CFD en aérodynamique - code RANS compressible

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CFD en aérodynamique - code RANS compressible

Eric Goncalves da Silva

To cite this version:

Eric Goncalves da Silva. CFD en aérodynamique - code RANS compressible. École d’ingénieur.

France. 2017, pp.55. �cel-01521982�

CODE RANS COMPRESSIBLE

1 CFD EN ECOULEMENT COMPRESSIBLE 1

1.1 Introdu tion . . . 1

1.2 Présentation générale d'un ode RANS . . . 2

2 LES EQUATIONS DENAVIER-STOKES MOYENNEES 4 2.1 Système deséquations NS moyennées "à laFavre" . . . 4

2.2 Formulation onservative . . . 5

2.3 Formulationen repèreentraîné . . . 6

2.3.1 Formulation envitesseabsolue . . . 7

2.3.2 Formulation envitesserelative . . . 7

2.4 Turbulen e ompressible . . . 7

2.4.1 Equationde transport pour les ontraintes turbulentes . . . 8

2.4.2 Equationde transport del'énergie inétiqueturbulente . . . 8

2.4.3 Tauxde dissipationd'énergie turbulente

ε

. . . 9

3 LES MODELES DETURBULENCE 10 3.1 La vis osité turbulente . . . 10

3.2 Modèles algébriques . . . 11

3.3 Modèleà 1 équation:lemodèle deSpalart-Allmaras (1992) . . . 12

3.4 Modèles à2 équations de transport . . . 12

3.4.1 Lemodèle

k − ε

de Jones-Launder (1972) . . . 13 3.4.2 Modèle

k − ε

réalisable. . . 13 3.4.3 Lemodèle

k − ε

RNG(1986) . . . 14 3.4.4 Modèle

k − ε

ompressible . . . 14 3.4.5 Lemodèle

k − ω

de Wil ox (1988) . . . 15 3.4.6 Lemodèle

k − ω

ompressible . . . 15

3.4.7 Lemodèle

k − ω

de Menter ave orre tion SST(1992). . . 15

3.4.8 Formules de onversion. . . 16

3.5 Modèles non-linéaires . . . 17

3.5.1 Modèles ARSM . . . 17

3.5.2 Modèles

k − ε

non-linéaires . . . 17

3.6 Modèles ause ond ordre- RSM . . . 18

3.7 Aspe tsthermiques . . . 18

3.7.1 Modèlealgébrique . . . 19

4.1 URANS . . . 20

4.2 Deta hed EddySimulation(DES) etvariantes . . . 20

4.2.1 Versioninitiale delaDES . . . 20

4.2.2 Gridindu edseparation . . . 22

4.2.3 Delayed Deta hed EddySimulation (DDES) . . . 23

4.2.4 ZonalDeta hed Eddy Simulation(ZDES) . . . 23

4.2.5 ExtendedDDES . . . 25

4.2.6 Improve DelayedDES (IDDES) . . . 25

4.3 S ale-Adaptive Simulation(SAS) . . . 27

4.3.1 Des riptionde la onstru tion du modèleSAS . . . 27

4.3.2 ModèleSST-SAS . . . 30

4.4 ModèlePANS . . . 30

4.5 Formalismedes méthodeshybrides T-LES/RANS . . . 31

4.6 Organised Eddy Simulation(OES) . . . 32

5 LES LOIS DE PAROI 34 5.1 Problématique . . . 34

5.2 Rappeldespropriétés des ou hes limitesturbulentes 2Din ompressibles . . . 34

5.3 Eets de ompressibilité . . . 35

5.4 Prin ipe . . . 35

6 TRANSITION LAMINAIRE/TURBULENT 36 6.1 Modèlealgébrique detransition . . . 36

6.2 Modèleà équationde transportde Waltersand Leylek . . . 36

6.3 Modèle

γ − Re

θ

tr

deMenter . . . 37

6.3.1 Equationde transport pour l'intermitten e . . . 38

6.3.2 Equationde transport pour

Re

θ

tr

. . . 39

6.3.3 Corrélationpour le al ulde

Re

θ

. . . 40

6.3.4 Fermeturedu modèle: fon tions

F

length

et

Re

θ

c

. . . 41

6.3.5 Couplagedumodèlede transitionave lemodèle

k − ω

SST . . . 41

7 ASPECTS NUMERIQUES 42 7.1 Intégration temporelle -Pasde temps lo al . . . 42

7.2 E oulements instationnaires - Pasde temps dual . . . 42

7.3 Dis rétisation spatiale desux onve tifs . . . 43

7.4 Dis rétisation spatiale destermes visqueux. . . 44

7.5 Multigrille . . . 44

7.5.1 Prin ipe . . . 44

7.5.2 Des riptionde l'algorithmemultigrille . . . 44

7.5.3 Opérateursintergrille. . . 45

7.6 Traitement des onditionsaux limites. . . 46

7.6.1 Conditionsàl'inni pourle hamp moyen . . . 46

7.6.2 Conditionsàl'inni pourle hamp turbulent . . . 47

7.6.3 Conditionsauxparois pour le hamp moyen . . . 48

7.6.4 Conditionsauxparois pour le hamp turbulent . . . 48

7.7 Initialisation des al uls . . . 48

CFD EN ECOULEMENT COMPRESSIBLE

1.1 Introdu tion

Lasimulationnumériquedesé oulementsturbulentsestunformidableoutilaussibienpouressayerdemieux

omprendreles mé anismesphysiquesque pour la on eption etle développement dansl'industrie. Son

uti-lisation ourante a été rendue possible par les progrès réalisés dans le domaine de la résolution numérique

des équations de la mé anique des uides et surtout par l'explosion des moyens de al ul. Aujourd'hui, la

simulationnumériqueestunvéritable omplément auxétudesexpérimentalesetpermetdelimiterlenombre

d'essais en souerie, entraînant une rédu tion des oûts et des délais de on eption, et onstitue ainsi un

enjeu é onomique majeur.

A tuellement, les appli ations on ernent des géométries de plus en plus pro hes des ongurations réelles

(avion omplet, moteur, tuyère...) qui mettent en jeu des phénomènes omplexes : transition

laminaire-turbulent, dé ollements,intera tion ho - ou he limite.Il seposealors lesproblèmes dereprésentativité des

al uls par rapport à la physique à reproduire, de pré ision, de robustesse et de oût de al ul. En eet,

malgré la puissan e des al ulateurs, la simulation de toutes les é helles spatio-temporelles a tives au sein

d'uné oulementturbulent, depuislesplusgrandes imposées parlatailleduproblèmejusqu'aux pluspetites

dissipatives(é helle de Kolmogorov[27℄), ne peut êtreenvisagée à l'heurea tuelle. Cetteappro he,appelée

SimulationNumériqueDire te ouDNS(Dire tNumeri alSimulation), estenpratique limitéeàdes astrès

simplesàfaiblenombredeReynolds. Dèslors,pour évaluerlesperforman esaérodynamiquesde omposants

industriels,le re ours à des modèles s'impose pour réduire les oûts de al ul, touten garantissant un bon

niveau de pré ision.

UnesolutionestderésoudreleséquationsdeNavier-Stokessurunegammerestreinted'é hellesetdemodéliser

l'a tion des autres. Cette séparation des é helles débou he sur diérents niveaux d'approximation de la

turbulen e ommelasimulationdesgrandesé hellesouLES(LargeEddySimulation)etl'appro hemoyennée

ouRANS(Reynolds Averaged Navier-Stokes).

•

La première, par ltrage en espa e, résout la dynamique des grandes et moyennes é helles porteuses

d'énergie etutilise un modèle (dit de sous-maille) pour représenter l'a tion des é helles dont la taille

estinférieureà elledelamailledu al ul,surlesé hellesrésolues.Cetteméthode requiertunmaillage

très n etesten ore très oûteuse.

•

La se onde utilise un traitement statistique:lesvariables du systèmesont dé omposées en une partie

moyenne et une partie u tuante. Le système des équations de Navier-Stokes instantanées est alors

rempla é parunsystèmed'équationssurlesvaleursmoyennesdu hamp. Pour uné oulement

station-naire, lamoyenne d'ensembledes équations deNavier-Stokes(moyenne obtenue sur ungrandnombre

de réalisations)peutêtre rempla éepar unemoyenne temporelle(hypothèse d'ergodi ité).Dans le as

d'é oulements instationnaires, l'hypothèse d'ergodi ité de la turbulen e n'est plus valable et pose le

Lesnon-linéaritésdes termes onve tifs dusystème initial font apparaîtredes quantitésin onnuesasso iées

à des moyennes de produits de u tuations : les tensions de Reynolds

ρu

′

i

u

′

j

, le ux de haleur turbulent

ρu

′

_i

e

′

,et d'autrestermes qui sont négligés(un terme

τ

′

ij

,un termede diusionturbulente, et .). Lestermes

supplémentaires doivent être modélisés pour fermer le système dans le as d'é oulements turbulents. La

fermeture est réalisée au moyen d'un modèle de turbulen e plus ou moins sophistiqué. Elle permet une

diminutionimportantedunombrededegrésdelibertéquilarendappli ablesurdes ongurations omplexes

et pour desnombres de Reynoldselevés. C'estl'appro he laplus ouramment utiliséedansl'industrie.

Figure 1.1 Appro heDNS/LES/RANS rapportéesdansl'espa e spe tral

1.2 Présentation générale d'un ode RANS

Unsolveur RANS(Reynolds AveragedNavier-Stokes)permetlasimulation d'é oulements tridimensionnels,

instationnaires, ompressiblesouin ompressibles,parrésolution deséquationsdeNavier-Stokesmoyennées

sur maillages stru turés ou non par domaine. Le système est fermé par un modèle de turbulen e. Nous ne

parleronsi i quedu asdes odes ompressiblesave une dis rétisation detype VolumesFinis.

L'intégration entemps estee tuéeave un s hémaadapté(Ma Corma k,Runge-Kunta, Eulerexpli ite...),

ave un pas de temps lo al onditionné par un ritère CFL et/ou une phase impli ite. Une te hnique

mul-tigrillepermetl'a élération de la onvergen e. Pour les é oulements instationnaires, laméthode du pasde

temps dualestutilisée.

Ladis rétisationspatialeestdetypeVolumesFinisave une représentation" ell- entered"(valeurau entre

de la ellule) ou " ell-vertex" (valeur auxnoeuds). Le al ul desux autravers desfa ettes des ellulesest

réaliséau moyen de diérentss hémasnumériques entrés ou de entrés.

Uneappro hemulti-domaine,utilisantdeste hniquesdera ordsjointifsouautorisantlere ouvremententre

domaines,permetl'emploidemaillagesstru turésounonpardomaine.Les onditionsauxlimites,appliquées

par fa ette frontière, reposent sur la dis rétisation des relations ara téristiques é rites pour les équations

d'Euler tridimensionnelles.

onservationdumomentetdel'énergie.Miseàpartl'équationde onservationdelamasse,leséquationssont

mixtes hyperboliques-paraboliques en espa e et en temps (et elliptiques dans le as stationnaire).

L'équa-tiondela onservationdelamasseesthyperboliqueenespa eetentemps ommepourleséquationsd'Euler.

Lesystèmedeséquationsde Navier-Stokesmoyennées n'admetquedessolutions ontinues ontrairement

auxéquations d'Euler oùdes solutions dis ontinues (au sensfaible) sont admissibles. Leséquations d'Euler

sont la limite des équations de Navier-Stokes quand les termes visqueux tendent vers

0

, 'est-à-direquand

le nombre de Reynolds tend vers l'inni. Dans le as de l'air où la vis osité inématique est de l'ordre de

10

−5

m

2

/s

, le nombre de Reynolds est très grand pour les ongurations de al uls les plus ourants

(sou-vent supérieur à

10

6

et peut atteindre

10

8

). Le hamp de variables d'un é oulement peut alors présenter

de très fortes variations lo ales ( orrespondant aux dis ontinuités des équations d'Euler), dont l'épaisseur

est souvent bien inférieure à la taille du maillage utilisé pour la résolution numérique : on peut estimer la

taille ara téristique de es phénomènes à l'inverse du nombre de Reynolds. Les solutions numériques des

équationsdeNavier-Stokesmoyennées peuvent don présenterdes ho s. Pour simuler orre tementla

topo-logiedu ho ,ilfautpasserauxéquationsdeBurnettousuper-Burnett(utiliséesdansdes asdedétoniques).

Outre la prise en ompte des phénomènes de transferts thermiques, un ara tère spé ique des équations

de Navier-Stokes provient de la ondition limite d'adhéren e imposée au onta t de la paroi. En eet, la

vitesseduuideàlaparoisolideestnulle(pareetderugosité)d'oùlaprésen edefortsgradientsdu hamp

dansles régionsdepro heparoi dites ou heslimites. Dans ette zone,leseetsde vis ositédeviennent très

importants etla turbulen esedéveloppe. L'épaisseurde la ou he limitepeut êtreestimée ommel'inverse

de la ra ine arrée du nombre de Reynolds, e qui impose l'utilisation de maillages très ranés dans les

régionsde paroi. Les ou hes limites sont la majeure sour e de di ultés supplémentaires des équations de

LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

MOYENNEES

Le traitement statistique des équations instantanées onduit à dé omposer haque grandeur

G

, selon la

formulationdeReynolds,enunepartie moyenne(notée

G

)etunepartieu tuante(notée

g

′

).Pourles

é ou-lements ompressibles, on utilise une moyenne pondérée par la masse volumique (moyenne de Favre [14 ℄).

Cettemoyenneestdéniepar:

˜

φ =

ρφ

ρ

.Sonutilisationévitel'apparitiondesu tuationsdemassevolumique

dans les équations. On néglige les u tuations de la vis osité molé ulaire

µ

. Pour simplier les notations,

nousnoterons enmajus ule lesgrandeurs moyennes.

Remarque:lamoyenne pondéréeparlamasseestunoutil mathématiqueetnonunesimpli ationphysique.

Mêmesilau tuationdemassevolumiqueadisparudeséquations, elan'éliminepaspourautantsoneetsur

laturbulen e.Morkovin[44℄aémisl'hypothèseque,dansune ou helimite,leseetsdeu tuationsdemasse

volumique sur la turbulen e restent négligeables en omparaison de eux de la masse volumique moyenne

sous ondition que le nombre de Ma h reste inférieur à 5. La turbulen e onserve ainsi un omportement

in ompressible.

2.1 Système des équations NS moyennées "à la Favre"

Onintroduitles dé ompositions suivantes:

ρ = ρ + ρ

′

;

P = P + P

′

;

q

j

= q

j

+ q

′

j

u

i

= ˜

u

i

+ u

′′

i

;

h = ˜

h + h

′′

;

e = ˜

e + e

′′

où

h

désigne l'enthalpieet

e

l'énergieinterne.

Leséquations deNavier-Stokes"à laFavre" s'é rivent :

∂ρ

∂t

+

∂

∂x

i

(ρ ˜

u

i

)

=

0

∂

∂t

(ρ ˜

u

i

) +

∂

∂x

i

(ρ ˜

u

i

u

˜

j

)

=

−

∂P

∂x

i

+

∂

∂x

j

h

˜

τ

ji

− ρu

′′

i

u

′′

j

i

∂

∂t

"

ρ



˜

e +

u

˜

i

u

˜

i

2



+

ρu

′′

i

u

′′

i

2

#

+

∂

∂x

i

"

ρ ˜

u

j



˜

h +

u

˜

i

u

˜

i

2



+

ρu

′′

i

u

′′

i

2

#

=

∂

∂x

j

h

−q

j

− ρu

′′

_j

h

′′

i

+

∂

∂x

j

h

˜

u

i



˜

τ

ij

− ρu

′′

i

u

′′

j

i

Ave l'équation d'état desgaz parfaits:

P = rρ ˜

T

Letenseur

τ

˜

ij

représentelapartiemoyennedutenseurdes ontraintesvisqueuses.Etleterme

−ρu

′′

i

u

′′

j

= ρτ

ij

t

estletenseur des ontraintes turbulentes (ou tenseur de Reynolds).

Leterme

ρu

′′

j

h

′′

= q

t

j

estleuxde haleurturbulent;ilreprésentel'enthalpietransportéeparlesu tuations turbulentes.

Leterme

1

2

ρu

′′

i

u

′′

i

est l'énergie inétiquede turbulen e

ρk

.

Lapartiemoyennedutenseurtauxdedéformations'é rit:

S

˜

ij

=

1

2



∂ ˜

u

i

∂x

j

+

∂ ˜

u

j

∂x

i



.L'hypothèsedeBoussinesq

(1877)permetd'exprimer letenseur turbulent auxgradientsde vitessemoyenne parunerelation analogueà

laloi de omportementliant les ontraintesvisqueusesautenseur destauxdedéformation.Cettehypothèse

faitintervenir lanotionde vis osité turbulente

µ

t

.

ρτ

_ij

t

_{= −ρu}

′′

_i

u

′′

_j

= 2µ

t



˜

S

ij

−

1

3

∂ ˜

u

k

∂x

k

δ

ij



−

2

₃

ρkδ

ij

Le uxde haleur turbulent est reliéau gradient de température moyenne via lavis osité turbulente et un

nombrede Prandtlturbulent

P

r

t

par unerelation analogue à laloide Fourier :

q

_j

t

= ρu

′′

j

h

′′

= −

µ

t

C

p

P r

t

∂ ˜

T

∂x

j

= −

µ

t

P r

t

∂˜

h

∂x

j

2.2 Formulation onservative

Pour alléger les notations, les grandeurs moyennes sont notées sans opérateur. Le système deséquations de

Navier-Stokesmoyennées oupléesave unmodèledeturbulen eàdeuxéquationsdetransport(

k

,

Ψ

)s'é rit,

sousforme onservative :

∂w

∂t

+

div

(F

c

(w) − F

d

(w, w

x

, w

y

, w

z

)) = S(w)

(2.1)

où

w

désigne leve teur desvariables onservatives,

F

c

et l

F

d

esdensités de ux onve tif etdiusif :

w =













ρ

ρ~

V

ρE

ρk

ρΨ













;

F

c

=















ρ~

V

ρ(~

_{V ⊗ ~}

V ) + pI

ρE ~

V + p~

V

ρk ~

V

ρΨ~

V















;

F

d

=



















0

τ

v

_{+ τ}

t

(τ

v

_{+ τ}

t

_).~

_{V − ~}

_q

v

_{− ~}

_q

t

(µ +

µ

t

σ

k

) ~

grad

k

(µ +

µ

t

σ

Ψ

) ~

grad

Ψ



















Le ve teur terme sour e S ne on erne que les équations de transport de la turbulen e.

E

désigne l'énergie

Lesmodèles de turbulen e sont formulés dans le adre de l'hypothèse de Boussinesq etde laloi de Fourier

turbulente. La modélisation du tenseur des ontraintes turbulentes (ou tenseur de Reynolds) et du ve teur

uxde haleur turbulent estrempla ée par ellede lavis osité turbulenteselon laformulation suivante:

τ

t

_{= µ}

t



~

~

grad

V + (

~

~

~

grad

V )

~

t

₋

2

3

(

div

V )I

~



−

2

₃

ρkI

~

q

t

_{= −}

µ

t

P

rt

C

p

grad

~

T

Cette relation signie que la turbulen e réagit instantanément à une modi ation du hamp de vitesse

moyenne, 'est-à-dire qu'iln'y a pasd'eet demémoire de laturbulen e.

Leterme

2

3

ρk

s'apparenteàune pressiondynamiqueturbulentedue auxmouvementsd'agitation. Ilest

sou-vent asso ié à lapression pour former une pression modiée

P

∗

_{= P +}

2

3

ρk

.Il est négligeable devant

P

en

régimesubsonique.

On utilise les lois de Newton et de Fourier pour fermer le tenseur des ontraintes visqueuses et le ux

de haleur. Le tenseur des ontraintes (somme des ontraintes visqueuses et des ontraintes turbulentes)

τ = τ

v

_{+ τ}

t

etleve teur uxde haleur

~

q = ~

q

v

_{+ ~}

_q

t

s'é riventalors :

τ

= (µ + µ

t

)



~

~

grad

V + (

~

~

~

grad

V )

~

t

₋

2

3

(

div

V )I

~



−

2

₃

ρkI

(2.2)

~q

_{= −}



µ

P

r

+

µ

t

P

rt



C

p

grad

~

T

(2.3)

oùles nombresde Prandtl molé ulaire etturbulent sont pris onstants :

P

r

= 0.72

et

P

r

t

= 0.9

pour l'air.

L'air est onsidéré omme un gaz parfait ave

γ = 1, 4

. La vis osité molé ulaire est évaluée par la loi de

Sutherland etnedépend quede latempérature moyenne :

µ(T ) = µ

ref

s

T

T

ref

1 + S/T

ref

1 + S/T

ave

T

ref

= 273.16K

,

µ

ref

= 1.711 10

−5

_kg.m

−1

_.s

−1

et

S = 110.4K

.

2.3 Formulation en repère entraîné

Pour ertaines appli ations, la proje tion desloisde bilan dansun repèreentraîné sejustie parl'existen e

d'uné oulement permanent dans e repère. C'est par exemple le aspour une roueisoléede turboma hine,

pour un rotord'héli optère en volstationnaireou pourune héli een mouvement de translationaxiale.

On distingue alors, dans e repère entraîné, deux formulations possibles des équations moyennées selon le

hoix d'in onnue pourlavitesse.

•

Formulationen vitesseabsolue

Ce hoix est elui retenu pour les appli ations héli es ou rotor d'héli optères en vol stationnaire. La

raison de e hoix est reliée dire tement à des onsidérations de pré ision numérique dansl'appro he

volumes nis.

•

Formulationen vitesserelative

Ce hoix oreune formulation physique dire teen termesde loisdebilan pour l'observateurentraîné.

Onl'utilise pour les é oulementsdans lesturboma hines.

2.3.1 Formulation en vitesse absolue

Leséquations RANS sont projetées dans un repère artésien entraîné

R

E

. Le système est formulé ave les

omposantes

V

~

E

delavitesseabsoluedanslerepèreentraîné

R

E

.Notons

~s

E

leve teurvitessed'entraînement

et

ω(R

~

E

/R)

leve teur rotation durepèreentraîné par rapportau repèreabsolu.

∂w

E

∂t

+

div

(F

c

(w

E

, ~s

E

) − F

d

(w

E

,

grad

(w

E

))) = S(w

E

)

où

w

E

désigneleve teurdesvariables onservatives,

F

c

(w

E

, ~s

E

)

et

F

d

lesdensitésdeux onve tifetdiusif:

w

E

=





ρ

ρ ~

V

E

ρE



 ; F

c

(w

E

, ~s

E

) =







ρ(~

V

E

− ~s

E

)

ρ



V

~

E

⊗ (~

V

E

− ~s

E

)



+ pI

E

ρE(~

V

E

− ~s

E

) + p~

V

E





 ;

F

d

=







0

τ

v

E

+ τ

t

E

(τ

v

E

+ τ

t

E

).~

V

E

− ~

q

v

E

− ~

q

t

E







où l'énergietotale

E

est dénie par :

E = e +

| ~

V

E

|

2

2

.Les omposantes destenseurs des ontraintes et des

ve teursuxde haleur sont exprimées danslerepère

R

E

.Le ve teur termesour e

S(w

E

)

:

S(w

E

) =





0

−~ω(R

E

/R) ∧ ρ~

V

E

0





2.3.2 Formulation en vitesse relative

Le système est formulé ave les omposantes

V

~

r

E

= ~

V − ~s

E

de la vitesse relative exprimée dans le repère entraîné

R

E

.

∂w

E

∂t

+

div

(F

c

(w

E

)) − F

d

(w

E

,

grad

(w

E

))) = S(w

E

)

où

w

E

désigne leve teur desvariables onservatives,

F

c

(w

E

)

et

F

d

les densitésde ux onve tif et diusif:

w

E

=





ρ

ρ ~

V

r

E

ρE

r



 ;

F

c

(w

E

) =







ρ~

V

r

E

ρ(~

V

r

E

⊗ ~

V

r

E

) + pI

E

ρE

r

V

~

r

E

+ p~

V

r

E





 ;

F

d

=







0

τ

v

E

+ τ

t

E

(τ

v

E

+ τ

t

E

).~

V

r

E

− ~

q

v

E

− ~

q

t

E







oùl'énergietotale"relative"

E

r

estdénie par :

E

r

= e +

| ~

V

r

E

|

2

2

Les omposantesdestenseursdes ontraintesetdesve teursuxde haleursontexpriméesdanslerepère

R

E

.

Leve teurtermesour e

S(w

E

)

etl'expressiondesfor es d'inertie:

S(w

E

) =





0

ρ ~

f

cor

+ ρ ~

f

cen

ρ~

V

r

E

. ~

f

cen





;







~

f

cor

=

−2~ω(R

E

/R) ∧ ~

V

r

E

=

for ede Coriolis

~

f

cen

= −



∂~s

E

∂t

+ ~

ω(R

E

/R) ∧ ~s

E



=

for e entrifuge 2.4 Turbulen e ompressible

2.4.1 Equation de transport pour les ontraintes turbulentes

∂ρτ

ij

∂t

+

∂f

u

k

ρτ

ij

∂x

k

= ρP

ij

+ ρΠ

ij

− ρε

ij

+ ρM

ij

+ ρD

ij

ave

ρP

ij

= −ρ



τ

ik

∂ e

u

j

∂x

k

+

∂ e

u

i

∂x

k

τ

kj



ρΠ

ij

= p

′

∂u

′′

i

∂x

j

+

∂u

′′

j

∂x

i

!

= p

′

∂u

′

i

∂x

j

+

∂u

′

j

∂x

i

!

ρε

ij

= σ

′′

ik

∂u

′′

j

∂x

k

+ σ

′′

jk

∂u

′′

i

∂x

k

= σ

′

ik

∂u

′

j

∂x

k

+ σ

′

jk

∂u

′

i

∂x

k

ρM

ij

=

ρ

′

_u

′′

i

ρ



∂p

∂x

j

−

∂σ

jk

∂x

k



+

ρ

′

_u

′′

j

ρ



∂p

∂x

i

−

∂σ

ik

∂x

k



=

ρ

′

_u

′

i

ρ



∂p

∂x

j

−

∂σ

jk

∂x

k



+

ρ

′

_u

′

j

ρ



∂p

∂x

i

−

∂σ

ik

∂x

k



ρD

ij

= −

∂

∂x

k

h

ρu

′′

i

u

′′

j

u

′′

k

+



δ

ik

p

′

u

′′

j

+ p

′

u

′′

i

δ

jk



−



σ

′′

ik

u

′′

j

+ σ

′′

jk

u

′′

i

i

= −

_∂x

∂

k







ρ

u

^

′′

i

u

′′

j

u

′′

k

+



δ

ik

p

′

u

′

j

+ p

′

u

′

i

δ

jk



|

{z

}

turbulent transport

−



σ

′

ik

u

′

j

+ σ

′

jk

u

′

i



|

{z

}

viscous transport









Lasigni ationdestermesest:

P

ij

produ tion,

Π

ij

redistribution d'énergieentreles omposantesdutenseur

de Reynolds,

ε

ij

destru tion/dissipation d'énergie par la vis osité molé ulaire,

M

ij

ontribution du ux de

masse,

D

ij

transportetdiusion.

2.4.2 Equation de transport de l'énergie inétique turbulente

L'équation de transport pour l'énergie inétique turbulente est obtenue à partir de l'équation de transport

pour les ontraintes de Reynoldspar ontra tiondesindi es,

k =

τ

ii

2

.Onobtient :

ρ

D k

ave

ρP

k

=

ρP

₂

ii

=

−ρτ

ik

∂ e

u

i

∂x

k

ρΠ =

ρΠ

ii

2

= p

′

∂u

′

i

∂x

i

ρε =

ρε

ii

2

=

σ

′

ik

∂u

′

i

∂x

k

ρM =

ρM

ii

2

=

ρ

′

u

′

i

ρ



∂p

∂x

i

−

∂σ

ik

∂x

k



ρD =

ρD

ii

2

= −

∂

∂x

k



ρ

u

^

′′

i

u

′′

i

2

u

′′

k

+ p

′

u

′

i

δ

ik

− σ

′

ik

u

′

i





Usuellementlafermeturedu termedeprodu tion

P

k

estréalisée àl'aided'unehypothèse devis osité

turbu-lenteisotrope.Le terme de diusion

D

estmodélisépar une appro he de diusion par gradient.

Lesautres termessont inuen éspar la ompressibilité etné essiteuntraitement parti ulier [49 , 31,16℄.

2.4.3 Taux de dissipation d'énergie turbulente

ε

Ladissipation s alaire peuts'é rire :

ρε ≈ 2 µ s

′

ik

s

′

ki

−

2

3

µ s

′

kk

s

′

ll

= 2 µw

′

ik

w

′

ik

|

{z

}

ρε

s

+ 2 µ

∂

∂x

k

"

∂u

′

k

u

′

l

∂x

l

− 2 u

′

k

s

′

ll

#

|

{z

}

ρε

inh

+

4

3

µ s

′

kk

s

′

ll

|

{z

}

ρε

d

où

ε

s

estla ontributionsolénoidalequi orrespondà la ontribution enin ompressible;

ε

inh

la ontribution

inhomogèneet

ε

d

la ontribution dilatationnelle ou ompressible.

Ona

∂u

′

_i

∂x

j

= s

′

ij

+ w

′

ij

ave :

s

′

_ij

=

1

2

∂u

′

_i

∂x

j

+

∂u

′

j

∂x

i

!

;

w

_ij

′

=

∂u

′

i

∂x

j

−

∂u

′

j

∂x

i

!

LES MODELES DE TURBULENCE

Lesdiéren esentreles modèlesde turbulen e résident dansleurs apa itésà reproduire dèlement le

om-portement des é oulements turbulents sur diérentes ongurations, dans les di ultés liées à leur

implé-mentation et leur résolution dansdes odesde al ul. Au un modèle n'est satisfaisant pour tous les

types de ongurations.Le hoix dumodèle deturbulen eest don fon tion desappli ationsviséesainsi

quede la apa itédesméthodesnumériques à lesupporter.

3.1 La vis osité turbulente

Lesmodèles utilisantlanotion de vis ositéturbulente reposentsur l'existen e,au seindes ou hes isaillées

àgrandnombre deReynolds,d'unerégion assezétendued'équilibreapproximatifentrelaprodu tion

d'éner-gie turbulente (extraite des grosses stru tures) et la dissipation turbulente (dissipée aux petites é helles),

é hanges entrel'é oulement moyen etl'é oulement u tuant :

production

dissipation

≃ 1

Cetéquilibreprodu tion-dissipationjustielo alementlanotiondevis ositéturbulente(argumentd'isotropie

lo ale) orrespondant en uide in ompressibleà :

τ

_ij

t

= 2µ

t

S

ij

ave

S

ij

=

1

2



∂U

i

∂x

j

+

∂U

j

∂x

i



ave

τ

t

letenseur de Reynoldset

S

letenseur destaux dedéformation.

Cettemodélisation onduit auxapproximations suivantes :

•

letenseurdeReynoldsestalignésurletenseurdesdéformations( olinéarité), equin'estgénéralement

pasvérié.

•

l'é oulement turbulent réagitdire tement à deseets de distorsions de l'é oulement moyen sans eet

de mémoire.

•

le terme de produ tion

P

k

= 2µ

t

S

2

traduit un transfert d'énergie uniquement du mouvement moyen

vers laturbulen e.

•

on donne un ara tère diusif (adapté aux petites é helles) à un phénomène à grande é helle (dont

l'origine estlanonlinéarité deséquations de Navier-Stokes). Lestensions deReynoldstendent don à

stabiliser les mé anismesinstationaires adve tifs e qui esten ontradi tion ave leurorigineformelle.

A l'équilibre stri t

P roduction/Dissipation = 1

dans une région de l'espa e, l'expression de

µ

t

peut être

unemodélisationplus omplexe ( omme lemodèle

k − ε

) maissavaliditéest moins ertaine.

Pour

P roduction/Dissipation 6= 1

,tout devient ompliqué!! Non seulement la possibilité de al uler

sim-plement la valeur de

µ

t

disparaît, mais en plus la notion même d'une vis osité turbulente

µ

t

s alaire est

perdue. Il est possible de développer desmodèles plus sophistiqués ave transport des omposantes du

ten-seurdeReynolds:lesmodèlesRSM(7équationsdetransport).Onpeutaussidénirunevis ositéturbulente

tensorielled'ordre 4:

−ρu

′

i

u

′

j

= (µ

t

)

ijkl



∂U

l

∂x

k

+

∂U

k

∂x

l



Lavis ositéturbulentes alaireestévaluée,paranalogieave lavis ositémolé ulaire, ommeleproduitd'une

é helle de vitesse

u

et d'une é helle de longueur

l

, ara téristiques de la turbulen e. Elle peut s'obtenir à

partird'unerelation algébrique,d'une ouplusieurs équations de transport.

Pour l'é helle de vitesse, omme une part importante de l'énergie des u tuations de vitesse est ontenue

danslesgrossesstru tures,ilestnaturel deprendreunegrandeurrelative àl'énergie inétiquedeturbulen e

k

,soit

u ∼

√

k

.

Pour l'é helle de longueur

l

,plusieurs hoixde variables transportéessont possibles:

-le tauxde dissipation

ε

,

l ∼

k

3/2

ε

-la dissipationspé ique

ω

,

l ∼

√

k

ω

-dire tement l'é helle delongueur

l

Lsmodèles lesplus utilisésen aérodynamiquesont :

•

Le modèle àune équation deSpalart-Allmaras [54℄

•

Le modèle

k − ω

de Menter ave orre tion SST [34 ℄

•

Le modèle

k − ε

de Jones-Launder [26℄ou sesvariantes

•

Le modèle

k − ω

de Wil ox[65 ℄ etses améiliorations

3.2 Modèles algébriques

Lavis osité turbulente est déniealgébriquement d'aprèsunelongueur demélange. Cesmodèlesont

l'avan-taged'unerelative robustesseetdel'é onomieentemps de al ul.Leurvaleurprédi tive estlimitéemaisles

modèles pluspré issont omplexeset oûteux.

L'é helle de longueur servant à exprimer la vis osité turbulente tend à représenter la taille des tourbillons

porteursd'énergie, 'estpourquoielleestsouventproportionnelleàladistan eàlaparoi

d

.Ladétermination

de ette é helle, appelée longueur de mélange "

l

", est basée sur une analogie ave le libre par ours moyen

dans la théorie inétique des gaz. L'é helle de vitesse

u

, pour un é oulement turbulent isaillé en ou he

min e,estfon tion de lavitessemoyenne del'é oulement :

u = l |

∂U

∂y

|

.

Citons le modèle de Mi hel-Quémard-Durant [41 ℄ (1969) où lavis osité turbulente, fon tion de la vorti ité

del'é oulement moyen

ω

etdesgrandeurs ara téristiques dela ou he limite, suit l'équationsuivante:

µ

t

= ρl

2

D

2

ω

ave

l = 0.085δ

tanh



κ

0.085

d

δ



où

l

estlalongueurdemélange,

κ

la onstantedevonKarman=0.41,

δ

estl'épaisseurdela ou helimite,

d

est

ladistan eà laparoi.

D

estunefon tion d'amortissementtraduisant ladé roissan erapidede laturbulen e

auvoisinage de laparoi:

D(ξ) = 1 −

exp

−

ξ

1/2

26κ

!

ave

ξ = ρl

2

µ + µ

t

µ

2

ω

UnautremodèlealgébriquesouventutiliséestlemodèledeBaldwin-Lomax[2 ℄(1978).Lavis ositéturbulente

s'é rit :

ν

t

= min (ν

t

i

, ν

t

e

)

ν

t

i

= (κdD(d))

2

_ω

ν

t

e

= C

Clauser

C

cp

F

wake

F

Kleb

(d)

ave

F

wake

unefon tion desillage,

D(d)

lafon tion d'amortissement de vanDriest,

C

Clauser

la onstantede

Clauser=0.0168,

C

cp

une onstante =1.6et

F

Kleb

lafon tion deKlebano.

Cemodèle peutgénérer desos illations numériques.

3.3 Modèle à 1 équation : le modèle de Spalart-Allmaras (1992)

Ce modèle utilise une seule équation de transport pour la quantité

ν

˜

qui, loin des parois, se onfond ave

la vis osité turbulente

ν

t

. L'équation pour

ν

˜

résulte d'une onstru tion pas à pas par ajout de termes

destinés à prendre en ompte de plus en plus de phénomènes physiques. Partant d'une forme

" onve -tion=produ tion+diusion" pour les é oulements libres, Spalart [53, 54℄ajoute les termes né essaires pour

obtenirune régionlogarithmique dansles prolsde vitessepuis lestermesde orre tion de faiblenombrede

Reynoldsde turbulen epour larégion depro he paroi.

∂ρ˜

ν

∂t

+

div



~

V ρ˜

_{ν −}

1

σ

(µ + ρ˜

ν) ~

grad

ν

˜



=

c

b

1

(1 − f

t2

) ˜

Sρ˜

ν +

c

b

2

σ

grad

~

ρ˜

ν. ~

grad

ν

˜

−



c

w

1

f

w

−

c

b

1

κ

2

f

t2



ρ

ν

˜

2

d

2

ν

t

= ˜

νf

v

1

;

f

v

1

=

χ

3

χ

3

_{+ c}

3

v

1

;

χ =

ρ˜

ν

µ

˜

S = | ~

rot

V | +

~

e

ν

κ

2

_d

2

f

v

2

;

f

v

2

= 1 −

χ

1 + χf

v

1

;

f

t2

= c

t3

exp

(−c

t4

χ

2

₎

f

w

= g



_{1 + c}

6

w

3

g

6

_{+ c}

6

w

3



1

6

;

g = r + c

w

2

(r

6

_{− r)}

_;

_{r =}

ν

˜

˜

Sκ

2

_d

2

Les onstantes :

c

b

1

= 0, 1355

;

c

b

2

= 0, 622

;

σ =

2

3

;

κ = 0, 41

c

w

1

=

c

b

1

κ

2

+ (1 + c

b

2

)/σ

;

c

w

2

= 0, 3

;

c

w

3

= 2

c

v

1

= 7, 1

;

c

t3

= 1, 1

;

c

t4

= 2

3.4 Modèles à 2 équations de transport

A tuellement, es modèles sont les plus répandus dans les odes RANS. Dans es équations, la variable

d

3.4.1 Le modèle

k

− ε

de Jones-Launder (1972)

Cemodèle, très largement utilisé,a étédéveloppé àl'originepour prévoir lephénomène de relaminarisation

des ou heslimitesturbulentes en présen ede gradients depression favorables[26℄.

∂ρk

∂t

+

div



ρk ~

_{V −}



µ +

µ

t

σ

k



~

grad

k



= P

k

− ρ˜ε − D

∂ρε

∂t

+

div



ρ˜

ε~

_{V −}



µ +

µ

t

σ

ε



~

grad

ε

˜



= c

ε

1

˜

ε

k

P

k

− ρc

ε

2

f

2

˜

ε

2

k

+ E

Letaux de dissipationde l'énergie inétiquepeutêtreapproximée par :

ρε = µ

∂u

′′

i

∂x

j

∂u

′′

i

∂x

j

Le terme

D

est introduit pour intégrer la quantité

ε

˜

, grandeur interprétée omme la partie isotrope de la

dissipation.Elleal'avantagedetendreverszéroàlaparoi equisimpliel'é rituredela onditionaulimite.

D = 2ν



grad

~

√

k



.



grad

~

√

k



;

ρ˜

_{ε = ρε − D}

Lavis ositéturbulente, laprodu tionde

k

etleterme debasnombredeReynoldsdeturbulen e

E

vérient:

µ

t

= ρc

µ

f

µ

k

2

˜

ε

;

P

k

= τ

t

:

~

~

grad

V

~

E = 2

µµ

t

ρ



_~

~

~

grad



~

~

grad

~

V



. . .



_~

~

~

grad



~

~

grad

~

V



Lesfon tionsd'amortissement sont reliées aunombre deReynolds deturbulen e :

R

t

=

k

2

νε

;

f

µ

=

exp



−2, 5

1 + R

t

/50



;

f

2

= 1 − 0, 3

exp

−R

2

t

Les onstantes :

c

µ

= 0, 09

;

C

ε1

= 1, 57

;

C

ǫ2

= 2

;

σ

k

= 1

;

σ

ε

= 1, 3

L'é helle detemps ara téristique

T = k/ε

représente laduréené essairepourdissiperuntourbillonporteur

d'uneénergie inétiqueturbulente

k

.

Il existe de nombreux modèles

k − ε

(Jones-Launder, Launder-Sharma, Nagano, Chieng, Shih...). Les

dif-féren es majeures entre es modèles on ernent les valeurs des onstantes etles fon tions d'amortissement

utilisées.

3.4.2 Modèle

k

− ε

réalisable

Les onditions deréalisabilité exprimentquelesu tuations devitesseau arré doivent êtrepositiveset que

les orrélations roisées doiventvérierl'inégalité de S hwartz. Appliquéesà unmodèlede turbulen e

k − ε

,

les onditions pourassurer laréalisabilité dansuné oulement tridimensionnel sont (voir[12 ℄) :

C

µ

≤

1

s

√

3

;

s =

k

ε

S

;

S

2

_{= 2S}

ij

S

ij

−

2

3

S

2

kk

Ce i permet d'obtenir un modèle faiblement non-linéaire ave un oe ient

C

µ

fon tion du tenseur de

déformationadimensionné :

C

µ

= min



C

_µ

o

,

c

s

√

3



ave

c ≤ 1

et

C

o

µ

= 0.09

3.4.3 Le modèle

k

− ε

RNG (1986)

Cemodèle,dûauxtravauxdeYakhotetOrszag[66 ,67℄,estuneaméliorationdumodèle

k −ε

parl'utilisation

dete hniquesbasées surlathéoriedesgroupesderenormalisation(mé aniquequantique).L'idée généralede

ettethéorieest d'abord desepla er dansl'espa ede Fourier. Onraisonne alorssurles nombresd'onde, les

grandesé helles orrespondentauxpetitsnombresd'ondeetlespetitesé hellesauxgrandsnombresd'ondes.

Le hamp de vitesse est dé omposée en bandes de nombres d'onde. Un pro édé itératif est utilisé pour

al- ulerl'inuen e de haquebande en fon tion desnombres d'onde plusfaiblesadja ents. Cepro édépermet

don d'exprimer les eetsdesgrands nombres d'onde(les petitesé helles nonrésolues) enfon tion desplus

faibles.De pro he en pro he,on élimine les bandesde nombres d'ondeelevésque l'on peutrelier auxpetits

nombresd'ondes orrespondant auxé helles résolues.

On repasse ensuite dans l'espa e physique et on peut obtenir de manière "analytique" les modèles de

tur-bulen e que l'on souhaite. Les al uls analytiques obtenus par ette appro he donnent un modèle ave des

onstanters diérentsde ellesdumodèlestandard,ainsiquelaprésen ed'unetermesupplémentaire

R

dans

l'equationpour

ε

:

∂ρε

∂t

+

div



ρ˜

ε~

_{V −}



µ +

µ

t

σ

ε



~

grad

ε

˜



= c

ε

1

˜

ε

k

P

k

− ρc

ε

2

f

2

˜

ε

2

k

+ E − R

Ladétermination des onstantesdumodèlesefaitdemanièreanalytiquesansavoirre oursàdesexpérien es

ommele asdumodèlenormal.Cependant,lenouveauterme

R

,nondéduitdelathéorieRNG,est"bri olé".

Laformulationoriginale, fon tiondu tauxde déformation de l'é oulement moyen

η

,s'é rit :

R =

C

µ

η

3

_{(1 − η/η}

0

1 + βη

3

ε

2

k

ave

η = S

k

ε

et

S =

q

2Ω

ijΩ

ij

Ave

C

µ

= 0.085

,

β = 0.012

,

η

0

= 4.38

,

c

ε

2

= 1.68

,

c

ε

1

= 1.42

,

σ

k

= σ

ε

0.719

.

On onstatepour e modèle :

•

une dépendan ede lasolutionà lamodélisation duterme

R

.

•

une améliorationdesrésultatsauxeetsde déformationrapidede l'é oulement parrapportaumodèle

standard.Dansleszonesà fortedéformation(lorsque

η

estgrand), leterme

R

amèneune ontribution

négative auterme en

c

ε

2

e quientraîne une diminuation de ladestru tion de ladissipation

ε

et don

de

k

etéventuellement delavis osité turbulente

µ

t

.

3.4.4 Modèle

k

− ε

ompressible

Lemodèle

k −ε

ompressibledéveloppéparSarkartient omptedela ompressibilitédelaturbulen edansle

asoùlenombredeMa hestsupérieurà5.Enturbulen e ompressible,deuxnouveauxtermesinterviennent

dansl'équation de transport de l'énergie inétique turbulente : un terme de orrélation pression-dilatation

Π

et letermede dissipationdilatationnelle

ε

d

. L'équation de transport del'énergie inétiqueturbulenteen

ompressible s'é rit don :

∂ρk

∂t

+ div



ρk ~

_{V −}



µ +

µ

t

σ

k



~

grad k



= P

k

− ρε − D + Π

ave

Π = p

′

∂u

′′

∂x

i

= p

′

_d

′

et

ε = ε

s

+ ε

d

Sarkaraproposéunefermeturepour esdeuxnouveauxtermesensebasantsurlenombredeMa hturbulent

ommeindi ateur dela ompressibilité dela turbulen e. Lafermeture de Sarkar s'exprime :

ε

d

= α

1

M

t

2

ε

s

p

′

_d

′

_{= −α}

2

P M

t

+ α

3

ε

s

M

t

2

ou p

′

_d

′

_{= −α}

ave

M

t

=

√

2k

a

α

1

= 0.5

α

2

= 0.15

α

3

= 0.2

α

4

= 0.4

α

5

= 0.2

3.4.5 Le modèle

k

− ω

de Wil ox (1988)

Cemodèle[64 ℄présente legrandavantagedenepas omporterdefon tiond'amortissementdanslesse onds

membres des équations de transport ni dans l'expression de la vis osité turbulente. Par ontre, il est très

sensibleà la onditionlimite àimposersur

ω

auxfrontièresdes ou hes limiteset dessillages.

∂ρk

∂t

+

div

h

ρk ~

_{V − (µ + σ}

∗

µ

t

) ~

grad

k

i

=

P

k

− β

∗

ρkω

∂ρω

∂t

+

div

h

ρω ~

_{V − (µ + σµ}

t

) ~

grad

ω

i

=

α

ω

k

P

k

− βρω

2

avec

µ

t

=

ρk

ω

Les onstantes :

α =

5

9

;

β =

3

40

;

β

∗

_{= 0, 09}

_;

_{σ = σ}

∗

_{= 0, 5}

La ondition limiteàla paroipourladissipation spé iqueest :

lim

d→0

ω =

6ν

βd

2

3.4.6 Le modèle

k

− ω

ompressible

Le modèle

k − ω

ompressible de Wil oxs'inspire des orre tions de Sarkar pour le modèle

k − ε

. La

om-pressibilitéde laturbulen eest prise en ompte par lamodi ationdes oe ient

β

et

β

∗

.

β

_c

∗

= β

∗

(1 + ξ

∗

F [M

t

])

β

c

= β − β

∗

ξ

∗

F [M

t

]

Lafon tion

F

s'é rit :

F [M

t

] =



M

2

t

− M

t0

2

M

t

> M

t0

0

M

t

< M

t0

Les oe ents sont :

β

∗

= 0, 09

β =

3

40

ξ

∗

₌



2

1.5



M

t0

= 0.25

3.4.7 Le modèle

k

− ω

de Menter ave orre tion SST (1992)

Il s'agit d'un modèle bi ou he,

k − ω

de Wil ox et

k − ε

de Launder-Sharma, développé pour remédier au

problèmedesensibilitéàlavaleurde

ω

e

àl'extérieurdes ou heslimites.Menter[32 ℄espèreainsi onserverle

bon omportement du modèlede Wil oxdanslarégion interne des ou heslimiteset obtenir une ondition

limiteinsensibleau niveau de

ω

e

.Ce i onstitue lemodèleBSLde Menter:

∂ρk

∂t

+

div

h

ρk ~

_{V − (µ + σ}

∗

µ

t

) ~

grad

k

i

=

P

k

− β

∗

ρkω

∂ρω

∂t

+

div

h

ρω ~

_{V − (µ + σµ}

t

) ~

grad

ω

i

=

γ

ν

t

P

k

− βρω

2

+ 2

ρσ

ω

ω

grad

~

k. ~

grad

ω

Menterajouteenplusune orre tionditeSSTpour"ShearStressTransport".Ellereposesurla onstatation

quepourles modèlesde turbulen eàdeuxéquationsde transportutilisant lanotionde vis ositéturbulente,

lerapportde la ontrainte de isaillement

τ

à lavaleur de

ρk

estégale à:

τ

ρk

=

r

C

µ

P

k

ε

;

C

µ

= 0, 09

alors qu'expérimentalement e rapportest plutt

τ /ρk ≃

p

C

µ

= 0, 3

dans une grande partie de la ou he

limite. Dans le as d'é oulements en présen e de gradients de pression positifs, le rapport produ tion sur

dissipation peut être nettement supérieur à 1 e qui onduit à surestimer la ontrainte de isaillement et

don ,indire tement, à sous-estimerl'eet desgradientsde pressionpositifs.

Pour pallier ette in ohéren e, Menter [34 ℄ propose de limiter le oe ient de vis osité turbulente dans la

régionexterne des ou heslimites :

µ

t

=

ρk/ω

max



1,

ΩF

2

a

1

ω



Lafon tion

F

1

permetde passerdumodèle

k − ω

àlaparoi (

F

1

= 1

)au modèle

k − ε

àl'extérieur(

F

1

= 0

)

et lafon tion

F

2

limite lavaleurde lavis osité turbulente. Elles sontdonnées par :

F

1

=

tanh

(ζ

4

₎

_avec

_{ζ = min}

"

max

√

k

0, 09ωy

,

500ν

y

2

_ω

!

;

4ρσ

ω2

k

D

ω

y

2

#

et

D

ω

= max

ρσ

ω2

ω

grad

~

k. ~

grad

ω; 10

−20



F

2

=

tanh

(ι

2

₎

_avec

_{ι = max}

₂

√

k

0, 09ωy

;

500ν

y

2

_ω

!

Les onstantes, indi ées1 pour lemodèlede Wil oxet2 pour le modèlede LaunderSharma s'é rivent :

φ = F

1

φ

1

+ (1 − F

1

)φ

2

σ

∗

₁

= 0, 5

;

σ

1

= 0, 5

;

β

1

= 0, 075

;

σ

ω

1

= 0

σ

₂

∗

= 0, 85

;

σ

2

= 0, 856

;

β

2

= 0, 0828

;

σ

ω

2

= 0, 856

κ = 0, 41

;

a

1

=

p

β

∗

_{= 0, 3}

_;

_γ

i

=

β

i

β

∗

− σ

i

κ

2

√

β

∗

pour i=1,2

Remarque:la orre tion SST deMenter peutêtre appliquée àn'importe quel modèle deturbulen e à deux

équations

k − Ψ

.

3.4.8 Formules de onversion

Ellesreposentsurladénitiondelavis ositéturbulentepour ha undesmodèles,ennégligeantles orre tions

defaible nombrede Reynolds deturbulen e :

k − ε : µ

t

= ρC

µ

k

2

/ε

k − ω : µ

t

= ρk/ω

3.5 Modèles non-linéaires

Lesmodèles lassiquessourent souvent deslimitationsimposéespar l'hypothèsedeBoussinesq.Cetétatde

fait onduit naturellement às'intéresseràuneexpressionnon-linéaireplusgénéraledestensionsdeReynolds

etàlaformulationde nouvelleshypothèsespourlafermeturedusystèmeause ondordre.LesmodèlesRSM

R

ij

− ε

né essitent larésolution de 7 équations de transport e qui est en général lourd à mettreen oeuvre

etposedesproblèmes de onvergen e etrobustesse.

3.5.1 Modèles ARSM

LesmodèlesalbébriquesanisotropesARSMsontunesimpli ationdesmodèlesRSMobtenusaumoyend'un

hypothèse d'équilibre.Cettehypothèse onduità unsystèmede inqéquations indépendantes, impli itesen

R

ij

e quipermetde fermerlesystème.Le passageà uneforme expli iteEARSM(Expli it Algebrai RSM)

en supposant une linéarité entre le tenseur de pression/dilatation et letenseur d'anisotropie permeten ore

desimplier l'expression.

Onintroduitle tenseur d'anisotropie

a

ij

etle tenseur d'anisotropieadimensionné

b

ij

dénis par :

a

ij

= R

ij

−

2

3

kδ

ij

et

b

ij

=

a

ij

2k

Pour desuides homogènesturbulents en équilibre, ladérivée parti ulaire dutenseur d'anisotropie

adimen-sionnéestsupposénulle 'est-à-direlestermesdediusionpareetsdevis osité,depressionetdeturbulen e

sont négligés. Cette hypothèse peut s'appliquer aux é oulements à turbulen e quasi homogène. On obtient

alorsune formulationgénéralesuivante :

(P

k

− ε)b

ij

= −

2

3

kS

ij

− k(b

ij

S

ij

+ b

jk

S

ik

−

2

3

b

mn

S

mn

δ

ij

) − k(b

ik

Ω

ik

+ b

jk

Ω

ik

) +

1

2

Π

ij

Ave

Π

ij

= φ

ij

− ε

ij

le gradient de pression-vitesse. A e stade, la modèle est impli ite. La passage à une

formeexpli ite supposequeletenseur

Π

soit linéaire en

b

.

Laforme linéaire laplus générales'é rit :

Π

ij

= C

1

εb

ij

+ C

2

kS

ij

+ C

3

k(b

ij

S

ij

+ b

jk

S

ik

−

2

3

b

mn

S

mn

δ

ij

) + C

4

k(b

ik

Ω

ik

+ b

jk

Ω

ik

)

Ilexisteplusieursjeuxdevaleurspourles oe ients

C

1

, C

2

, C

3

et

C

4

quipeuventêtre onstantoùdépendre desinvariantsde

b

ij

etdu rapport

P

k

/ε

(voirpar exemple lemodèle de Speziale etGatski [57 ℄).

3.5.2 Modèles

k

− ε

non-linéaires

Ces modèles introduisent une relation non-linéaire pour le al ul du tenseur de Reynolds et permettent

ainsideprendre en ompte deseetsd'anisotropie( ourbure, swirl)ainsique de al uler latransition

lami-naire/turbulent.Une formulations'é rit :

−ρu

′

i

u

′

j

=

µ

t



∂U

i

∂x

j

+

∂U

j

∂x

i



−

2

3

ρkδ

ij

+A

3

ρk

3

2ǫ

2



∂U

k

∂x

i

∂U

k

∂x

j

+

∂U

i

∂x

k

∂U

j

∂x

k



+A

5

ρk

4

2ǫ

3



∂U

k

∂x

i

∂U

k

∂x

p

∂U

p

∂x

j

+

∂U

k

∂x

j

∂U

k

∂x

p

∂U

p

∂x

i

−

2

3

∂U

i

∂x

k

∂U

i

∂x

p

∂U

p

∂x

k

δ

ij

−0.5

∂U

_∂x

l

l



∂U

i

∂x

k

∂U

k

∂x

j

+

∂U

j

∂x

k

∂U

k

∂x

i

−

2

3

∂U

i

∂x

j

∂U

j

∂x

i

δ

ij



−0.5

∂U

_∂x

l

l



∂U

k

∂x

i

∂U

k

∂x

j

+

∂U

i

∂x

k

∂U

j

∂x

k

−

2

3

∂U

i

∂x

j

∂U

i

∂x

j

δ

ij



Les oe ientsdumodèlesontdéterminésparlathéoriedeladistorsionrapide,des ontraintesderéalisabilité

etdes donnéesexpérimentales. Etajout desfon tions d'amortissement de laturbulen e enpro he paroi.

3.6 Modèles au se ond ordre - RSM

LesmodèlesRSM(ReynoldsStressModel)reposentsurlarésolutiondeséquationsdetransportdestensions

de Reynolds. Ces équations de transport sont obtenues en soustrayant de l'équation de

u

′

i

u

′

j

l'équation de

U

i

U

j

et en prenant la moyenne de Reynolds (ou de Favre) du résultat. L'équation s'é rit alors sous forme

ompa te:

C

ij

= P

ij

+ φ

ij

− ε

ij

+ Dt

ij

+ Dp

ij

+ Dν

ij

Cetteéquation omprend deux typesde terme: eux exprimables sous forme de divergen e de tenseursqui

représententletransportd'unequantité(termes

Dt

ij

,

Dp

ij

et

Dν

ij

dontl'intégralerestenullesurl'ensemble de l'é oulement) et eux qui jouent le rle de sour es et de puits (termes

P

ij

,

φ

ij

et

ε

ij

dont l'intégrale est

nonnulle).

Lesdiérentstermes sont :

-

C

ij

:terme de onve tion.

-

P

ij

:produ tion résultant du travaildes tensionsde Reynolds.

-

φ

ij

:terme deredistribution parlapression.

-

ε

ij

:terme dedissipation dueà lavis osité duuide.

-

Dt

ij

:diusionturbulente qui estune onve tion au niveau desagitations turbulentes.

-

Dp

ij

:diusion turbulente due auxu tuationsdepression

-

Dν

ij

:diusion molé ulaire.

Apartlaprodu tion,tous estermesné essitentd'êtremodélisés.Ilestaussiné essairederésoudrel'équation

de transport exa te pour

ε

et d'introduire desmodèles à basnombre de Reynolds de turbulen e (fon tions

d'amortissement de laturbulen e).

Lesprin ipalesqualitésd'un modèleRSMsont ses apa itésàprédiredesé oulementsdiérents lesuns des

autres (plus grande universalité). Il permet une meilleure modélisation physique de l'é oulement puisqu'il

prenden ompte l'anisotropie auvoisinage de laparoi.

L'in onvénient majeurde esmodèlesestle oûtentemps de al uletenmémoire arils requièrent la

réso-lution de6 nouvelles équations.Un autredéfautest lemanque de robustessedanslarésolution numérique.

Une alternative peutêtre l'utilisation de modèles ARSM(Algebrai ReynoldsStress Model) où lestensions

deReynolds sontobtenuesàpartir d'expressionsalgébriques déduitesde leurs équationsde transport.

3.7 Aspe ts thermiques

Il existe diérentes modélisations du ux de haleur turbulent. Plusieurs démar hes sont prin ipalement

utilisées:

a) Modèle algébriquebasésurune loi deFourier turbulente.

b) Modèleà équation detransportbasésur uneloi de Fourier turbulente.