏♣✉❧s❡s✑✳ ❚❤❡ t❡r♠ ✏♣✉❧s❡✑ ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞ ❣r❛❞✐❡♥t ✐s t✉r♥❡❞ ♦♥ ♦♥❧② ❢♦r ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞✉r❛t✐♦♥ ✐♥ t✐♠❡✳ ❚❤❡

✶✸ ✉s✉❛❧ ♥♦t❛t✐♦♥ ✐s t❤❛t t❤❡ ❞✉r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣✉❧s❡s ✐s δ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ st❛rt ♦❢ ❛❞❥❛❝❡♥t ♣✉❧s❡s ✐s ∆✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❢♦r t❤❡ st❛♥❞❛r❞ P✉❧s❡❞✲●r❛❞✐❡♥t ❙♣✐♥ ❊❝❤♦ ✭P●❙❊✮ ❬✾✼❪ s❡q✉❡♥❝❡✱ ♠❛❞❡ ♦❢ t✇♦ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ♣✉❧s❡s ✭❞✉r❛t✐♦♥ δ✱ s❡♣❛r❛t❡❞ ❜② ❛ t✐♠❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ∆ − δ✱ s❡❡ ❋✐❣✉r❡ ✭✶✮✮ t❤❡ ♣r♦✜❧❡ f(t) ✐s ✿ f (t) =      1, t1 ≤ t ≤ t1+ δ, −1, t1+ ∆ < t ≤ t1+ ∆ + δ, 0, ❡❧s❡✇❤❡r❡, ✭✾✮ ✇❤❡r❡ t1 ✐s t❤❡ st❛rt✐♥❣ t✐♠❡ ♦❢ t❤❡ ✜rst ♣✉❧s❡ ❛♥❞ T E₂ ✱ t❤❡ t✐♠❡ ♦❢ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✶✽✵ ❞❡❣r❡❡ r❡❢♦❝✉ss✐♥❣ ♣✉❧s❡✱ ✐s ❜❡t✇❡❡♥ t1+ δ ❛♥❞ t1+ ∆✳ ❋✐❣✳ ✶ ✕ ❆ P●❙❊ s❡q✉❡♥❝❡ ❢♦r t1 = 0✳ ❯♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t ✇❛t❡r ♠♦❧❡❝✉❧❡s ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ❛ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ✭♦r ❤♦♠♦✲ ❣❡♥✐③❡❞✮ ✐s♦tr♦♣✐❝ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t Dhom ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ✈♦①❡❧ Vi,j,l✱ t❤❡ ✇❛t❡r ♠♦❧❡❝✉❧❡s ❛t ♣♦s✐t✐♦♥ r0 ∈ Vi,j,l❛t t = t1❞✐✛✉s❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✿ u(r, t) = e −kr−r0k2/4Dhom(t−t1) (4πDhom_{(t − t} 1)) d 2 , d = 3, ✇❤❡r❡ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ u(r, t) ✐s ♠✉❝❤ s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ Vi,j,l ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❞✐st❛♥❝❡ ✐♥ ❛ ❞▼❘■ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ✐s ♠✉❝❤ s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛ ✈♦①❡❧ ✭✇❡ ❤❛✈❡ ♥❡❣❧❡❝t❡❞ t❤♦s❡ r0 t❤❛t ❛r❡ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ Vi,j,l✮✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t δ ≪ ∆ ✭t❤❡ ♥❛rr♦✇ ♣✉❧s❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✮✱ t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲❡♥❝♦❞✐♥❣ ♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞ ❣r❛❞✐❡♥t ♣✉❧s❡ ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① tr❛♥s✈❡rs❡ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ❞✉❡ t♦ ✇❛t❡r ♠♦❧❡❝✉❧❡s st❛rt✐♥❣ ❛t r0❛t t = t1❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛ ❣❛✐♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ♣❤❛s❡ e−Iγg·r0δ ❜❡t✇❡❡♥ t 1 ❛♥❞ t1+ δ✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ♠❛❣♥❡t✐③❛t✐♦♥ ❞✉❡ t♦ ✇❛t❡r ♠♦❧❡❝✉❧❡s ❛t ♣♦s✐t✐♦♥ r ❛t t1+ ∆ ❣❛✐♥ ❛ ❝♦♠♣❧❡① ♣❤❛s❡ eIγg·r δ ❜❡t✇❡❡♥ t1 + ∆ ❛♥❞ t1 + ∆ + δ✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ▼❘■ s✐❣♥❛❧✱ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ❤❛✈✐♥❣ ♥♦ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❣r❛❞✐❡♥t g✱ ❞✉❡ t♦ ✇❛t❡r ♠♦❧❡❝✉❧❡s ❛t r0 ✇❤❡♥ t = t1✱ ✐s ❛♥ ❛tt❡♥✉❛t✐♦♥ ✭❧♦ss✮ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ✿ Z r∈Vi,j,l e−kr−r0k2/4Dhom∆ (4πDhom_∆)d2 eIγg·(r−r0) δ _{= e}−γ2δ2kgk2Dhom∆_, ✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❋♦✉r✐❡r tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ♦r ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥✳

✶✹ ■❢ δ ✐s ♥♦t s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ∆✱ t❤❡♥ ✐♥ ❢❛❝t✱ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ❛tt❡♥✉❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✈♦①❡❧ Vi,j,l ✐s ❬✶✵✻❪ ✿ S(b, T E) = e−Dhomb, ✇❤❡r❡ t❤❡ ❜✲✈❛❧✉❡ ✐s ❛ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢❛❝t♦r ❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❬✺✾❪ ❛♥❞ ✐t ✐s b(g, δ, ∆) = γ2_kgk2δ2_{(∆ − δ/3) ,} ✭✶✵✮ ❢♦r t❤❡ P●❙❊ s❡q✉❡♥❝❡✳ ❚❤❡ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t ♦❢ ∆ ❜② ∆ − δ/3 ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♣✉❧s❡s t❤❛t ❛r❡ ♥♦t ♥❛rr♦✇✳ ■♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲❡♥❝♦❞✐♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ✐♠❛❣❡ ❝♦♥tr❛st ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ✭✻✮ ❜❡❝♦♠❡s ✿ µl(r1, r2) = Z (l+1₂)∆r3 (l−1₂)∆r3 c ρ(r1, r2, r3) e−t/T2(r1,r2,r3)e−D hom_(r 1,r2,r3) b_dr 3 ! . ✭✶✶✮ ❚❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✇❡✐❣❤t❡❞ ✐♠❛❣✐♥❣ ✐s t❤❛t t❤❡ ▼❘■ s✐❣♥❛❧ ✐s ❛❝q✉✐r❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❣r❛❞✐❡♥t g ❛s ✇❡❧❧ ❛s ✇✐t❤ ♥♦ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❣r❛❞✐❡♥t✳ ❚❤❡ ✜rst ✐♠❛❣❡ ✭❛❢t❡r ✐♥✈❡rs❡ ❋♦✉r✐❡r tr❛♥s❢♦r♠✮ ✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ❜② t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♠❛❣❡ ❛♥❞ t❤❡ ❧♦❣ ♦❢ t❤❡ r❛t✐♦ ✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ❜② b ❣❡t ❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ♦❢ Dhom_(r 1, r2, r3) ✐♥ ❡❛❝❤ ✈♦①❡❧✳ ❚❤✐s ❡st✐♠❛t❡❞ ✈❛❧✉❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ✏❆♣♣❛r❡♥t ❉✐✛✉s✐♦♥ ❈♦❡✣❝✐❡♥t✑ ✭❆❉❈✮✱ ❛♥❞ s❡r✈❡s ❛s t❤❡ ❝♦♥tr❛st ♠❡❝❤❛♥✐s♠✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ✇❛s r❡❛❧✐③❡❞ t❤❛t ✇❤❡♥ g ✐s ✈❛r✐❡❞ ✐♥ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦r ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ ADC ❝❤❛♥❣❡s s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧②✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❆❉❈ ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥ ∆ ✐s ✈❛r✐❡❞✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ❜② ✜①✐♥❣ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ g ❛♥❞ ∆ ✭❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ♣✉❧s❡ ❞✉r❛t✐♦♥ δ✮ ❛♥❞ ✈❛r②✐♥❣ t❤❡ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ kgk✱ ♦♥❡ ❝❛♥ s❡❡ ❝❧❡❛r❧② t❤❛t t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲✐♥❞✉❝❡❞ ▼❘■ s✐❣♥❛❧ ❛tt❡♥✉❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❛ ❞❡❝❛②✐♥❣ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ✐♥ b✳ ❚❤❡ r❡❛s♦♥ ❢♦r t❤✐s ✐s t❤❛t ✐♥ ❜✐♦❧♦❣✐❝❛❧ t✐ss✉❡✱ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t s❡❡♥ ❜② ✇❛t❡r ♠♦❧❡❝✉❧❡s ❞✉r✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ ♦❢ ∆ ✭t❡♥s ♦❢ ♠✐❧❧✐s❡❝♦♥❞s✮ ✐s ♥♦t ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❝❡❧❧s ♠❡♠❜r❛♥❡s ❛♥❞ ♦t❤❡r ❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t✐❡s✳ ■t ❛❧s♦ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ s✐♠♣❧② ❜② ❛ ❤♦♠♦❣❡♥✐③❡❞ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ✭♦r t❡♥s♦r✮ ❜❡❝❛✉s❡ ∆ ✐s ♥♦t ❧♦♥❣ ❡♥♦✉❣❤✳ ❚❤❡ r❡s❡❛r❝❤ t❤❛t ■ ✇✐❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❛rt ♦❢ t❤✐s t❤❡s✐s ✐s ❛❜♦✉t ❡①♣❧❛✐♥✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝❡❧❧✉❧❛r ❣❡♦♠❡tr②✱ ❝❡❧❧ ♠❡♠❜r❛♥❡ ♣❡r♠❡❛❜✐❧✐t②✱ ❛♥❞ t❤❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❞▼❘■ s✐❣♥❛❧ ❛tt❡♥✉❛t✐♦♥✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ■ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ♠♦r❡ ❛❝❝✉r❛t❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ❝♦♥tr❛st ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛♥ ✭✶✶✮✳ ❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ■ ✇✐❧❧ ♥♦t✱ ❛t t❤✐s t✐♠❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ T2 r❡❧❛①❛t✐♦♥✳ ❆♥❞ s✐♥❝❡ ■ ❥✉st ✇❛♥t t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ❝♦♥tr❛st ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ❞♦♠❛✐♥✱ ■ ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ♥❡❣❧❡❝t t❤❡ ✐♠❛❣✐♥❣ ❣r❛❞✐❡♥ts✳ ◆♦✇ ■ ✇✐❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ s♦♠❡ ❛s♣❡❝ts ♦❢ t❤❡ ♣❤②s✐❝s ❛♥❞ t❤❡ ❜✐♦❧♦❣② ♦❢ ❞▼❘■ ♦❢ t❤❡ ❜r❛✐♥✳ ❉▼❘■ ✐s ❧✐♠✐t❡❞ t♦ ❛ r❛♥❣❡ ♦❢ ❞✐✛✉s✐♦♥ t✐♠❡s ✐t ❝❛♥ ♠❡❛s✉r❡ ❞✉❡ t♦ ❜✐♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛♥❞ t❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡❛s♦♥s✳ ■♥ t❤❡ ❜r❛✐♥✱ ❞✐✛✉s✐♦♥ t✐♠❡s ✐♥ t❤❡ r❛♥❣❡ ♦❢ ✶♠s✲✶✵✵♠s ❝❛♥ ❜❡ ♠❡❛s✉r❡❞✱ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛✈❡r❛❣❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❞✐st❛♥❝❡s ♦❢ ✷✳✺µm✲✷✺µm✳ ❚❤✐s ❞✐st❛♥❝❡ ✐s ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r ❛❧❧ ✇❛t❡r ♠♦❧❡❝✉❧❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ✇❛t❡r ♠♦❧❡❝✉❧❡s st❛rt❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡✉r♦♥❛❧ ❜♦❞✐❡s✱ t❤❡ ♥❡✉r✐t❡s ✭❞❡♥❞r✐t❡s ❛♥❞ ❛①♦♥s✮ ♦r t❤❡ ❡①tr❛✲❝❡❧❧✉❧❛r s♣❛❝❡✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ s♦♠❡ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ t❤❡ ❜r❛✐♥ ❣r❛② ♠❛tt❡r t❤❛t ♠❛❦❡ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❜r❛✐♥ ❣r❛② ♠❛tt❡r ✈❡r② ❞✐✣❝✉❧t ✿ ✶✳ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧s ❛r❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧❧② ❝♦♠♣❧❡①✳ ◆❡✉r♦♥s ❤❛✈❡ ❛ s♦❧✐❞ ❝❡❧❧ ❜♦❞②✱ ♠❡❛s✉✲ r✐♥❣ ✶ t♦ ✶✵ µm ✐♥ ❞✐❛♠❡t❡r✳ ❆tt❛❝❤❡❞ t♦ t❤❡ ♥❡✉r♦♥❛❧ ❜♦❞② ❛r❡ ❧♦♥❣ ♣r♦tr✉s✐♦♥s

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Dl _∇Ml_{(a, t|g) · n}l(a)
_{= −D}n_(∇Mn_{(a, t|g) · n}n_{(a)) , a ∈ Γ}ln, ✭✶✸✮

✇❤❡r❡ nl_{(a) ❛♥❞ n}n_{(a) ❛r❡ t❤❡ ♦✉t✇❛r❞✲♣♦✐♥t ♥♦r♠❛❧s t♦ Ω}l _{❛♥❞ Ω}n _{❛t a✱ s♦ ✐♥ ❢❛❝t}