Génération de champs magnétiques statiques par courant et aimant permanent. Méthode de calcul de la synthèse de champ et réalisation de profil quelconque

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Génération de champs magnétiques statiques par

courant et aimant permanent. Méthode de calcul de la

synthèse de champ et réalisation de profil quelconque

Alexandre Labiche

To cite this version:

Alexandre Labiche. Génération de champs magnétiques statiques par courant et aimant permanent. Méthode de calcul de la synthèse de champ et réalisation de profil quelconque. Physique Numérique [physics.comp-ph]. Université Paris Sud - Paris XI, 1998. Français. �tel-00723886v2�

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ORSAY

N° D’ORDRE: 4963

UNIVERSITE DE PARIS-SUD

U.F.R. SCIENTIFIQUE D’ORSAY

THESE présentée

Pour obtenir

Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES

DE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAY

PAR

Alexandre LABICHE

SUJET:

Génération de champs magnétiques statiques par courant et aimant

permanent. Méthode de calcul de la synthèse de champ et

réalisation de profil quelconque.

Soutenue le

Mercredi 7 Janvier 1998

devant la Commission

d’examen

MM. COULOMB

Jean Louis

Rapporteur

JEANDEY

Christian

Membre du jury

L’HUILLIER

Jean Pierre

Rapporteur

(3)

Génération de champs magnétiques statiques

par courant et aimant permanent.

M´ethode de calcul de la synth`ese de champ et

r´ealisation de profil quelconque.

LABICHE Alexandre

23 Octobre 1997

(4)

Remerciements

Je remercie vivement mon directeur de thèse M. Taquin pour sa disponibi-lité et son suivi tout au long de cette thèse. Son expérience dans le domaine du calcul des champs magnétiques fût indispensable et les orientations choisies furent bénéfiques. Ces trois années ont donc été très riches en enseignement. Je remercie grandement les directeurs du laboratoire, M. M. Sauzade et M. J. Bittoun, pour m’avoir accepté dans leur unité et avoir mis à disposition les moyens nécessaires à ce travail.

Je remercie vivement M. S.K. Kan pour m’avoir enseign´e un domaine connexe tel que le calcul de champ radiofr´equence.

Je remercie aussi toute l’´equipe du laboratoire pour son soutien et sa grande gentillesse.

Je remercie les membres du jury, en particulier M. Coulomb et M. L’huillier pour avoir accepté la charge supplémentaire de rédaction des rapports de thèse.

Je remercie L’Ecole Spéciale des Travaux Publics qui a contribué pour une large part à l’aboutissement de ce travail.

Un grand merci à mes parents Raymonde et Jacques qui m’ont permis de poursuivre mes études jusqu’à cet aboutissment.

(5)

Table des mati`

eres

Introduction 3

1 D´etermination du champ ~B 5

1.1 Potentiel Scalaire . . . 5

1.2 Coordonnées généralisées . . . 5

1.2.1 D´etermination de la matrice F . . . 7

1.3 Coordonn´ees cylindriques . . . 8

1.3.1 Matrice F en coordonn´ees cylindriques . . . 8

1.4 Coordonn´ees cart´esiennes . . . 11

1.4.1 Matrice F en coordonn´ees cart´esiennes . . . 11

1.5 Forme des aimants . . . 13

1.6 Influence du champ d´emagn´etisant . . . 14

1.6.1 Calcul du champ d´emagn´etisant . . . 15

2 Correction du champ 19 2.1 D´eveloppement du potentiel . . . 19

2.2 Conditions sur le calcul des coefficients . . . 22

2.3 Algorithme de calcul des coefficients . . . 25

2.4 Annulations des coefficients . . . 28

2.5 Calcul des aimants correcteurs . . . 28

2.5.1 Développement d’un aimant en polynômes de Legendre 29 2.5.2 Approximation de l’intégration surfacique . . . 30

2.5.3 Annulation des coefficients . . . 31

2.5.4 Configuration mat´erielle de la correction . . . 33

(6)

2.6.1 Discussion sur le sens d’aimantation des aimants par

rapport au champ principal . . . 36

2.7 Influence sur les composantes transverses . . . 38

2.8 D´eveloppement du champ en fonctions de Bessel . . . 40

3 Résolution non linéaire 43 3.1 Méthode générale . . . 43

3.2 Racines des ´equations de Legendre . . . 44

3.3 Inversion de la matrice jacobienne . . . 46

3.4 Décomposition en valeur singulière d’une matrice carrée . . . . 47

3.5 Organigramme du logiciel . . . 48

4 Application `a deux variables 51 4.1 Allure des courbes a00, a10, a20. . . 52

4.2 Choix de vecteurs initiaux . . . 52

5 Génération de champ par fils de courant 57 5.1 Développement du champ d’un segment de fil . . . 58

5.1.1 Calcul de la composante Bz (voir Fig 5.1) . . . 58

5.1.2 Calcul de la composante Bx (voir Fig 5.1) . . . 59

5.1.3 Calcul de la composante By (voir Fig 5.1) . . . 60

5.2 G´en´erateur de champ uniforme . . . 62

5.3 G´en´eration d’un gradient de champ ∂Bx ∂x . . . 64

5.4 G´en´eration d’un gradient de champ ∂Bx ∂y . . . 67

5.5 G´en´eration d’un gradient de champ ∂Bx ∂z . . . 74

5.6 Arcs de retour . . . 74

5.7 G´en´eration d’un champ sinusoidal . . . 79

6 Exp´erimentation 82 6.1 Environnement de mesure . . . 82

6.2 Mesure du gradient a11 version I . . . 83

6.3 Mesure du gradient a11 version II . . . 85

6.4 Validation de la cage d’aimants . . . 85

(7)

(8)

Introduction

Ce document présente une technique de synthèse de champ magnétique statique. A partir d’un profil de champ désiré, il s’agit de retrouver la position ou certaines caractéristiques de sources de champ. Comme les équations uti-lisées sont celles du développement du champ en 1/R, nous pouvons étendre cette technique aux champs électrostatiques. Du point de vue numérique, c’est la recherche des racines de ces équations qui nous intéresse et non une optimisation d’une fonction de coût. Nous avons donc suivi l’heuristique générale qui veut que le nombre d’équations doit être égal au nombre d’in-connues. Les degrés de liberté du système (nombre d’aimants, déplacement en x,y des conducteurs, valeur du courant, etc...) sont donc en accord avec le nombre d’équations à résoudre. Mais ceci est vrai dans les problèmes linéaires et en aucun cas nous ne pouvons assurer une solution dans les systèmes non linéaires même si on augmente le nombre de degrés de liberté et ensuite résoudre le problème par une technique des moindres carrés. Sur ce dernier point, c’est une fonctionnelle qui va être minimisée et rien ne peut être dit a priori sur la précision des résultats.

Nous avons choisi la recherche des vraies racines de ces équations. Le système de résolution est de cette fa¸con capable de donner quelles sont les ´

equations qui ne peuvent pas être annulées (ou égales à une valeur fixe). En ´

etudiant finement ce problème, certaines caractéristiques des structures de génération de champ sont nécessaires, elles sont présentées tout au long du document.

Nous commencerons donc par le calcul direct du champ magnétique généré par un aimant permanent. Ce calcul ne pose pas réellement de difficulté, il s’agit surtout d’obtenir une précision suffisante par rapport au champ réel. Cette étape permet ultérieurement de vérifier la validité d’une configuration sans avoir systématiquement besoin de réaliser une maquette. Nous verrons qu’un seul paramètre doit être déterminé expérimentalement, il s’agit du champ rémanent de chaque aimant composant la structure de correction. Nous étudierons ensuite le problème inverse qui fournira la position des

(9)

ai-mants. C’est le sujet mˆeme de la th`ese.

Dans les cas pratiques, nous pourrons soit contrôler les défauts de champs en les mesurant préalablement et ensuite générer un profil en adéquation avec le champ déjà présent, soit générer un profil simple sans tenir compte des éventuels défauts liés à l’environnement. Nous avons traité le premier cas par une configuration d’aimants et le deuxième cas par fils conducteurs. Le calcul direct du champ généré par des conducteurs n’est pas présenté car nous utilisons la loi de Biot-Savart. La validité expérimentale est d’ailleurs aisée car il n’y a aucune approximation et le courant circulant dans les conducteurs est facilement contrôlable (à contrario de la valeur du champ rémanent des aimants).

Dans notre cas, l’imagerie par résonance magnétique à bas champ nécessite un champ de 1010 Gauss pour une fréquence de résonance de l’hydrogène à 4.3 MHz. Dans le cadre même de l’imagerie, l’homogénéité du champ magnétique statique doit être excellente. Dans notre cas l’erreur maximale dans la zone utile est de plus ou moins 10 mG (10−6 T). Ceci représente donc une erreur relative pour un imageur à bas champ de 10 parties par million (10 ppm pour 1010 Gauss). En comparaison, le champ magnétique terrestre sous nos lati-tudes est de l’ordre de 500 mG. Vu la grande homogénéité de ce champ, cela ne pose pas de difficultés majeures. En revanche, en présence de structures métalliques avoisinantes (fer à béton par exemple) le champ magnétique ter-restre sera dévié localement. De ce fait, il générera à lui seul une erreur très importante dans la zone utile. Il s’agit alors de bien cartographier ces défauts afin d’avoir une référence lors de la mesure d’une configuration. Il apparaˆıt qu’un réglage à 10 mG près ne permet absolument pas de déplacer la machine et surtout pas de la tourner, une fois que celle-ci est réglée.

Dans cette étude nous considérerons que l’ajout d’aimants ou de conduc-teurs ne peuvent pas aimanter les structures avoisinantes et que la perméabilité magnétique est constante dans la zone de correction.

(10)

Chapitre 1

D´

etermination du champ ~

B

Nous allons étudier la validité du calcul direct du champ magnétique généré par un aimant permanent. Bien que les aimants utilisés soient cy-lindriques, nous justifierons l’usage d’une formule simple issue du calcul en coordonnées cartésiennes. Nous étudierons aussi la démagnétisation propre de l’aimant et la possibilité de l’intégrer en déterminant expérimentalement la valeur du champ rémanent de chaque aimant.

1.1 Potentiel Scalaire

Si dans une région donnée il n’y a pas de sources de courant, nous pouvons définir un potentiel scalaire ψ, tel que:

~

B(~r) = − ~∇ψ(~r) (1.1)

En présence de milieux magnétiques [41, p.37], le potentiel s’écrit: ψ(~r) = 1 4π Z V ~ ∇0 M (~~ r 0₎ |~ri− ~r0| dv0 (1.2)

Si l’aimantation ~M est définie et localisée, une intégration par partie donne: ψ(~r) = 1 4π Z V ~ M (~r0_{). ~}_∇0 1 |~ri− ~r0| dv0 (1.3)

1.2 Coordonn´

ees g´

en´

eralis´

ees

Le champ magnétique ~B en un point i de l’espace, déterminé à partir du champ ~Bext créé par des courants et du champ produit par un corps aimanté

(11)

de volume V et d’aimantation ~M est donn´e par l’expression: ~ B(~ri) = ~Bext(~ri) − 1 4π ~ ∇ Z V ~ M (~r0_{). ~}_∇0 1 |~ri− ~r0| dv0 (1.4)

o`u ~ri et ~r0 sont respectivement les coordonn´ees du point i et les

coor-donn´ees internes du volume V .

I M(r') B r' r_i V dv'

Fig. 1.1 – Champ magn´etique produit par un corps aimant´e et des lignes de courant.

Si l’on discrétise le volume aimanté V en N éléments Vi tel que

l’aimanta-tion puisse y être considérée comme homogène, le champ magnétique créé en un point j du volume V peut se mettre sous la forme matricielle suivante[41, p.9]: [Bj] = [B0,j] + N X i=1 i6=j [Fij] . [Mi] − [Dj] . [Mj] (1.5)

La matrice F permet de calculer le champ cr´e´e par l’aimantation Mi

d’un volume Vi en un point quelconque hors du dit volume. Formellement,

la matrice D est identique à la matrice F , elle exprime l’influence du champ généré par un volume élémentaire sur lui-même. Ceci se traduit par une

(12)

diminution de l’aimantation du matériau et de ce fait du champ d’excitation extérieure ~B. La matrice D est alors appelée matrice démagnétisante. Pour simplifier les calculs, la matrice ligne D est déterminée suivant le point de calcul situé au centre de l’élément et de ce fait [39], la matrice est constituée des termes diagonaux de la matrice F . Il est impératif de tenir compte de la démagnétisation si l’on cherche l’aimantation ~M (r0) induite dans le matériau par un champ extérieur, ~M = f ( ~H), car les erreurs peuvent être conséquentes et dépendent de la forme du volume aimanté. Comme nous le verrons par la suite, le champ peut baisser de 1% dans le cas d’un volume aimanté cubique. La forme matricielle de cette dernière relation s’écrit

[Mj] = [χj] . [Bj] (1.6)

La résolution simultanée des deux équations (1.5) et (1.6) permet de calculer le champ magnétisant dans chaque élément. Dans la thèse [41] et l’article [39], la solution repose sur un calcul itératif permettant à chaque ´

etape d’affiner les aimantations [Mj].

1.2.1 D´

etermination de la matrice F

Le calcul du gradient d’une fonction scalaire f (u1,u2,u3) en coordonn´ees

curvilignes orthogonales dont le repère est supporté par les vecteurs normés ~ e1, ~e2, ~e3 s’écrit [50, p.72] ~ ∇f (u1,u2,u3) = 3 X l=1 1 √ gii ∂f ∂ui e~i (1.7)

Le champ magnétique ~B est alors déterminé par l’équation ~ B(~ri) = B~ext(~ri) − 1 4π × 3 X k=1 3 X l=1 M (r0) √ gkk ∂ ∂uk Z V 1 √ gll ∂ ∂ul 1 |~ri− ~r0| dv0 ! ~ek (1.8)

(13)

1.3 Coordonn´

ees cylindriques

1.3.1 Matrice F en coordonn´

ees cylindriques

Le tenseur métrique gij en coordonnées cylindriques s’écrit

[gij] =    1 0 0 0 ρ2 ₀ 0 0 1    (1.9)

Nous identifions ensuite le terme en double somme dans l’´equation (1.8) avec la matrice [Fij] de l’´equation (1.5). La matrice D est obtenue quand le

point de calcul r se trouve à l’intérieur du volume d’intégration de l’élément. En coordonnées cylindriques (ρ,φ,z) Figure (1.2), la matrice F peut s’écrire:

[Fij] = 1 4π    Fρρ0 F_ρφ0 F_ρz0 Fφρ0 F_φφ0 F_φz0 Fzρ0 F_zφ0 F_zz0    (1.10)

Z

X

Y

z

ρ

φ

M

Fig. 1.2 – Variables utilis´ees en coordonn´ees cylindriques.

L’identification des ´el´ements de la matrice conduit aux expressions sui-vantes:

(14)

Fρρ0 = ∂ ∂ρ Z V ∂_R1 ∂ρ0 ρ 0 dρ0dφ0dz0 Fρφ0 = ∂ ∂ρ Z V 1 ρ0 ∂_R1 ∂φ0 ρ 0 dρ0dφ0dz0 = ∂ ∂ρ Z S ₁ R φ2 φ1 dρ0dz0 Fρz0 = ∂ ∂ρ Z V ∂_R1 ∂z0 ρ 0 dρ0dφ0dz0 = ∂ ∂ρ Z S ₁ R z2 z1 ρ0dρ0dφ0 Fφρ0 = 1 ρ ∂ ∂φ Z V ∂_R1 ∂ρ0 ρ 0 dρ0dφ0dz0 = −1 ρ Z S   ∂_R1 ∂ρ0   φ2 φ1 ρ0dρ0dz0 Fφφ0 = 1 ρ ∂ ∂φ Z V 1 ρ0 ∂_R1 ∂φ0 ρ 0 dρ0dφ0dz0 = 1 ρ ∂ ∂φ Z S ₁ R φ2 φ1 dρ0dz0 Fφz0 = 1 ρ ∂ ∂φ Z V ∂_R1 ∂z0 ρ 0 dρ0dφ0dz0 = −1 ρ Z L ₁ R φ2,z2 φ1,z1 ρ0dρ0 Fzρ0 = ∂ ∂z Z V ∂_R1 ∂ρ0 ρ 0 dρ0dφ0dz0 = − Z S   ∂1 R ∂ρ0   z2 z1 ρ0dρ0dφ0 Fzφ0 = ∂ ∂z Z V 1 ρ0 ∂_R1 ∂φ0 ρ 0 dρ0dφ0dz0 = − Z L ₁ R φ2,z2 φ1,z1 dρ0 Fzz0 = ∂ ∂z Z V ∂_R1 ∂z0 ρ 0 dρ0dφ0dz0

(15)

= ∂ ∂z Z S ₁ R z2 z1 ρ0dρ0dφ0

o`u R est la distance entre le point de mesure et le point d’int´egration R =qρ2_{+ ρ}02_{− 2ρρ}0_{cos(φ − φ}0_{) − (z − z}0₎2

Après l’intégration analytique, on obtient les équations suivantes:

fρρ0dφ0 = ρ ρ0z − ρ ρ0z0− ρ02_{z cos(φ − φ}0_{) + ρ}02_z0 _{cos(φ − φ}0₎ ρ2_{+ ρ}02_{− 2 ρ ρ}0 _{cos(φ − φ}0₎ _R + cos(φ − φ0) log(−z + z0+ R) + arctan( (z − z 0₎ ρ sin(φ − φ0₎) sin(φ − φ 0 ) + arctan((z − z 0_{) (−ρ}0_{+ ρ cos(φ − φ}0₎₎₎ ρ R sin(φ − φ0₎ ) sin(φ − φ 0 ) Fρφ0 = cos(φ − φ0) log(−z + z0+ R) −1 2arctan( (z − z0) ρ sin(φ − φ0₎) sin(φ − φ 0 ) − arctan((z − z 0_{) (−ρ}0_{+ ρ cos(φ − φ}0₎₎ ρ R sin(φ − φ0₎ ) sin(φ − φ 0 ) fρz0dφ0 = ρ − ρ0 cos(φ − φ0) R +ρ cos(φ − φ 0₎ _{− cos(φ − φ}0_{) +} ρ−ρ0_cos(φ−φ0₎ R ρ0_{− ρ cos(φ − φ}0_{) + R} +

+ cos(φ − φ0) log(ρ0 − ρ cos(φ − φ0_{) + R)}

fφρ0dz0 = − ρ0 R − log(ρ 0 _{− ρ cos(φ − φ}0_{) + R)} ρ Fφφ0 = − arctan( (z − z0) ρ sin(φ − φ0₎) cos(φ − φ 0 ) ! + +1 2arctan( (−z + z0) (−ρ0+ ρ cos(φ − φ0)) ρ R sin(φ − φ0₎ ) cos(φ − φ 0 ) + log(−z + z0+ R) sin(φ − φ0) Fφz0 = −

R + ρ cos(φ − φ0) log(ρ0− ρ cos(φ − φ0) + R) ρ fzρ0dφ0 = − ρ0 R + log(ρ 0 _{− ρ cos(φ − φ}0 ) + R) Fzφ0 = − log(ρ0− ρ cos(φ − φ0) + R) fzz0dφ0 = z − z0 R + ρ (z − z0) cos(φ − φ0) R (ρ0_{− ρ cos(φ − φ}0_{) + R)}

(16)

On s’aper¸coit qu’il reste à intégrer numériquement fρρ0,f_ρz0,f_zρ0,f_zz0 en φ0

et fφρ0 en z’. Il s’agit ici de primitives, il convient d’appliquer les bornes

avant toute int´egration num´erique. Par exemple, pour fρρ0dφ0 on calculera

pr´ealablement les 4 termes provenant de l’int´egration en ρ0 et z0.

1.4 Coordonn´

ees cart´

esiennes

1.4.1 Matrice F en coordonn´

ees cart´

esiennes

Le tenseur métrique gij est dans ce cas particulièrement simple et est égal

` a la matrice identit´e: [gij] =    1 0 0 0 1 0 0 0 1    (1.11) on ´ecrira que [51, p.59] [Fij] = 1 4π    Fxx0 F_xy0 F_xz0 Fyx0 F_yy0 F_yz0 Fzx0 F_zy0 F_zz0    (1.12) avec Fxx0 = ∂ ∂x Z V ∂_R1 ∂x0 dx 0 dy0dz0 = ∂ ∂x Z S 1 R x2 x1 dy0dz0 Fxy0 = ∂ ∂x Z V ∂_R1 ∂y0 dx 0 dy0dz0 = − Z L ₁ R x2,y2 x1,y1 dz0 Fxz0 = ∂ ∂x Z V ∂_R1 ∂z0 dx 0 dy0dz0 = − Z L 1 R x2,z2 x1,z1 dy0 Fyx0 = ∂ ∂y Z V ∂_R1 ∂x0 dx 0 dy0dz0

(17)

= − Z L ₁ R x2,y2 x1,y1 dz0 Fyy0 = ∂ ∂y Z V ∂_R1 ∂y0 dx 0 dy0dz0 = ∂ ∂y Z S ₁ R y2 y1 dx0dz0 Fyz0 = ∂ ∂y Z V ∂_R1 ∂z0 dx 0 dy0dz0 = − Z L ₁ R y2,z2 y1,z1 dx0 Fzx0 = ∂ ∂z Z V ∂1 R ∂x0 dx 0 dy0dz0 = − Z L 1 R x2,z2 x1,z1 dy0 Fzy0 = ∂ ∂z Z V ∂_R1 ∂y0 dx 0_dy0_dz0 = − Z L ₁ R y2,z2 y1,z1 dx0 Fzz0 = ∂ ∂z Z V ∂_R1 ∂z0 dx 0_dy0_dz0 = ∂ ∂z Z S ₁ R z2 z1 dx0dy0 (1.13)

On obtient les formes analytiques suivantes1_:

Fxx0 = arctan (y − y0)(z − z0) (x − x0_{) R} ! Fxy0 = − ln(−z + z0+ R) Fxz0 = − ln(−y + y0 + R) Fyx0 = − ln(−z + z0+ R) Fyy0 = arctan (x − x0)(z − z0) (y − y0_{) R} ! Fyz0 = − ln(−x + x0+ R) Fzx0 = − ln(−y + y0 + R)

1. A partir de ces primitives on int´egrera suivant les bornes x1,x2,y1,y2,z1,z2, cela fera

(18)

Fzy0 = − ln(−x + x0+ R)

Fzz0 = arctan

(x − x0)(y − y0) (z − z0_{) R}

!

Les formules en coordonnées cartésiennes sont d’une grande utilité dans notre étude. Nous pouvons calculer rapidement le champ généré par un pe-tit aimant parallèlipipédique dont l’aimantation interne ~M sera considérée homogène et dirigée suivant l’axe ~z uniquement. Si nous voulons déterminer la composante z du champ extérieur généré par cet aimant, à partir de Fzz0

nous obtenons: Bz(x,y,z) = Mz 4π " arctan (x − x 0_{)(y − y}0₎ (z − z0_{) R} !#x2,y2,z2 x1,y1,z1 (1.14) avec R =q(x − x0₎2_{+ (y − y}0₎2_{+ (z − z}0₎2

La figure (1.3) représente le profil du champ Bzgénéré par un petit aimant

placé à 10 cm de l’axe z. La section transversale de cet aimant est carrée et de coté = q0.0042_{π/4. La longueur suivant z est de 5mm et l’aimantation}

rémanente est égale à 1,2 Tesla.

1.5 Forme des aimants

Le problème consiste à prouver la validité de la formule (1.14) pour un aimant à section cylindrique. Cette formule est rigoureuse pour un ai-mant ayant la forme d’un parallélépipède rectangle. Il est beaucoup plus ´

economique en temps de calcul d’utiliser cette forme analytique que la for-mule Fzz0 page 10 où il reste à effectuer une intégration suivant φ0. La

géométrie des aimants correcteurs que nous utilisons est un barreau de section cylindrique de diamètre 4mm et de longueur 5mm. L’aimantation est dirigée suivant la longueur du barreau et est égale à 1,2 Tesla pour du n´ eodyme-fer-bore. La Figure (1.4) montre la différence relative entre le champ Bz calculé

par l’intégration en coordonnées cylindriques et l’approximation de ce champ par la formule en coordonnées cartésiennes. Les sections et les longueurs du barreau cylindrique et du barreau rectangulaire doivent être égales. Il s’agit donc d’un même volume de matière aimantée qui donne à grande distance un même champ.

Nous remarquons que l’erreur maximum est à peu près située à un rayon de la surface de l’aimant. Comme il s’agit essentiellement d’un rapport de

(19)

-0.2 -0.1 0.1 0.2 z (cm) -8. 10 -6 -6. 10 -6 -4. 10 -6 -2. 10 -6 Bz (T)

Fig. 1.3 – champ Bz généré par un aimant correcteur.

longueur, les dimensions peuvent être considérées comme relatives. L’erreur maximale est de 1%. Toutefois le point de calcul sera en général situé à 5 cm minimum de l’aimant soit à environ 10 fois sa taille. Nous atteignons alors une précision inférieure à 1 pour 1000, ce qui est suffisant compte tenu de la dispersion du champ rémanent de chaque aimant. Cette dispersion à la fabrication est de 5 % par rapport à la valeur nominale fournie par la documentation. C’est souvent la valeur maximum du champ rémanent qui est donnée par le constructeur. Les aimants peuvent alors varier entre 1,15 et 1,2 Tesla.

1.6 Influence du champ d´

emagn´

etisant

En utilisant la formule (1.14), nous considérons que l’aimantation à l’intérieur de l’aimant est rigide et égale à sa valeur maximum c’est à dire 1,2 Tesla dans notre cas. En réalité, nous omettons un terme très important qui est la démagnétisation de l’aimant sur lui-même. Nous nous proposons donc de quantifier l’erreur de calcul lors de la détermination du champ lointain par la formule analytique en arctangente.

(20)

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

erreur

z

(0.0043,0.0112)

Fig. 1.4 – Diff´erence Bzcyl_Bz−Bz_cylrect

1.6.1 Calcul du champ d´

emagn´

etisant

Pour déterminer l’influence du champ démagnétisant, nous décomposerons l’aimant parallélipipédique en n × n × n éléments dont l’aimantation de cha-cun sera considérée constante dans tout le volume. Afin d’examiner l’effet de l’échantillonnage, nous effectuerons des décompositions de plus en plus fines.

Nous allons comparer le champ calculé sur l’axe ~z par chacune des décompositions sachant que l’aimant sera placé à l’origine des coordonnées. La géométrie et

les caractéristiques magnétiques de l’aimant sont celles citées précédemment. Le tableau 1.1 montre que la décomposition converge rapidement vers une même valeur de champ. Ceci est d’autant plus vrai que nous nous éloignons de l’aimant. En revanche un écart existe entre l’utilisation de la formule analytique colonne (2) et l’aimant décomposé faisant intervenir le champ démagnétisant. La colonne (7) est beaucoup plus précise mais le temps de calcul est considérablement plus élevé que celui nécessaire à l’évaluation de (1.14).

Nous pouvons remarquer dans le tableau 1.2 qu’à grande distance (> 10 cm) la valeur donnée par la formule (1.14) et le champ obtenu en tenant compte de la démagnétisation diffèrent de 1.018 %., Etant donné la dispersion réelle du champ rémanent de 1,2 Tesla +/- 5 %, nous devons absolument réévaluer le champ rémanent en utilisant (1.14) et quelques points de mesures

(21)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) z mm formule(1.14) 1x1x1 2x2x2 3x3x3 4x4x4 5x5x5 (7)−(2)₍₇₎ %

2.51 5.54e-01 5.49e-01 5.51e-01 5.46e-01 5.38e-01 5.44e-01 -1.81 3.51 2.96e-01 2.93e-01 2.92e-01 2.91e-01 2.91e-01 2.91e-01 -1.78 4.51 1.50e-01 1.48e-01 1.48e-01 1.48e-01 1.47e-01 1.47e-01 -1.53 5.51 8.16e-02 8.09e-02 8.07e-02 8.06e-02 8.05e-02 8.05e-02 -1.37 6.51 4.84e-02 4.80e-02 4.79e-02 4.79e-02 4.78e-02 4.78e-02 -1.28 7.51 3.09e-02 3.07e-02 3.06e-02 3.06e-02 3.06e-02 3.05e-02 -1.21 8.51 2.09e-02 2.07e-02 2.07e-02 2.07e-02 2.07e-02 2.07e-02 -1.17 9.51 1.48e-02 1.47e-02 1.46e-02 1.46e-02 1.46e-02 1.46e-02 -1.14 10.51 1.08e-02 1.07e-02 1.07e-02 1.07e-02 1.07e-02 1.07e-02 -1.12 11.51 8.21e-03 8.14e-03 8.13e-03 8.13e-03 8.12e-03 8.12e-03 -1.10 12.51 6.36e-03 6.30e-03 6.29e-03 6.29e-03 6.29e-03 6.29e-03 -1.09 13.51 5.02e-03 4.98e-03 4.97e-03 4.97e-03 4.97e-03 4.97e-03 -1.08 14.51 4.04e-03 4.00e-03 4.00e-03 3.99e-03 3.99e-03 3.99e-03 -1.07 15.51 3.29e-03 3.26e-03 3.26e-03 3.26e-03 3.26e-03 3.26e-03 -1.06 16.51 2.72e-03 2.70e-03 2.69e-03 2.69e-03 2.69e-03 2.69e-03 -1.06 17.51 2.27e-03 2.26e-03 2.25e-03 2.25e-03 2.25e-03 2.25e-03 -1.05 18.51 1.92e-03 1.90e-03 1.90e-03 1.90e-03 1.90e-03 1.90e-03 -1.05 19.51 1.64e-03 1.62e-03 1.62e-03 1.62e-03 1.62e-03 1.62e-03 -1.04 20.51 1.41e-03 1.39e-03 1.39e-03 1.39e-03 1.39e-03 1.39e-03 -1.04 21.51 1.22e-03 1.21e-03 1.21e-03 1.20e-03 1.20e-03 1.20e-03 -1.04 22.51 1.06e-03 1.05e-03 1.05e-03 1.05e-03 1.05e-03 1.05e-03 -1.04 23.51 9.33e-04 9.25e-04 9.24e-04 9.24e-04 9.24e-04 9.24e-04 -1.03 24.51 8.23e-04 8.16e-04 8.15e-04 8.15e-04 8.14e-04 8.14e-04 -1.03 25.51 7.29e-04 7.23e-04 7.22e-04 7.22e-04 7.22e-04 7.22e-04 -1.03 26.51 6.49e-04 6.44e-04 6.43e-04 6.43e-04 6.43e-04 6.43e-04 -1.03 27.51 5.81e-04 5.76e-04 5.75e-04 5.75e-04 5.75e-04 5.75e-04 -1.03 28.51 5.21e-04 5.17e-04 5.16e-04 5.16e-04 5.16e-04 5.16e-04 -1.03 29.51 4.70e-04 4.66e-04 4.65e-04 4.65e-04 4.65e-04 4.65e-04 -1.03 30.51 4.25e-04 4.21e-04 4.21e-04 4.21e-04 4.21e-04 4.21e-04 -1.02

(22)

Z

Y

X

Bz élémentaire

Fig. 1.5 – Décomposition élémentaire d’un aimant

situés si possible à plus de 10 cm soit 20 fois le diamètre de l’aimant. Grace `

a la régularité de la colonne (4) à grande distance, la démagnétisation sera inclue dans l’évaluation du champ rémanent et on conservera une précision d’environ un pour mille .

(23)

(1) (2) (3) (4) z (mm) formule(1.14) T 5x5x5 (3)−(2)₍₃₎ % 10.00 1.269e-02 1.254e-02 -1.1327 20.00 1.523e-03 1.507e-03 -1.0464 30.00 4.475e-04 4.429e-04 -1.0302 40.00 1.882e-04 1.863e-04 -1.0245 50.00 9.624e-05 9.526e-05 -1.0218 60.00 5.565e-05 5.509e-05 -1.0204 70.00 3.503e-05 3.468e-05 -1.0195 80.00 2.346e-05 2.322e-05 -1.0190 90.00 1.647e-05 1.631e-05 -1.0186 100.00 1.201e-05 1.189e-05 -1.0183 110.00 9.020e-06 8.929e-06 -1.0181 120.00 6.947e-06 6.877e-06 -1.0179 130.00 5.464e-06 5.409e-06 -1.0178 140.00 4.375e-06 4.330e-06 -1.0177 150.00 3.557e-06 3.521e-06 -1.0176 160.00 2.930e-06 2.901e-06 -1.0176 170.00 2.443e-06 2.418e-06 -1.0175 180.00 2.058e-06 2.037e-06 -1.0175 190.00 1.750e-06 1.732e-06 -1.0174 200.00 1.500e-06 1.485e-06 -1.0174 210.00 1.296e-06 1.283e-06 -1.0174 220.00 1.127e-06 1.116e-06 -1.0173 230.00 9.864e-07 9.765e-07 -1.0173 240.00 8.681e-07 8.594e-07 -1.0173 250.00 7.681e-07 7.603e-07 -1.0173

(24)

Chapitre 2

Correction du champ

Après avoir validé le calcul direct, la synthèse de champ peut donc être vérifiée numériquement. Bien que nous puissions partir de la formule en arctangente et utiliser une méthode inverse standard, nous devons faire le choix d’une fonction d’erreur et surtout déterminer comment cette erreur sera répartie. De plus cette démarche ne donne aucune information sur le nombre d’aimants nécessaires pour une précision donnée. Pour la localisation de l’erreur, nous avons choisi de l’éloigner le plus possible du centre et donc naturellement de travailler sur une base de fonctions du type séries de Taylor. Ceci nous conduit directement, dans le cas de potentiels, au développement du champ en polynômes de Legendre.

2.1 D´

eveloppement du potentiel

Pour rendre homogène un champ magnétique, une solution consiste à exprimer le champ mesuré en une série plus simple qui l’approximera et tenter d’annuler un maximum de termes parasites.

La résolution de l’équation différentielle ∇2_{ψ = 0 en coordonn´}_{ees sph´}_eriques

donne la s´erie double suivante: ψ(r,θ,φ) = 1 4π ∞ X n=0 n X m=0 (Anmcos(mφ) + Bnmsin(mφ)) rnPnm(cos θ) (2.1)

où Pnm sont les polynômes de Legendre associés.1.

1. Dans la suite de nos calculs nous utiliserons la convention d’´ecriture selon Abramowitz, Pnm= (−1)mPnm= (1 − x2)m/2 d

m

(25)

Sur la sphère unité on détermine les Anm et Bnm en calculant les intégrales suivantes:2 Anm = R2π 0 Rπ

0 f (θ,φ) Pnm(cos(θ)) cos(mφ) sin(θ) dθdφ

R2π

0

Rπ

0 (Pnm(cos(θ)) cos(mφ))2 sin(θ) dθdφ

(2.2) Bnm =

R2π

0

Rπ

0 f (θ,φ) Pnm(cos(θ)) sin(mφ) sin(θ) dθdφ

R2π 0 Rπ 0 (Pnm(cos(θ)) sin(mφ)) 2 sin(θ) dθdφ (2.3) On d´emontre que l’on peut remplacer les d´enominateurs [37, p.709] par Nn0 = 4π_{(2n+1)(n−m)!}(n+m)! et pour m > 0, Nnm = 2π_{(2n+1)(n−m)!}(n+m)! . Ainsi il n’est pas

nécessaire d’intégrer numériquement les dénominateurs.3

La transformation des int´egrandes aux num´erateurs de Anm et Bnm en

coordonnées cartésiennes permet de visualiser facilement les contributions de chaque coefficient. Toutefois il est important de les utiliser avec précaution dans le cas d’une intégration dans un volume, car ils ne sont plus orthogonaux entre eux s’ils ne sont pas situés sur la sphère. Tout point en dehors aura pour effet de coupler les coefficients entre eux, dégradant de ce fait les résultats.

Nous obtenons les coefficients suivants en effectuant les substitutions cos(θ) = z/r et φ = arccos(x/q(x2+ y2)) puis nous utiliserons les polynˆones de Tchebycheff cos [n arccos(ω)] = Tn(ω) et sin [n arccos(ω)] = Un(ω). Toutefois

lors de ces transformations il faut respecter les domaines4 car les angles ne sont souvent plus dans le bon quadrant[38].

a00 = 1 a10 = z a11 = x a20 = −x2_{− y}2 2 + z 2 a21 = 3 x z a22 = 3 x2− 3 y2

2. Si les mesures sont effectuées sur une sphère de rayon r, la normalisation (sphère de rayon unité) des coefficients Anm et Bnmest assurée par le terme rn.

3. Le changement de variable x → cos t implique math´ematiquement (1 − x2₎m/2 _→

| sin t|m_{, cependant nous pouvons enlever la valeur absolue et utiliser (1 − x}2₎m/2_{→ sin}m_t.

De cette fa¸con, nous d´egageons des probl`emes de domaines et t n’est plus compris entre [0,π].

4. Dans les cas complexes telles que les équations présentées à la page 58, nous avons choisi de conserver une forme du type cos [m arctan(y0_,x0_)]

(26)

a30 = −3 (x2_{+ y}2_{) z} 2 + z 3 a31 = −3 x (x2_{+ y}2₎ 2 + 6 x z 2 a32 = 15 x2− y2 _z a33 = 15 x x2− 3 y2 a40 = 3 (x2_{+ y}2₎2 8 − 3 x2+ y2 z2+ z4 a41 = −15 x (x2_{+ y}2_{) z} 2 + 10 x z 3 a42 = 15 (−x4_{+ y}4₎ 2 + 45 x2− y2 z2 a43 = 105 x x2− 3 y2 z a44 = 105 x4− 630 x2y2 + 105 y4 a50 = 15 (x2_{+ y}2₎2_z 8 − 5 x2+ y2 z3+ z5 a51 = 15 x (x2+ y2)2 8 − 45 x (x2+ y2) z2 2 + 15 x z 4 a52 = 105 (−x4_{+ y}4_{) z} 2 + 105 x2− y2 z3 a53 = 105 x (−x2_{+ 3 y}2_{) (x}2_{+ y}2_{− 8 z}2₎ 2 a54 = 945 x4− 6 x2_y2_{+ y}4 z a55 = 945 x x4− 10 x2_y2_{+ 5 y}4 b11 = y b21 = 3 y z b22 = 6 x y b31 = −3 y (x2_{+ y}2₎ 2 + 6 y z 2 b32 = 30 x y z b33 = 15 y 3 x2− y2 b41 = −15 y (x2_{+ y}2_{) z} 2 + 10 y z 3 b42 = −15 x y x2+ y2+ 90 x y z2 b43 = 105 y 3 x2− y2 _z

(27)

b44 = 420 x3y − 420 x y3 b51 = 15 y (x2_{+ y}2₎2 8 − 45 y (x2_{+ y}2_{) z}2 2 + 15 y z 4 b52 = −105 x y x2+ y2 z + 210 x y z3 b53 = 105 y (−3 x2+ y2) (x2+ y2− 8 z2₎ 2 b54 = 3780 x (x − y) y (x + y) z b55 = 945 y 5 x4− 10 x2_y2_{+ y}4

2.2 Conditions sur le calcul des coefficients

A partir de mesures du champ effectuées à la surface d’une sphère, quelques conditions s’imposent pour obtenir une bonne précision dans la détermination des coefficients Anm et Bnm. Une méthode générale de calcul consiste à

intégrer chaque longitude de la sphère c’est à dire la partie:

Z π

0

f (θ,φ) Pnm(cos(θ)) sin(θ) dθ

puis effectuer la transformation de Fourier des intégrations précédentes afin de déterminer l’intégration en cos(mφ) et sin(mφ) (latitude). Il est donc nécessaire d’éviter tout repliement (cf. FFT en traitement du signal) d’ordres supérieurs [42]. Nous choisirons un rayon r de sphère pour la mesure égal à la moitié du rayon de placement des générateurs. Il s’agit d’un compromis entre la détermination des ordres inférieurs qui se mesurent très bien près du centre et deviennent impossible à déterminer si r ≈ r0. C’est exactement le contraire pour les ordres élevés.

L’intégration précédente devient délicate si les points de mesure ne sont pas placés sur des fuseaux régulièrement espacés car cela nécessite une intégration numérique à pas variable. De même il faut normaliser le rayon du point et recalculer sa valeur sur la sphère de mesure. Lors de la mesure, il est difficile d’assurer mécaniquement un rayon et un positionnement angulaire constants `

a tous les points de mesure5_{. Il est donc pr´}_ef´_{erable de prendre des points}

´

equi-espacés dans un volume parallèlipipédique et choisir ensuite en entrée les points les plus proches d’une sphère de rayon donné. On peut même, si le nombre de points mesurés est élevé, calculer indépendamment plusieurs

5. Il y a un grand nombre de points aux pôles de la sphère si chaque latitude est composée d’un même nombre de points.

(28)

sphères de diamètres différents et confronter les résultats. Comme l’indique la Figure (2.1), la mesure du champ se fera sur une grille cubique de pas h et nous choisirons l’ensemble des points dont la distance au centre est comprise entre R − h <√x2_{+ y}2_{+ z}2 _{< R + h}

Fig. 2.1 – Mesure du champ sur une sphère approximative de rayon R+/-h Les Figures (2.1) et (2.2) sont obtenues par un maillage 10x10x10 d’un cube tangent à la sphère de mesure. Nous obtenons donc (n + 1)3 noeuds, c’est à dire 1331 points de mesures. En reprenant l’ensemble des points situés `

a +/-h de la sph`ere, nous obtenons un total de 350 points qui interviendront effectivement dans le calcul des coefficients Anmet Bnm. La distribution

angu-laire est correcte comme on peut le constater sur la Figure (2.2). Cependant un couplage dans le calcul apparaˆıt puisque les termes en rn _{interviennent}

et qu’ils ne sont pas orthogonaux. Le tableau 2.1 résume la précision de l’algorithme suite à toutes les approximations et aux conditions indiquées ci-dessus. Pour déterminer ce tableau, nous avons créé numériquement un champ comportant tous les harmoniques jusqu’à l’ordre 5 inclus et d’ampli-tude égale à 1. Le problème inverse consiste à retrouver la valeur 1 à partir des points de mesures.

Une précision de l’ordre de 10−4 est suffisante dans cette étude, nous pouvons donc considérer cette méthode de mesure satisfaisante.

(29)

A00 1.000047 - -A10 1.000036 - -A11 9.999906e-01 B11 1.000087 A20 9.998247e-01 - -A21 1.000032 B21 1.000026 A22 9.999436e-01 B22 1.000008 A30 9.999918e-01 - -A31 1.000009 B31 1.000042 A32 9.999989e-01 B32 9.999925e-01 A33 1.000030 B33 9.999934e-01 A40 1.000123 - -A41 9.999818e-01 B41 9.999873e-01 A42 1.000000 B42 1.000002 A43 9.999972e-01 B43 9.999989e-01 A44 9.999971e-01 B44 9.999983e-01 A50 1.000039 - -A51 9.999526e-01 B51 9.999725e-01 A52 9.999986e-01 B52 1.000000 A53 9.999994e-01 B53 9.999998e-01 A54 1.000000 B54 9.999999e-01 A55 1.000000 B55 1.000001

(30)

-3 -2 -1 1 2 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3

phi

théta

Fig. 2.2 – Distribution angulaire en θ, φ des points de mesure

2.3 Algorithme de calcul des coefficients

Nous allons donc déterminer les coefficients qui minimisent l’écart entre l’ensemble des points de mesures et la combinaison linéaire des fonctions de Legendre. La forme générale du modèle est

y(x) =

M

X

k=1

akXk(x) (2.4)

Nous définissons une fonction de mérite que nous chercherons à minimiser:

χ2 = N X i=1 " yi− M X k=1 akXk(xi) #2 (2.5) Le minimum de cette fonction est donn´ee par les M ´equations normales:

0 = N X i=1  y_i− M X j=1 ajXj(xi)  X_k(x_i) k = 1 · · · M (2.6)

Nous pouvons réécrire ce système sous la forme

M

X

j=1

(31)

avec αkj = N X i=1 Xj(xi)Xk(xi) et βk = N X i=1 yiXk(xi) (2.8)

L’application de la forme générale précédente se résume dans l’algorithme coefficients qui calcule les termes jusqu’à l’ordre 8 inclus. Les deux sous-programmes indiquent la fa¸con de calculer l’ordre des coefficients en fonction de l’indice servant au rangement linéaire des variables. La fonction lgndr est disponible dans toute littérature traitant du calcul par récurrence des polynômes de Legendre associés (ex:[13]).

coefficients() 1 nmax ← 8 2 nbvara ← 45 3 nbvarb ← 36

4 nbvar ← nbvara + nbvarb 5 nbpoints ← 350 6 for i ← 1 to nbpoints 7 do x[i] ←? 8 y[i] ←? 9 z[i] ←? 10 champ[i] ←? 11 12 for k ← 1 to nbvar 13 do bet[k] ← 0. 14 for l ← 1 to nbvar 15 do u[k][l] ← 0. 16 17 for i ← 1 to nbpoints

18 do r ←qx[i]2_{+ y[i]}2_{+ z[i]}2

19 for k ← 1 to nbvara

20 _{do n,m ← detanm(k)}

21 a[k] ← (−1)mrnlgndr(n,m,z[i]/r) cos(m arctan(y[i],x[i])) 22 bet[k] ← bet[k] + champ[i] × a[k]

23

24 for k ← 1 to nbvarb

25 _{do n,m ← detbnm(k)}

26 a[k + nbvara] ← (−1)m_rn_{lgndr(n,m,z[i]/r) sin(m arctan(y[i],x[i]))}

27 bet[k + nbvara] ← bet[k + nbvara] + champ[i] × a[k + nbvara] 28

(32)

29 for k ← 1 to nbvar

30 do for l ← 1 to nbvar

31 do u[k][l] ← u[k][l] + a[k] × a[l] 32 33 34 35 for l ← 1 to nbvar 36 do sol[l] ←P ku−1[k][l] × bet[k] 37 detanm(i) 1 indent ← 0 2 for n ← 0 to nmax 3 do for m ← 0 to n 4 do indent ← indent + 1 5 if indent = i 6 then return n,m 7 8

9 error “i 6∈ [1,nbvara]” detbnm(i) 1 indent ← 0 2 for n ← 1 to nmax 3 do for m ← 1 to n 4 do indent ← indent + 1 5 if indent = i 6 then return n,m 7 8

9 error “i 6∈ [1,nbvarb]”

Cette technique de calcul est équivalente à la détermination de la ma-trice pseudo-inverse de Moore-Penrose qui permet de construire la solu-tion générale du problème des fonctions d’associations linéaires. Il s’agit de trouver une matrice X minimisant la norme euclidienne ||AX − B||, où A et B sont deux matrices rectangulaires données. Si les lignes de la matrice A sont linéairement indépendantes ce qui est le cas si les points de mesure sont

(33)

sur une mˆeme sph`ere, la solution est

X = (ATA)−1.AT.B (2.9)

2.4 Annulations des coefficients

Le champ magnétique statique doit, en imagerie par résonance magnétique, ˆ

etre le plus homogène possible. Nous chercherons à annuler jusqu’à un cer-tain ordre tous les coefficients. Nous devons alors créer un champ magnétique dont les ordres seront opposés à ceux du champ principal. Nous avons choisi pour cette étude un dispositif à base d’aimants permanents dont les dimen-sions sont très inférieures à celles de la machine. Les aimants correcteurs auront un volume maximum d’un centimètre cube. Comme nous le verrons plus tard, il faut un minimum de volume de matière aimantée pour générer un champ non négligeable au centre, tout en respectant un développement multipôlaire6 _{assez faible.}

2.5 Calcul des aimants correcteurs

Plusieurs solutions pour la détermination du champ magnétique généré par un aimant sont utilisables. Comme nous l’avons vu aux chapitres précédents, nous pouvons déterminer sous une forme complètement analytique le champ produit par des aimants rectangulaires. L’avantage certain de cette approche est un temps de calcul très réduit et surtout une très grande précision. En revanche, nous ne disposons pas de formules aussi pratiques pour des aimants cylindriques ou des secteurs, car il reste souvent une intégration numérique à réaliser. Toutefois ce type d’approche analytique ne convient plus pour générer a priori un champ magnétique. Le problème inverse consiste `

a déterminer par exemple la position d’aimants ou encore les caractéristiques géométriques et les aimantations afin de générer tel type de champ. On peut résoudre le problème par une optimisation non linéaire avec minimisation de l’erreur entre le champ à obtenir et le champ généré par les aimants, les variables étant la position de chaque aimant ou encore une caractéristique géométrique.

Il s’avère que cette approche ne donne généralement pas de bons résultats. Une première constatation est que les équations entrant dans le calcul numérique

6. La zone d’intérêt se limitera à la moitié des dimensions du générateur. Le développement multipôlaire devient important si r/r0 > 1/2.

(34)

sont fortement couplées, il y a donc une grande difficulté à inverser le problème. Une deuxième constatation est qu’il faut généralement un grand nombre de degrés de liberté (nous les avons évalués à une trentaine au moins) ce qui rend particulièrement difficile l’optimisation non linéaire de ces paramètres. Il faut aussi réfléchir à la forme de la fonctionnelle. Prenons par exemple une minimisation de la norme entre le champ désiré et le champ généré par les aimants, il serait très génant que l’erreur soit importante au centre tout en conservant une erreur moyenne faible.

La localisation de l’erreur est donc très importante. Généralement on essaie que l’erreur soit située le plus loin possible du centre. Une idée simple consiste à annuler les dérivées successives du champ magnétique (origine de la fonction au centre de la machine). En coordonnées cartésiennes, si l’on veut annuler jusqu’à la dérivée cinquième incluse:

∂f ∂x, ∂f ∂y , ∂f ∂z , ∂2f ∂x2 ,..., ∂3f ∂x∂y∂z ,..., ∂5f ∂x2_∂y2_∂z ,...

on obtient 215 équations à annuler ((ordre + 1)3 _{− 1), plus une équation}

supplémentaire si on désire contrôler la valeur du champ constant. Toutefois nous sommes en présence d’un champ magnétique, et plusieurs combinai-sons de dérivées sont nulles; ceci facilite considérablement le problème car le nombre d’équations à annuler sera moindre. Pour obtenir directement une base de dérivées non nulles, nous utiliserons le développement du potentiel scalaire en polynômes de Legendre.

Dans un volume où il n’y a aucune charge électrique en déplacement et de perméabilité constante, ce qui est le cas dans la zone utile de la machine, le champ magnétique est décrit par une loi du type ~B = − ~∇ψ avec

∇2ψ = 0 (2.10)

Une solution du laplacien est un potentiel en _R1. En coordonn´ees polaires le laplacien s’´ecrit:

1 r2 ∂ ∂r r 2∂ψ ∂r ! + 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ sin θ ∂ψ ∂θ ! + 1 r2_sin2_θ ∂2_ψ ∂φ2 = 0 (2.11)

2.5.1 D´

eveloppement d’un aimant en polynˆ

omes de

Legendre

Le calcul se fera à partir d’un aimant dont l’aimantation ~M est dirigée suivant l’axe ~z et nous nous intéresserons pour l’instant à la seule composante

(35)

z du champ ~B généré par cet aimant. Nous utiliserons la formule Fzz0 page

12 avec comme hypothèse que l’aimantation est rigide et n’est donc pas in-fluencée par le champ extérieur. Toutefois, il serait intéressant de déterminer expérimentalement l’influence des composantes transverses extérieures Hx

et Hy sur la valeur de l’aimantation Mz. Suivant ces hypoth`eses, le champ

produit par l’aimant est

Bz = Mz 4π ∂ ∂z Z S ₁ R z2 z1 dx0dy0 (2.12)

En utilisant le développement de _R1 en coordonnées sphériques [31, p.1274], le développement du potentiel peut s’écrire:7

1 R = n=∞ X n=0 m=n X m=0 m (n − m)! (n + m)!Pnm(cos θ)Pnm(cos θ 0 ). cos [m(φ − φ0)] ( _rn r0 n+1 si r0 > r r0 n rn+1 si r > r 0_. (2.13)

Nous pouvons ensuite entrer la dérivée par rapport à z dans l’intégrale et déterminer l’intégrande de la fa¸con suivante [12, p.48][48]:

pour r0 > r (Les aimants correcteurs sont placés à l’extérieur de la zone utile): ∂_R1 ∂z = − n=∞ X n=0 m=n X m=0 m (n − m + 1)! (n + m)! Pnm(cos θ)Pn+1 m(cos θ 0 ). cos [m(φ − φ0)] r n r0 n+2 (2.14)

Nous pouvons remarquer que la dérivation en z ne porte pas sur les va-riables θ et r mais sur les vava-riables θ0 et r0. En utilisant le fait que ∂1/R_∂z = −∂1/R_∂z0 , l’identification entre les coefficients Anm,Bnmmesurés et le développement

du champ produit par les aimants est plus ais´e.

2.5.2 Approximation de l’int´

egration surfacique

L’intégration suivant x0 et y0 de l’équation précédente sera pour l’instant négligée et nous remplacerons cette intégration par la section transversale A de l’aimant. Cette approximation doit alors être soigneusement évaluée afin

(36)

que l’erreur commise ne soit pas en contradiction avec la précision désirée lors le l’annulation des coefficients Anm et Bnm.

Nous obtenons donc le d´eveloppement du champ Bz suivant:8

Bz(ρ,θ,φ) = − MzA 4π n=∞ X n=0 m=n X m=0 m (n − m + 1)! (n + m)! " Pn+1 m(cos θ0) r0 n+2 #z2 z1 . rnPnm(cos θ) cos [m(φ − φ0)] (2.15)

Ce développement est donc valide dans le cas où r < r0. Vu que la somme s’étend de n = 0 à l’∞, il est nécessaire d’étudier la convergence de la série en fonction de n. La Figure (2.3) présente l’erreur relative entre la valeur exacte du champ et le développement (2.15) en fonction de la valeur n. L’aimant se trouvant à r0 = 10cm, nous constatons nettement que (2.15) n’est valide que sur le domaine r ∈] − r0,r0[. Les bornes de l’intervalle sont les asymptotes `

a l’∞. Nous remarquons aussi que plus nous nous éloignons de la source plus l’erreur est faible, jusqu’au décrochement dû à la troncature de la série. L’erreur augmente en s’approchant de la source car nous n’avons pas réalisé l’intégration en x,y de la section de l’aimant.

2.5.3 Annulation des coefficients

En d´eveloppant cos [m(φ − φ0)] = cos(mφ) cos(mφ0) + sin(mφ) sin(mφ0), nous pouvons identifier les coefficients Anm et Bnmdu champ mesur´e avec les

coefficients correspondants des aimants correcteurs. En ajoutant au champ mesuré le champ généré par les aimants, nous avons l’équation suivante:

1 4π Nordres X n=0 n X m=0

(Anmcos(mφ) + Bnmsin(mφ)) rnmesPnm(cos θ) +

−MzA 4π Nordre X n=0 m=n X m=0 m (n − m + 1)! (n + m)! " Pn+1 m(cos θ0) r0 n+2 #z2 z1 .

rnPnm(cos θ) [cos(mφ) cos(mφ0) + sin(mφ) sin(mφ0)] = 0 (2.16)

Nous pouvons remarquer que cette identification est tout à fait valide car chaque composante du champ magnétique vérifie l’équation de Laplace

8. Nous avons choisi la convention que les indices numérotés z1 et z2 représentent les

coordonnées du début et de la fin du barreau aimanté. En toute rigueur ils devraient s’appeler z01et z02mais afin d’alléger la formulation, il n’y a pas de confusion possible avec

(37)

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 y -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 5 10 15 20 40 5 15 25 35 10 20 30 40 Erreur r (r'=0.1m) ...

La pente est due uniquement au fait que l'intégration de la section de l'aimant n'a pas été réalisée.

Sinon l'erreur à l'origine est strictement nulle.

Fig. 2.3 – Erreur relative entre la formule (1.14) et le d´eveloppement (2.15) en fonction de n. La source se trouve `a r0 = 10cm.

(38)

∇2_{ψ = 0. D’ailleurs toute int´}_{egration ou d´}_{erivation suivant les coordonn´}_ees

spatiales ne modifie pas cette propriété. Nous pouvons donc toujours ap-proximer le champ par la série double Eq(2.1).

Les termes rn

meset rnvont être normalisés à 1 pour alléger le calcul. En

uti-lisant la propriété d’orthogonalité du développemment de Legendre, nous al-lons regrouper et annuler les fonctions facteurs des termes en Pnm(cos θ) cos(mφ)

et Pnm(cos θ) sin(mφ), nous obtenons un syst`eme d’´equations de la forme:

( Anm 4π − MzA 4π m (n − m + 1)! (n + m)! " Pn+1 m(cos θ0) r0 n+2 #z2 z1 cos(mφ0) ) × Pnm(cos θ) cos(mφ) = 0 (2.17) et ( Bnm 4π − MzA 4π m (n − m + 1)! (n + m)! " Pn+1 m(cos θ0) r0 n+2 #z2 z1 sin(mφ0) ) × Pnm(cos θ) sin(mφ) = 0 (2.18)

Pour corriger tous les harmoniques jusqu’à l’ordre 5 inclus, nous avons 35 équations de ce type à résoudre simultanément. Nous ne conserverons que la partie entre accolades car ces équations doivent être vérifiées quelque soit le point de calcul (θ,φ). Nous remarquons immédiatement que le nombre de variables n’est pas suffisant pour annuler les 35 équations ci-dessus. Nous pouvons alors ajouter N aimants pour récupérer les variables manquantes, on écrit donc:          Anm 4π − PN i=1 MiAi 4π m (n−m+1)! (n+m)! Pn+1 m(cos θ0_i) r0 n+2_i zi2 zi1 cos(mφ0_i) = 0 Bnm 4π − PN i=1 MiAi 4π m (n−m+1)! (n+m)! Pn+1 m(cos θ0i) r_i0 n+2 zi2 zi1 sin(mφ0_i) = 0 (2.19)

2.5.4 Configuration mat´

erielle de la correction

Nous avons disposé les aimants sur un cylindre de rayon 10 cm9. Pour une simplicité de réglage nous nous sommes permis de fixer l’angle φ0 de chaque aimant ne disposant donc que du déplacement en z0pour le réglage10_{. N’ayant}

9. Dans tout le document, r’ est égal à 10 cm minimum et les mesures s’effectuent à 5 cm du centre. Pour généraliser les résultats, nous considérons que la zone d’intérêt est la moitié des dimensions de la machine.

10. les lettres ’ sont utilisées simplement pour préciser qu’il s’agit des coordonnées des aimants et non du point de calcul

(39)

donc qu’un degré de liberté par aimant, nous avons choisi de distribuer uni-formément 35 aimants identiques en φ0 autour du cylindre et d’agir sur leur déplacement en z0.

z

y

x

déplacement

suivant z'

Fig. 2.4 – Configuration des aimants

Le principe du réglage se déroule de la manière suivante; dans un pre-mier temps , nous mesurons le champ magnétique à l’aide d’une sonde à effet Hall ou un gaussmètre RMN. Les points de mesures devront être situés de préférence à la surface d’une sphère. Puis à l’aide d’un logiciel nous déterminons de fa¸con précise les coefficients des harmoniques sphériques. C’est à partir de ces coefficients que nous allons déterminer la position des aimants qui produisent exactement les coefficients dont la valeur sera opposée `

a celles du champ mesur´e.

Le logiciel de détermination des coefficients de Legendre est numériquement stable, le problème est quasiment linéaire. En revanche la détermination de la position des aimants à partir des coefficients de Legendre est un problème non linéaire. Le couplage entre les équations étant très élevé, nous devons utiliser des méthodes numériques particulières qui permettent d’inverser les ´

equations. Un chapitre sera consacré à la résolution numérique.

2.6 R´

esolution d’un premier probl`

eme

Pour valider la méthode, nous avons essayé de corriger les défauts d’ho-mogénéité du champ Bz créé par une ferrite de petite dimension placée sur

(40)

un rayon de 11 cm et un déplacement en z de 2,5 cm par rapport à l’ori-gine des axes. Puis nous avons disposé les 35 aimants dans la configura-tion expliquée précédemment (placés sur un cylindre de rayon 10 cm et uni-formément distribués en φ). La ferrite est volontairement placée sur un rayon un peu plus grand de fa¸con à éviter un possible conflit de position. Dans un premier temps, il faut mesurer le champ généré par la ferrite à la surface d’une sphère. Un nombre de 350 points permet de calculer les harmoniques sphériques avec une précision suffisante (voir Tab 2.1) en respectant le fait que les harmoniques supérieurs non calculés ne soient pas trop élevés dans la zone de mesure. Il y aurait à la manière de la Transformation de Fourier un repliement des harmoniques supérieurs sur les harmoniques inférieurs. Dans notre cas sur une sphère de mesure de 5 cm de diamètre ce ne fut pas le cas. Comme exemple, les figures (2.5) et (2.6) montrent un champ principal avant la correction (courbe haute dans chaque figure) et après l’ajout des aimants correcteurs (courbe basse) pour deux axes Oz et Ox.

-0.04 -0.02 0.02 0.04 z (cm) -0.00008 -0.00006 -0.00004 -0.00002 Bz (T)

Fig. 2.5 – Correction du champ sur l’axe ~z

Ces figures montrent nettement une amélioration du champ entre la première courbe et la deuxième beaucoup plus homogène.

(41)

-0.04 -0.02 0.02 0.04 x (cm) -0.00008 -0.00006 -0.00004 -0.00002 Bz (T)

Fig. 2.6 – Correction du champ sur l’axe ~x

2.6.1 Discussion sur le sens d’aimantation des aimants

par rapport au champ principal

Tous les aimants dans le mˆeme sens:

Si nous orientons tous les aimants correcteurs dans la mˆeme direction nous obtenons uns distribution des valeurs des coefficients Anm et Bnm centr´ee

sur 0. Toutefois jusqu’à l’ordre 5 inclus11, le coefficient A20 échappe à cette

règle. Celui-ci n’est pas centré sur zéro et une des limites de l’étalement est approximativement zéro. Pour être plus précis la valeur zéro peut être atteinte mais avec une probabilité très faible. Il est donc nécessaire de générer un défaut de champ comportant un A2012. C’est donc le signe de ce coefficient

qui va déterminer l’orientation générale des aimants de correction.

11. Nous n’avons pas analysé notre configuration pour un ordre supérieur à 5.

12. Ce coefficient exprime la diff´erence de courbure suivant l’axe ~z et la moyenne des courbures suivant les axes ~x et ~y

(42)

-0 .0 4 -0 .0 2 0 0. 02 0. 04 -0 .0 4 -0 .0 2 0 0. 02 0. 04 -100 mG -200mG -300mG -400mG -500mG -600mG -700mG -800mG Max Min

Y

Z

Fig. 2.7 – Courbe de niveau du champ initial Un aimant sur deux dans le mˆeme sens:

Cette fois ci, tous les coefficients sont approximativement centr´es, nous pouvons donc choisir le sens de variation du champ principal. Cependant les valeurs maximum atteintes par les coefficients de cette configuration sont 25 % plus faibles. Nous avons donc un pouvoir de correction plus faible.

Une h´emisph`ere dans un sens et vice-versa

On pourra aussi utiliser le fait qu’en orientant une hémisphère dans un sens et l’autre dans le sens opposé nous pouvons décentrer la distribution du gradient correspondant de l’intervalle −α à +α vers 0 à 2 α13_{, ceci peut}

13. Par exemple orientons l’hémisphère haute de notre configuration dans le sens du champ et l’hémisphère basse dans le sens opposé, la distribution du coefficient B11, c’est

(43)

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 +10 mG -10 mG -20 mG +20 mG +10 mG +10 mG +10 mG +10 mG +10 mG -10 mG -10 mG -10 mG -10 mG -10 mG +20 mG -20 mG -20 mG

Z

Y

Fig. 2.8 – Courbe de niveau du champ corrig´e (6`eme ordre apparent)

´

eventuellement servir à corriger un gradient important. Néanmoins nous rap-pelerons que le pouvoir de correction sur les autres coefficients sera encore diminué de 25%.

2.7 Influence sur les composantes transverses

En imagerie par résonance magnétique, nous avons fait l’hypothèse que seule nous intéressait la composante longitudinale du champ car le champ radiofréquence ne capte à priori que suivant cet axe. Cependant, il existe une contribution des composantes transverses. En symétrie de révolution, les configurations classiques du type bobine de helmohtz génèrent

essentiel-`

(44)

lement un champ suivant une direction. Mais notre système de correction ne possède pas, sauf cas particulier, de symétrie de révolution. Il est donc intéressant de savoir si ce système n’amplifie cas les erreurs transverses, au-cune équation de contrôle n’étant intégrée. La Figure (2.9) montre qu’au contraire les lignes de champ tendent vers la direction ~z. La divergence ∇. ~B = 0 est vérifiée car chacune des dérivées ∂Bx/∂x, ∂By/∂y et ∂Bz/∂z

est nulle. Le terme parasite le plus important est un gradient ∂By/∂z.

Z

Y

X

B initial

B final

Fig. 2.9 – Comportement du champ ~B avant et apr`es la correction. Les composantes transverses Bx et By sont globalement plus faibles.

(45)

2.8 D´

eveloppement du champ en fonctions de

Bessel

Une alternative à la démarche précédente en coordonnées cylindriques est l’utilisation des fonctions de Bessel. Nous ferons toujours l’hypothèse que le remplacement de l’intégrale en x0 et y0 par la surface simple de l’aimant est suffisament précise pour un point de calcul éloigné de l’aimant correcteur.

Partons donc du d´eveloppement du potentiel en coordonn´ees cylindriques[24, p.118]: 1 |x − x0_| = 4 π Z ∞ 0 cos[k(z − z0)] × {1 2I0(kρ<)K0(kρ>)+ ∞ X m=0 cos[m(φ − φ0)]I0(kρ<)K0(kρ>)} dk (2.20)

o`u I0 et K0 sont les fonctions de Bessel modifi´ees.

Ensuite une identification intéressante peut être utilisée:

K0 kqρ2 _{+ ρ}02_{− 2ρρ}0_{cos(φ − φ}0₎ = I0(kρ<)K0(kρ>)+ 2 ∞ X m=0 cos[m(φ − φ0)]I0(kρ<)K0(kρ>) (2.21)

En utilisant comme précédemment la formule Fzz0 page 12 et en dérivant

l’intégrande par rapport à z, nous obtenons l’équation du champ Bz généré

par un aimant correcteur dont l’aimantation est Mz, la section transversale

est A et la longueur est z2− z1:

Bz(ρ,φ,z) = MzA 2π2 Z ∞ 0 " ∂ cos[k(z − z0)] ∂z #z2 z1 × K0 kqρ2_{+ ρ}02_{− 2ρρ}0_{cos(φ − φ}0₎ dk = −MzA 2π2 Z ∞ 0 k (sin[k(z − z2)] − sin[k(z − z1)]) × K0 kqρ2_{+ ρ}02_{− 2ρρ}0_{cos(φ − φ}0₎ dk (2.22)

Il existe donc d’autres développements possibles du champ. En étudiant la convergence de la série issue de la formule précédente, nous pouvons extraire

(46)

les différents termes de la série et former un système d’équations. La série suivante débute à l’ordre 1 car le calcul de l’ordre 0 oblige l’utilisation des limites. Nous sommes en présence d’une indétermination et celle-ci levée, le terme à l’ordre 0 est égal à zéro.

Bz(ρ,φ,z) = − MzA 2π2 N X 1 k (sin[k(z − z2)] − sin[k(z − z1)]) × K0 kqρ2_{+ ρ}02_{− 2ρρ}0_{cos(φ − φ}0₎ (2.23) La Figure (2.10) montre, de la même fa¸con que la Figure (2.3) , l’erreur relative entre la valeur exacte du champ et le développement (2.23) pour N = 36 et N = 64. On remarquera que l’erreur dans la zone utile est plus importante que le développement en Legendre en revanche il n’y a plus de rayon de convergence. Ceci a l’avantage de créer de grandes zones utiles si l’on admet une erreur moyenne plus importante. Il est toutefois nécessaire ne pas s’approcher trop près de la source, car les harmoniques supérieurs deviennent, comme le développement de Legendre, prépondérants.

(47)

-0.2 -0.1 0.1 0.2 -0.02 -0.01 0.01 0.02 -0.2 -0.1 0.1 0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2

Erreur relative (36 coefficients)

Z

Erreur relative (64 coefficients)

Z

Fig. 2.10 – Erreur relative entre le champ exact et l’approximation en fonc-tions de Bessel

(48)

Chapitre 3

R´

esolution non lin´

eaire

La résolution numérique du système d’équations de Legendre est essen-tielle. A partir d’un champ exprimé sous forme de coefficients de Legendre, le programme détermine la position des aimants qui généreront ce champ. La principale difficulté est que les différentes équations sont fortement couplées. Quand nous linéarisons à chaque itération les équations, la matrice jaco-bienne n’est pas inversible. Il est donc impossible de résoudre ce système par une méthode classique du type Newton-Raphson. Cependant la méthode de décomposition en valeurs singulières d’une matrice permet partiellement la résolution de ce problème. Nous avons alors créé notre propre système de résolution fondé sur cette méthode et sur l’analyse du comportement de ce type d’équations. Cette technique peut être utile pour des problèmes inverses dérivant d’un potentiel en 1

R.

3.1 M´

ethode g´

en´

erale

Nous voulons résoudre le système suivant par la méthode de Newton. f1(x1,x2,x3, · · · ,xn) = 0 f2(x1,x2,x3, · · · ,xn) = 0 .. . ... fn(x1,x2,x3, · · · ,xn) = 0 (3.1)

Ayant un vecteur initial x = (x1,x2,x3, · · · ,xn), nous allons d´eterminer un

vecteur déplacement δ en développant chaque fonction en série de Taylor et ne conservant que les termes linéaires.

(49)

f1(x) + ∂f1 ∂x1 (x)δ1+ ∂f1 ∂x2 (x)δ2 + · · · + ∂f1 ∂xn (x)δn = 0 f2(x) + ∂f2 ∂x1 (x)δ1+ ∂f2 ∂x2 (x)δ2 + · · · + ∂f2 ∂xn (x)δn = 0 .. . fn(x) + ∂fn ∂x1 (x)δ1+ ∂fn ∂x2 (x)δ2 + · · · + ∂fn ∂xn (x)δn = 0 (3.2)

En notation matricielle, le système d’équation (3.2) s’écrit

F (x + δx) = F (x) + J.δx + O(δx2) = 0 (3.3) on calcule δx par

J.δx = −F ≡ δx = −J−1.F (3.4)

δx représente l’écart à appliquer au vecteur initial x et s’il n’y a pas de singularité au point considéré [2, p.373], x+δx sera la nouvelle approximation de la racine du système d’équations (3.1). Nous réitérerons le calcul jusqu’à l’obtention d’une racine suffisament précise.

3.2 Racines des ´

equations de Legendre

Pour déterminer la position des aimants correcteurs, nous utilisons le système d’équations (2.19) déterminé au chapitre précédent:

         Anm 4π − PN i=1 MiAi 4π m (n−m+1)! (n+m)! Pn+1 m(cos θ0i) r0 n+2_i zi2 zi1 cos(mφ0_i) = 0 Bnm 4π − PN i=1M4πiAim (n−m+1)! (n+m)! Pn+1 m(cos θ0_i) r_i0 n+2 zi2 zi1 sin(mφ0_i) = 0

Nous avons choisi de déplacer les aimants uniquement en z. Ainsi chaque aimant se déplacera dans une des 35 rainures uniformément distribuées au-tour du cylindre générateur.

Pour faire apparaˆıtre les variables zi, la partie entre crochet de (2.19) sera

réécrite en corrdonnées cartésienne, et nous déterminerons φ0 pour chaque aimant i.

(50)

x

z

y

f'

q'

(51)

                 Anm 4π − PN i=1 MiAi 4π m (n−m+1)! (n+m)!   Pn+1 m( z0_i r0 i ) r_i0 n+2   zi2 zi1 coshm(i − 1)2π₃₅i = 0 Bnm 4π − PN i=1 MiAi 4π m (n−m+1)! (n+m)!   Pn+1 m( z0 i r0 i ) r_i0 n+2   zi2 zi1 sinhm(i − 1)2π₃₅i = 0 (3.5)

Les équations principales étant posées, il faut maintenant déterminer les racines. Nous calculerons donc le jacobien du système (3.5) par rapport aux variables zi. Chaque élément de la matrice s’écrit

∂f ∂zi = MiAi 4π m (n − m + 2)! (n + m)!    Pn+2 m( z_i0 r0 i ) r_i0 n+3    zi2 zi1 cos sin m(i − 1)2π 35 (3.6)

3.3 Inversion de la matrice jacobienne

Une étape importante est le calcul de J−1 dans (3.4) car la principale difficulté s’y trouve. Admettons que nous soyons très proche d’un vecteur solution, une différence de 10% sur une seule des coordonnées du vecteur suffit à rendre le système non inversible. Les équations composant le système se découplent donc dans une région très proche de la solution. La diffi-culté reste le choix d’un vecteur initial. Une méthode ad-hoc consiste à ti-rer aléatoirement chaque position d’un aimant correcteur dans un intervalle raisonnable1. La probabilité d’être proche du vecteur solution2 est parti-culièrement faible, nous pouvons considérer après un calcul grossier avoir une chance sur 1035_{. Il est donc quasiment impossible de trouver une racine}

en un temps acceptable. Toutefois le temps de calcul peut être largement di-minué en utilisant la méthode de décomposition en valeurs singulières d’une matrice carrée.

L’idée générique de la recherche des racines se fonde sur l’hypothèse sui-vante, prenons un vecteur initial quelconque et un nombre d’équations très inférieur à celui du système général et nous ferons l’hypothèse que le vecteur solution trouvé doit se rapprocher de la solution réelle. Si nous diminuons le nombre d’équation à résoudre à n, le programme ne peut nous fournir que

1. Les bornes de l’intervalle sont approximativement égale au rayon du cylindre générateur, au delà l’aimant n’a plus d’influence significative.

(52)

les n variations les plus significatives sur les coordonnées du vecteur initial. Les autres coordonnées du vecteur ne sont pas affectées (i.e certains aimants ne bougent pas du tout). Il paraˆıt donc clair que la précision atteinte sera in-suffisante. Mais dans notre problème, un fait remarquable est que le vecteur trouvé peut servir de fa¸con efficace à la recherche d’une nouvelle solution au système sur lequel on augmente le nombre d’équations à résoudre. Le pro-cessus se termine quand nous avons atteint le nombre complet d’équations et trouvé le vecteur solution.

3.4 D´

ecomposition en valeur singuli`

ere d’une

matrice carr´

ee

Cette technique très puissante est utilisée lors d’inversion de matrices sin-gulières. L’éliminination de Gauss ou la décomposition LU3ne peuvent être employées du fait de leur sensibilité aux erreurs d’arrondi. La décomposition en valeur singulière est souvent utilisée dans le cadre des calculs de moindres carrés linéaires. les matrices sont généralement mal conditionnées car il s’agit de minimiser l’écart entre un modèle et un ensemble de points supérieurs au nombre de variables nécessaires à la détermination complète d’une solution. Le problème est dans ce cas surdimensionné. Dans cette étude, nous n’utilise-rons pas les moindres carrés mais une recherche de racines, car les équations générent déjà une matrice non inversible quand le nombre d’inconnues est égal aux nombre d’équations. L’utilisation d’un nombre de variables supérieur ne fournit pas de meilleurs résultats.

La décomposition en valeur singulière est fondée sur le théorème d’algèbre linéaire suivant: Toute matrice A dont le nombre de lignes est supérieure ou ´

egale au nombre de colonnes peut être décomposée en un produit de trois matrices U , W , VT_{. La matrice U est de mˆ}_{eme taille que la matrice A et}

ses vecteurs colonnes sont orthogonaux entre eux. La matrice W est une matrice diagonale compos´ee de valeurs positives ou nulles, sa taille est ´egale au nombre de colonnes de A. Enfin la matrice VT _{est une matrice carr´}_ee

orthogonale. On a donc:

A = U. [diag(wi)] .VT (3.7)

Les routines numériques utilisées sont issus d’un algorithme proposé par Forsythe[15] originellement proposé par Golub et Reinsch[18].