Modélisation mathématique des problèmes électro-élastique de contact avec frottement

(1)

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Frères Mentouri Constantine

Faculté des Sciences Exactes Département de Mathématiques UFMC-Const antine, Juin 2016 Numéro d’ordre:... Numéro de série:...

En vue de l’obtention du: Grade de Docteur en-Sciences Présenté et soutenue le 02/Juin/2016 par

Derbazi Ammar

MODÉLISATION MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ÉLECTRO-ÉLASTIQUE

DE CONTACT AVEC FROTTEMENT

Dirigée par

Dalah Mohamed

• Devant le Jury:

Salah Djezzar : Prof. Université Constantine ————————————— • Président M ohamed Dalah : Prof. Université Constantine ————————————— • Rapporteur Abdelhak Berkane : Dr. Université Constantine —————————————– • Examinateur Abdelhamid Ayadi : Prof. Université Oum-Bouaghi ———————————— • Examinateur Kamel Haouam : Dr. Université de Tébessa ——————————————- • Examinateur F ateh Ellagoune : Prof. Prof. Université de Guelma ——————————— • Examinateur

(2)

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Intitulé de la Thèse:

MODÉLISATION MATHÉMATIQUE DES

PROBLÈMES ÉLECTRO-ÉLASTIQUE DE CONTACT

AVEC FROTTEMENT

• Réalisé par Monsieur: Ammar Derbazi

• Année: Juin 2016 T hèse de Do ctorat en-Sciences

Thèse de Doctorat en-Sciences UMC-Constantine, Juin 2016

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(5)

Liste des Figures

L

iste

des

figures

Liste des figures:

• Figure 1 , Section 2.2: Cadre physique et modèle mathématique, Chapitre 2: ”Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement”. • Figure 2 et 3, Sections 3.1 et 3.2: Modèle mathématique, Chapitre 3:

”Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement”.i

Liste des figures UMC-Constantine, Juin 2016

i_{M. Sofonea and A. Matei, Variational inequalities with applications. A study of antiplane}

frictional contact problems, Advances in machanics and mathematics, Springer, 2009 (230 pages), 2009

(6)

(7)

I

Lois de comportement et de frottement

1

1 Préliminaires: Rappels Mathématiques et Lois de comportement et

de frottement 3

1.1 Introduction. . . 4

1.2 Rappels de quelques espaces . . . 4

1.2.1 Espaces vectoriels normés . . . 4

1.2.2 Espaces de Hilbert . . . 6

1.2.3 Espaces de Sobolev. . . 7

1.3 Rappels sur les opérateurs linéaires . . . 9

1.4 Formes bilinéaires et Opérateurs linéaires . . . 9

1.5 Lois de comportement . . . 12

1.5.1 Lois de comportement des matériaux élastiques . . . 12

1.5.2 Lois de comportement des matériaux électro-élastiques . . 13

1.5.3 Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques 13 1.6 Lois de frottement . . . 13

1.6.1 Loi frottement pour des matériaux élastiques . . . 14

1.6.2 Lois de frottement pour des matériaux électro-élastiques . 14 1.6.3 Lois de frottement pour des matériaux électro-viscoélastiques 14

II

Problème électro-viscoélastique

17

2 Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement 19 2.1 Introduction . . . 20

2.2 Cadre physique et modèle mathématique . . . 20

(8)

vi Contents

2.4 Quelques hypothèses . . . 25

2.5 Formulation variationnelle. . . 27

2.6 Un Résultat d’existence et d’unicité . . . 29

2.7 Conclusion. . . 32

3 Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frotte-ment 35 3.1 Introduction . . . 36

3.2 Modèle mathématique . . . 36

3.3 Formulation variationnelle. . . 40

3.4 Un résultat d’existence et d’unicité . . . 45

3.5 Conclusion. . . 48

4 Conclusion générale et perspectives 49 4.1 Conclusion générale . . . 49

4.2 Perspectives. . . 50

5 Annexe A: Quelques inégalités 51 5.1 Annexe A: Quelques Types des Inégalités. . . 51

III

Bibliographies

53

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Résumé

Thèse de Doctora t en-Sciences, Juin 2016

Résumé:

L

’objet de cette thèse est d’étudier deux types des problèmes aux limites de contact avec frottement entre un corps déformable et une fondation. Nous supposons le long de cette thèse que le processus est statique pour des matériaux électro-élastiques et électro-viscoélastiques. Dans un premier temps, nous con-struisons une formulation variationnelle de chaque problème et nous décrivons les hypothèses et les équations qui modélisent les problèmes antiplans ainsi que les conditions aux limites avec frottement. Finalement, les résultats que nous obtenons concernant l’existence et l’unicité des solutions faibles de ces problèmes seront prouvés et justifiés en se basant sur des arguments standards des inéquations variationnelles. La dernière partie de cette thèse comporte une annexe contenant des rappels sur quelques outils d’analyse fonctionnelle.

Mots-Clefs:

Antiplan; Matériau électro-élastique; Matériau électro-viscoélastique; Loi de Con-tact; Loi de Frottement; Formulation Variationnelle; Inéquation Variationnelle; Solution Faible.

Résumé UMC-Constantine, Juin 2016

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Abstract

Thèse de Doctora t en-Sciences, Juin 2016

Abstract:

T

he purpose of this disertation is to study two types of antiplan contact problems with friction between a deformable body and a foundation. We assume along this disertation that the process is static for electroelastic materials and electro-viscoelastic materials. In first time, we try to construct a variational formulation of each problem and, we describe all the assumptions and equations for the each model of antiplan contact problem. In the second time, we give the boundary conditions with friction. Finally, the results we get on the existence and uniqueness of weak solutions of these problems will be confirmed and based by using the standard arguments of variational inequalities. The last part of this disertation contained an annex about some tools of functional analysis.

Key-Words:

Antiplan; Electro-elastic Material; Electro-viscoelastic Material; Contact Law; Friction Law; Variational Formulation; Variational Inequality; Weak Solution.

Abstract UMC-Constantine, Juin 2016

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Dédicace

Dédica ce, Juin 2016 UMC-Constantine, Juin 2016

J

e dédie ce travail :

À très chère mère: Pour moi, tu es la source de tendresse. Tu es toujours été là pour moi. Je suis redevable d’une éducation dont je suis fier.

Je dédie ce travail à mon père et je ne peux exprimer mes sentiments d’amour et de respect à votre égard. Puisse le tout puissant, vous procurer une longue et heureuse vie.

À tous ce qui me sont chers et proches, à tous ceux et celles qui ont semé à tout point de vue, et à tous mes enseignants tout au longue de mes études.

À toute ma famille.

À mes chers amis et collègues de l’université Bachir El-Ibrahimi, BBA. A. Derbazi: Université Bachir El-Ibrahimi, BBA.

Dédicace UMC-Constantine, Juin 2016

(14)

(15)

Remerciements

Remerciements:

U

n immense merci à Monsieur le Professeur M. Dalah pour avoir accepté d’encadrer ce travail et ce, en dépit de ses multiples occupations. Ses critiques constructives et sa rigueur scientifique ont prévalu dans l’élaboration de ce travail. Je le remercie de m’avoir encadré, orienté, aidé et conseillé, leur paroles, leur écrits, leur critiques durant toutes mes années de recherches.

Un remerciement particulier au président du jury le Professeur S. Djezzar pour ses encouragements et ses conseils et qui a bien accepté de présider cette soutenance. Aussi pour leur critiques, commentaires et remarques et ce, pour rendre ce travail magnifique et acceptable en forme et en contenu. Je remercie aussi le Docteur A. Berkane, le Professeur A. Ayadi, le Docteur K. Haouam et, le Professeur F. Ellaggoune pour avoir accepté d’examiner ce travail. Je tiens à exprimer ma gratitude au Professeur M. Sofonea de l’Université de Perpignan, France, pour sa gentillesse, sa modestie, sa riche expérience, son soutien, sa clairvoyance, ses compétences et, sa rigueur scientifique. Nous tenons à remercier très sincèrement tous ceux qui ont bien voulu lire notre manuscrit et qui nous ont fait part de leurs remarques et suggestions.

Enfin, je remercie Monsieur le Professeur N. Kechkar pour leur soutien incondi-tionnel, leur confiance et leur encouragements. Un grand merci à tous et à toute l’équipe administative de notre département de mathématiques de l’université Fre`res Mentouri Constantine.

À tous ceux intervenants, je présente mes propres salutations et remerciements, mon profond respect et ma gratitude.

Ammar Derbazi Constantine, Algérie, Juin 2016

(16)

(17)

Notations

Not a tions, Juin 2016

Notations:

θ : Viscosité. g(.) : Seuil de frottement. f0 : Forces volumiques. f2 : Forces surfaciques. e : Coefficient piézoélectrique.

Ω : _{Un domaine de l’espace R}d_{, avec d = 2, 3.} Γ : La frontière de l’espace Ω.

Γi : i = 1, 2, 3 : Les trois subdivisions de la frontière Γ. u : Champ des déplacements.

ν : La normale unitaire.

C(0, T ; X) : Espace des fonctions bien-définies et continues sur l’intervalle [0,T]. Wk,p_{(0, T ; X) :} _{Espace de Sobolev de deux paramètres k et p.}

Sd _:

Espace des tenseurs symétriques du second ordre sur l’espace Rd_. k.kH1 : Norme sur l’espace H1(Ω).

(., .)H1 : Produit scalaire sur l’espace H1(Ω).

L2_{(Ω) :} _{Espace des fonctions de carrées intégrables sur Ω.} σ : La contrainte. ε : Les déformations. E : Module de Young. k: Module d’élasticité. g0 : Charges volumiques. g2 : Charges surfaciques. Notations Thèse de Doctorat en-Sciences, Juin 2016

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Listes des communications et publications:

• Communication Internationale N1: A. Derbazi et al., Proceed-ings of the 2015 International Conference on Pure Mathematics, Applied Mathematics and Computational Methods: (PMAMCM 2015), Zakynthos Island, Greece, July 16-20, Year: (2015). http://www.inase.org/library/2015/zakynthos/MATH.pdf

• Communication Nationale N2: A. Derbazi et al.,La première Confer-ence Nationale sur les Systèmes Dynamiques, Equations Différentielles et Applications : PCNSDED, 10-11 Mars 2015, Université Larbi Ben M’hidi, Oum el-Bouaghi, Year: (2015).

• Communication Nationale N3: A. Derbazi et al.,La Journée Nationale sur Les Mathématiques Appliquées: JNMA, 29 Novembre 2015, Université Bachir el-Ibrahimi, Bordj-Bou Arréridj, Year: (2015).

• Publication N 1: A. Derbazi et al., A bilateral contact problem with adhesion and damage between two viscoelastic bodies, Journal of Nonlinear Science and Applications (JNSA), Volume 9, Issue:3, Pages:1216-1229, Year: 2016).

• Publication N 2: A. Derbazi et al., Existence and uniqueness of the weak solution of electro-viscoelastic contact problem, Journal: Bulletin of the Transilvania University of Brasov, Series III: Mathematics, Informatics, Physics, 51-64, Vol 8(57), No. 2, Year: (2015).

Listes des communications et publications UMC-Constantine, Juin 2016

(19)

Juin

2016

Q

ui joue perd. C’est mathématique. Les statistiques ne trompent pas.

Et pourtant, il faut jouer pour gagner, même si les chances sont minces.

De Normand Reid

L

es mathématiques peuvent être définies

comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu’on dit est vrai.

De Bertrand Russell

Proverbes UMC-Constantine, Juin 2016

(20)

(21)

Introduction Générale

Thèse de Do ctorat en-Sciences, Juin 2016

Introduction Générale:

L

a mécanique des contacts,4_,8_,17_,20_,22_,22_,34 _{est l’un des fondements de}

l’ingénierie mécanique et est indispensable pour la conception de projets sûrs et énergiquement efficaces. La mécanique des contacts traite des calculs impliquant des corps élastiques, électro-élastiques,6_,14_,16_,18_,24_,29_,31

viscoélas-tiques ou électro-viscoélasviscoélas-tiques,14,15,16,16,18,28,32 lors des processus statiques ou quasistatiques,16,18,19,23,27 pour des matériaux élastiques et électro-viscoélastiques.

Cet processus statique ou quasistatique pour ces matériaux peut-être trouvé dans différents domaines tel que :

• Les moteurs à combustion et Les freins et bien d’autres, • Les paliers et les pneumatiques,

• Le soudage par ultrasons, les contacts électriques, • Les embrayages,

• Les machines de production et les liaisons mécaniques.

La modélisation mathématique33 _{en mécanique de quelques phynomènes}ii_réelles nécessite des Ingénieurs capables d’utiliser les grands outils de simulation numérique,7,11,25,26,30 et informatique. Dans les applications industrielles, très nombreuses sont les situations à modéliser dans lesquelles on sait, à l’aide des équations aux dérivées partielles EDPs,3_,5_,9_{et de quelques systèmes d’EDPs,}

qui nous permet de décrire des phénomènes se développant dans des milieux élastiques ou viscoélastiques. Différents modèles permettent de décrire l’élasticité et la viscoélasticité linéaire. Par exemple, le modèle de Kelvin-Voigt quant à lui est un modèle de viscoélastique.

La thèse est divisée en Trois Chapitres que nous verrons successivement plus une conclusion générale, une annexe et une bibliographie.

Le premier chapitre contient deux parties :

ii_{P. Germain, P. Muller, Introduction à la mécanique des milieux continus, Masson, Paris,}

(22)

xx 0. Introduction Générale

• Partie A: Préliminaires: Rappels Mathématiques, • Partie B: Lois de comportement et de frottement.

Le premier chapitre intitulé ”Préliminaires: Rappels Mathématiques & Lois de comportement et de frottement” comporte deux sous-parties : Une première partie traite un bref rappel mathématiques,1,2,3,5,912et13sur les espaces vec-toriels normés et les espaces de Sobolev et une deuxième partie compotre une présentation de lois de frottement et de contact.

Le deuxième chapitre intitulé ”Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement” traite un problème électro-élastique de contact avec frotte-ment,31_,6_.33 _{Dans cette partie de la thèse, nous rajoutons le champ électrique}

ϕ(.). Nous procédons de la même façons que celle utilisée dans le chapitre2, c’est-à-dire, on fait appel aux hypothèses concernant les forces surfaciques, les forces volumiques, le seuil de frottement, les charges électriques et les propriétés des formes bilinéaires. Par la suite, nous construisons une formulation vari-ationnelle du problème continu , puis, nous citons un résultat d’existence et d’unicité de la solution faible. Finalement, nous clôturons cette étude par une conclusion.

Le troisième chapitre intitulé ”Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement” traite une étude détaillée d’un problème aux limites qui décrivent l’évolution statique d’un corps électro-viscoélastique soumis à des forces surfacique, des forces volumiques et, des charges électriques. Dans la premie`re section, nous présentons une formulation variationnelle du problème P en se basant sur les hypothèses citées dans le troisième chapitre. Dans la deuxième section, nous démontrons l’existence et l’unicité de la solution de ce modèle. La rédaction de cette section s’inspire de deux publications35_et.36

Nous clôturons cette thèse par une conclusion générale, une annexe et une bibliographie détaillée.

Introduction Générale Thèse de Doctorat en Sciences, Juin 2016

(23)

Part

I

Lois de comportement

(24)

(25)

1 Préliminaires: Rappels

Mathématiques et Lois de

comportement et de

frottement

_Thèse de Do ctorat en-Sciences

Le chapitre intitulé ”Préliminaires mathématiques et Lois de com-portement et de frottement” comporte deux sous-parties : Une première partie traite un bref rappel mathématiques sur les espaces vectoriels normés et les espaces de Sobolev5 et une deuxième partie compotre une présentation des lois comportement et de frotte-ment.

1.1 Introduction

C

ette section du chapitre intitulé ” Préliminaires: Rappels Mathématiques” comporte essentiellement un bref rappel de notions et de définitions concernant les espaces normés, les espaces de Hilbert, les espaces de Sobolev et, quelques propriétés et définitions des opérateurs linéaires. Cet bagage de l’analyse fonc-tionel fournit alors des outils qui peuvent êtres nécessaires et utiles pour l’étude de problèmes issus de la mécanique de contact entre les corps. À la fin de ce chapitre, nous présentons quelques lois de comportement ainsi quelques lois de frottement qui pourraient êtres utilisées dans les chapitres 2 et 3.

1.2 Rappels de quelques espaces

Nous présentons dans cette section un rappel sur les espaces vectoriels normés, les espaces de Hilbert et les espaces de Sobolev.

1.2.1 Espaces vectoriels normés

N_{ous considérons dans la suite et tout au long de cette thèse que E est un espace}

vectoriel sur le corps K avec K = R ou K = C. À cet effet, nous commençons cette partie par rappeler quelques résultats concernant les espaces vectoriels normés. Ces derniers espaces intervenant dans la plupart du temps comme ”espaces des fonctions”.

Définition 1 Soit E un espace vectoriel sur le corps K avec K = R ou K = C.

L’application k.k_E_{: E −→ R}+ est dite une norme sur E si et seulement si : 1. kvk_E= 0 si et seulement si v = 0,

2. kλvk_E= |λ|.kvk_{E, ∀v ∈ E, ∀λ ∈ K,} 3. kv + wk_E≤ kvk_E+ kwk_{E, ∀v, w ∈ E.}

(27)

1.2. Rappels de quelques espaces 5

Remarque 1

Un tel espace vectoriel E muni d’une norme k.kE s’appelle un espace vectoriel normé.

Exemple 1

L’espace vectoriel E = R sur le corps K avec K = R est un espace vectoriel normé muni de la valeur absolue.

Exemple 2

L’espace vectoriel E = Kn

sur le corps K avec K = R est un espace vectoriel normé muni de la norme:

k(x1, x2, ..., xn)kKn= k(x1, x2, ..., xn)k1= |x1| + |x2| + .... + |xn|. (1.1)

Exemple 3

Dans l’espace des fonctions continues sur l’intervalle [0, 1] dans R, noté C([0, 1], R), on définit la norme de la manière suivante :

kf k1= Z 1 0 |f (t)|dt, (1.2) ou aussi par : kf kp= ( Z 1 0 |f (t)|p_dt)_p1_. _(1.3) ou encore par : kf k∞= sup|f (t)|. (1.4)

Définition 2 Soit E est un espace vectoriel sur le corps K avec K = R ou

K = C. On dit que l’application p(.) : E −→ R+ est une semi-norme sur l’espace E si et seulement si elle vérifie les propriétés suivantes:

1. p(λv) = |λ|.p(v), ∀v ∈ E, ∀λ ∈ K, 2. p(v + w) ≤ p(v) + p(w), ∀v, w ∈ E.

(28)

6

Remarque 2

La semi-norme dispose presque les mêmes propriétés qu’ayant la norme k.k_E. La seule différence c’est que la semi-norme d’un vecteur non nul n’est pas nécessairement non-nul.

Remarques 3

On a les deux remarques suivantes:

1. L’élément 0_E _{désigne l’élément zéro de l’espace E.}

2. L’espace E muni de la norme k.kE est appelé "espace normé" et sera noté (E, k.kE).

1.2.2 Espaces de Hilbert

Soit H un espace vectoriel complexe et (u, v) une fonction des variables u, v à valeurs complexes. Alors, on a les définitions suivantes concernant l’espace de Hilbert.i

Définition 3 Un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel ou complexe

muni d’un produit scalaire et qui est complet pour la norme associée.

Remarques 4

On les remarques suivantes :

1. (u, u)_H≥ 0, ∀u ∈ H et (u, u)H= 0_H si et seulement si u = 0_H. 2. (u, v)_H= (v, u)H, ∀u, v ∈ H.

3. (αu + βv, w)_H= α(u, w)_H+ β(v, w)_{H, ∀u, v, w ∈ H, ∀α, β ∈ R.}

Théorème 1 Considérons H un espace de Hilbert et, soit l ∈ H0 avec H0 est le dual de l’espace H. Alors, il existe un unique élément u ∈ H tel que

l(v) = (u, v)_{H, ∀v ∈ H}1. (1.5)

i_{V. Barbu, T. Precupanu., Convexity and optimisation in Banach spaces, D. Reidel Publishing}

(29)

1.2. Rappels de quelques espaces 7 Définition 4 Soient (H1, (., .)_H1_{) et (H}2, (., .)_H2) deux espaces de Hilbert. Le produit de deux espaces H1 par H2 noté H1× H2 sera défini par:

H1× H2= {(a, b) tel que a ∈ H1, b ∈ H2}. (1.6)

Définition 5 _{La norme sur l’espace produit H}1× H2 notée par kak_H1×H2 sera définie par:

kak2

H1×H2 = kxk2H1+ kyk 2

H2, ∀a = (x, y) ∈ H1× H2. (1.7)

Définition 6 _{La fonctionnelle ϕ : H}1−→ (−∞, +∞) est dite semi-continue inférieurement (en abréviation s.c.i) au point x ∈ H1 si elle vérifie la propriété suivante:

lim inf

n→+∞ϕ(un) ≥ ϕ(u).

Proposition 1 Soit (H1, (., .)_H1) un espace de Hilbert muni du produit scalaire (., .)_H1et, soit a(., .)_H1 _{: H}1×H1−→ R une forme bilinéaire, continue, symétrique et H1–elliptique. Alors, la fonction a : v 7−→ a(v, v) est convexe, et, semi-continue inférieurement. Thèse de Do ctorat en-Sciences, Juin 2016

Proposition 2 Soit la fonction ϕ : H1−→ R et, soit un élément x ∈ H1. Alors ϕ est une fonction convexe si et seulement si on aura :

ϕ(v) − ϕ(u) ≥ (∇ϕ(u), v − u)_H1_{, ∀u, v ∈ H}1. (1.9)

Voici donc un premier résultat.

Corollaire 1 Soit ϕ : H1−→ R une fonction Gâteaux différentiable. Alors, la fonction ϕ est une semi-continue inférieurement.

1.2.3 Espaces de Sobolev

Dans cette partie, nous signalons que toutes les fonctions utilisées seront considérées à valeurs réellesii_.

(30)

8

Notation 1

Pour un entier naturel k ∈ N et pour tout p ∈ [1, +∞], nous allons introduire dans cette section l’espace C∞,k,p(Ω) défini par :

C∞,k,p_{(Ω) = {f ∈ C}∞_{(Ω) tel que ∂}β_{f ∈ L}p_{(Ω), pour tout |β| ≤ k}.} _(1.10)

Cet espace sera muni de la norme : kf kk,p= ( X k,p kf kp_Lp_(Ω)) 1 p_. _(1.11) Remarque 5

Si p = 2 alors cette norme provient d’un PS (produit scalaire).

Définition 7 Pour tout nombre p ∈ [1, ∞) et pour tout entier k ∈ N. Le

complété de l’espace C∞,k,p_{(Ω) est l’espace de Sobolev H}k,p(Ω) muni de la norme k.kk,p.

Remarque 6

Pour tout nombre p ∈ [1, ∞) et pour tout entier k ∈ N, alors il est facile maintenant de définir l’espace de Sobolev qui sera noté tout au long de cette thèse par Wk,p(Ω) d’une manière explicite comme suit :

Wk,p(Ω) = {f ∈ Lp(Ω)| ∀|α| ≤ k, il exsite vα∈ Lp_{(Ω), | vα}_{= ∂}α_{u au sens faible}.}

Théorème 2 Soit Ω un ensemble ouvert et borné de l’espace Rd _{et soit p ∈} [1, ∞]. Alors, on les résultats suivants :

1. Lp(Ω) est un espace de Banach.

2. Toute suite de Cauchy de l’espace Lp_{(Ω) admet une sous-suite qui converge} presque partout dans Ω.

(31)

1.3. Rappels sur les opérateurs linéaires 9 Corollaire 2 L’espace L2(Ω) est un espace de Hilbert et séparable muni du produit scalaire

(u, v)L2_(Ω)= Z

Ω

u(x)v(x)dx, ∀u, v ∈ L2(Ω). (1.13)

De plus, l’espace L2_{(Ω) vérifie l”inégalité de Cauchy-Schwarz :} |

Z Ω

u(x)v(x)dx| ≤ kukL2_(Ω)kvk_L2_(Ω), ∀u, v ∈ L2(Ω). (1.14)

1.3 Rappels sur les opérateurs linéaires

Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert. On note L(H1, H2) l’espace d’opérateurs linéaires continus de H1 dans H2.

Remarque 7

Dans le cas où H1=H2, on peut donc écrire l’espace L(H1, H2) sous la forme L(H1).

1.4 Formes bilinéaires et Opérateurs linéaires

Nous commençons cette section par une présentation détaillée concernant les formes bilinéaires et leurs propriétés.

Formes bilinéaires:

Définition 8 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces vectoriels normés. L’application notée a(., .) : E × F −→ R est dite une fome bilinéaire si pour tout u1, u2_{, u ∈ E, v}1, v2_{, v ∈ F, et pour tout α}1, α2 ∈ R elle vérifiée les deux propriétés suivantes :

(32)

10

et

a(u, α1v1+ α2v2) = α1a(u, v1) + α2a(u, v2). (1.16)

Remarque 8

Dans le cas spécial ou E = F, on peut dire que la forme bilinéaire a(., .) est une forme bilinéaire symétrique, et on a:

a(u, v) = a(v, u), ∀u, v ∈ E. (1.17)

Définition 9 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces vectoriels normés. L’application notée a(., .) : E × F −→ R est dite continue s’il existe une constante M > 0 tel que

|a(u, v)| ≤ M kuk_E.kvk_{F, ∀u ∈ E, ∀v ∈ F.} (1.18)

Remarque 9

Dans le cas spécial ou E = F, on peut dire que la forme bilinéaire a(., .) est une forme E-elliptique s’il existe une constante m > 0 tel que

|a(u, u)| ≥ mkuk2

E, ∀u ∈ E. (1.19)

Définition 10 _{Soit (E, k.kE}) un espace normé et, soit K un sous-ensemble de l’ensemble E. K est dite convexe s’il vérifie la propriété suivante :

Si pour tout u, v ∈ K alors (1 − t)u + tv ∈ K, ∀t ∈ [0, 1]. (1.20)

Nous définissons dans cette section les opérateurs linéaires et nous décrivons leurs propriétés.

Opérateurs linéaires:

Théorème 3 Soit (E, k.kE) un espace de Banach et, soit le sous-espace fermé F. Alors on a les propriétés suivantes:

1. Le sous-espace fermé F est un espace de Banach muni de la norme k.kF. 2. Si l’espace E est séparable (respectivement E est réflexif), alors le

sous-espace fermé F l’est aussi (respectivement F est réflexif).

Définition 11 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces vectoriels normés. Alors, l’application f : E −→ F est continue si elle vérifie l’une des propriétés suivantes :

(33)

1.4. Formes bilinéaires et Opérateurs linéaires 11

1. Pour tout v ∈ E, l’image inverse d’un point f (v) est un voisinage de v, 2. L’image réciproque de tout fermé (resp. tout ouvert ) de l’ensemble d’arrivé

F est un fermé (resp. tout ouvert ) de l’ensemble de départ E,

Remarque 10

L’application f : E −→ F est dite continue si elle vérifie la propriété suivante : ∀v ∈ E, ∀ε > 0, ρ > 0, tel que kv − wkE≤ ρ alors kf (v) − f (w)k_F≤ ε. (1.21)

Définition 12 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces normés. L’opérateur T : E −→ F est dite linéaire si

T (αu + λv) = αT (u) + λT (v), ∀u, v ∈ E, ∀α, λ ∈ R. (1.22)

Notation 2

On note par Lu au lieu L(u) pour tout u ∈ E.

Théorème 4 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces normés et, soit l’opérateur linéaire L : E −→ F. Alors, l’opérateur L est continu sur l’espace E s’il existe une constante M > 0 tel que

kLuk_F ≤ M kuk_{E, ∀u ∈ E.} (1.23)

Notation 3

kLk_L(E,F)= supkLukF

kuk_E , u 6= 0. (1.24)

Préliminaires: Rappels Mathématiques UMC-Constantine, Juin 2016

(34)

12

Lois de comportement et lois de frottement:

1.4 Introduction

La section intitulée ” Lois de comportement et lois de frottement” comporte une présentation détaillée concernant les :

• Lois de Comportement, • Lois de Frottement. Mo é lisation des problèmes de con tact a v e c frottemen t

1.5 Lois de comportement

Dans cette section, nous présentons quelques lois de comportement concernant : 1. Les matériaux élastiques,

2. Les matériaux électro-élastiques, 3. Les matériaux électro-viscoélastiques.

À cet effet, nous allons considérer trois lois de comportement ainsi trois lois de frottement concernant des matériaux ”élastiques, élastiques et électro-viscoélastiques” dans le processus statique. Divers lois de contact sont envisagées, elles sont définies par des versions directes.

1.5.1 Lois de comportement des matériaux élastiques

Dans cette sous section, nous donnons la loi de comportement d’un matériau pure-ment élastique et en contact avec une fondation régide est décrit par l’équation suivante :

σ = F ε(u). (1.25)

(35)

1.6. Lois de frottement 13

1.5.2 Lois de comportement des matériaux électro-élastiques

Cette deuxième partie comporte la loi de comportement d’un matériau purement électro-élastique et en contact avec une fondation régide et électrifiéeiii qui est décrit par les équations suivantes :

σ = F ε(u) − E E(ϕ), (1.26) et

D = E ε(u) + βE(ϕ). (1.27) Ici F = (fijkh) est le tenseur des coefficients élastiques, E est le tenseur pié-zoélectrique et β = βij est le tenseur de permitivité électrique.

1.5.3 Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques

La dernière partie de la section intitulée ”Lois de comportement” comporte une définition de la loi de comportement d’un matériau purement électro-viscoélastique et en contact avec une fondation régide et électrifiée qui est définie par les équations suivantes :

σ = 2θε( ˙u) + 2µε(u) + λ tr ε(u) I − E∗E(ϕ), (1.28)

D = E ε (u) + αE (ϕ) , (1.29) où σ est le tenseur des contraintes, θ est le coefficient de viscosité, ε(u) = (εij(u)) est le tenseur des déformations, λ > 0 et µ > 0 les constantes de Lamé et Id le tenseur unité de R3_.

1.6 Lois de frottement

La dernière partie de la section intitulée ”Lois de frottement”, nous listons trois lois concernant trois matériaux différents en matière de comportement et de

iii_{M. Dalah, Thèse de Doctorat, P.P. 1-133, Sous la direction de : Pr. M. Sofonea et A. Ayadi,}

(36)

14

caractéristiques. Les lois sont les suivantes :

1.6.1 Loi frottement pour des matériaux élastiques

La loi de frottement concernant la version statique pour les matériaux élastiqueiv sera définie par :

  

|µ∂νu| ≤ g,

µ∂νu = −g_|u|u si u 6= 0 sur Γ3. (1.30)

1.6.2 Lois de frottement pour des matériaux électro-élastiques

Une deuxième loi de frottement concernant la version statique pour les matériaux électro-élastique sera définie par :

  

|µ∂νu + e∂νϕ| ≤ g,

µ∂νu + e∂νϕ = −g_|u|u si u 6= 0 sur Γ3. (1.31)

1.6.3 Lois de frottement pour des matériaux électro-viscoélastiques

Une troisième et dernière loi de frottement concernant la version statique pour les matériaux électro-viscoélastique sera définie par :

   |θ ˙u + µ∂νu + e∂νϕ| ≤ g, θ ˙u + µ∂νu + e∂νϕ = −g_{| ˙}u_u|˙ si ˙u 6= 0 sur Γ3. (1.32)

(37)

1.6. Lois de frottement 15

Lois de frottement UMC-Constantine, Juin 2016

(38)

(39)

Part

II

Problème

(40)

(41)

2 Analyse d’un problème

électro-élastique de

contact avec frottement

_Thèse

de

Do

ctorat

en-Sciences

Le chapitre intitulé ”Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement” traite un problème antiplan dont le matériau est considéré électro-élastique. Nous essayerons de dériver une formulation variationnelle du problème que l’on notera par la suite Pélectro−élastique. Ensuite, nous présentons quelques résultats d’existence et d’unicité de la solution faible.

2.1 Introduction

L

e chapitre2 comporte essentiellement une étude détaillée d’un problème purement mécanique. Le matériau ici est considéré parfaitement électro-élastique. Après position du cadre physique et le modèle mathématique associé au problème antiplan électro-élastique, nous essayerons de dériver une formulation variationnelle du problème que l’on notera par la suite Pélectro−élastique_{. Ensuite,} nous présentons quelques résultats d’existence et d’unicité de la solution faible. Cette étude pourrait être utile et nécessaire pour la réalisation de cette partie de la thèse.

La structure de ce chapitre est la suivante. Dans la première section 2.2 nous présentons le cadre physique et modèle mathématique. La section 2.3 comporte une construction du problème continu que l’on notera par la suite

Pélectro−élastique_{. La section}_2.4_{traite une liste des hypothèses concernant les} charges et les forces surfaciques et volumiques, le seuil de frottement, les formes bilinéaires obtenues et la fonctionelle j(.). Ensuite, nous écrivons la formulation variationnelle de ce modèle. À la fin de ce chapitre, nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution faible.

2.2 Cadre physique et modèle mathématique

Dans le deuxième chapitre2intitulé ”Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement”, nous insistons sur cette partie qui sera utilisée dans le chapitre qui suit en nous le mettons en relation dans l’étude des problèmes qui sont purement électro-viscoélastique. Une fois ce constat établi, nous rajoutons seulement dans le chapitres3le coefficient de viscosité θ. Néamoins, pour pouvoir appliquer ces forces et ces chages, il a fallu considérer de façon plus approfondie que le matériau est un corps cylindrique noté B de R3.

Ensuite, nous supposons ce qui suit :

• Le corps B est cylindrique avec B = Ω × (−∞, +∞), • Le domaine borné Ω ⊂ R2_{; repéré dans le plan (Ox1x2),}

• La frontière ∂Ω = Γ du domaine Ω qui est divisée en trois parties disjointes et mesurables Γ1, Γ2and Γ3avec mes Γ1 > 0,

(43)

2.2. Cadre physique et modèle mathématique 21

• Le cylindre est bloqué sur Γ1 × (−∞, +∞), subit à la fois des forces volumiques f0 dans B et des forces surfaciques f2 sur Γ2× (−∞, +∞), • Le cylindre est en contact avec une fondation tout au long de la partie

Γ3× (−∞, +∞). Nous supposons aussi que :

• Les forces volumiques f0 dans B et les forces surfaciques f2 sur Γ2× (−∞, +∞) sont de la forme suivante :

f0 |{z}

Les F orces V olumiques

= (0, 0, f0) avec f0= f0(x1, x2) : Ω → R, (2.1)

f2 |{z}

Les F orces Surf aciques

= (0, 0, f2) avec f2= f2(x1, x2) : Γ2→ R. (2.2)

• La charge volumique q0et la charge surfacique q2appliquée sur la frontière Γb sont de la forme suivante :

q0 |{z} La Charge V olumique = q0(x1, x2_{) : Ω → R,} (2.3) q2 |{z}

La Charge Suf acique

= q2(x1, x2) : Γb→ R. (2.4)

• Par la suite, nous supposons que f0et f2et les charges q0et q2 engendrent une déformation sur le cylindre avec un déplacement u tel que

u |{z} Le Champ de Déplacements = (0, 0, u) avec u = (0, 0, u) (2.5) avec u = u (x1, x2) : Ω → R, ϕ = ϕ (x1, x2_{) : Ω → R.} (2.6)

(44)

22

2. Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement Remarques 1

1. La notation “ · ” représente le produit scalaire dans l’espace R3_{; ce qui nous} permet d’écrire :

u · v = uivi, kvk = (v · v)1/2 pour tout u = (ui) , v = (vi_{) ∈ R}3. 2. La notation k · k représente la norme Euclidiènne dans l’ espace S3_{; on a}

alors

σ · τ = σijτij, kτ k = (τ · τ )1/2 pour tout σ = (σij) , τ = (τij) ∈ S3. 3. On note souvent par E (ϕ) = (Ei(ϕ)) le champ électrique.

4. Le champ électrique de déplacements sera noté D = (Di). 5. On note par le champ électrique :

E(ϕ) = −∇(ϕ).

Comme le matériau dans cette partie est supposé électro-élastique, on peut écrire son loi de comportement de la manière suivante :

σ = λ ( tr ε (u)) I + 2µε (u) − E∗E (ϕ) , (2.7)

D = E ε (u) + αE (ϕ) . (2.8)

Notations 1

• σ est le tenseur des contraintes,

• ε(u) = (εij(u)) est le tenseur des déformations, • λ > 0 et µ > 0 les constantes de Lamé,

• Id le tenseur unité de R3_.

Nous basons notre étude sur les relations (2.1),(2.3), et (2.4), alors, il est aisé de voir que la matrice concernant le champ des contraintes et le champ électrique seront écrites sous la forme suivante :

σ =   0 0 σ13 0 0 σ23 σ31 σ32 0  , (2.9)

(45)

2.2. Cadre physique et modèle mathématique 23 D =   eu,1−αϕ,1 eu,2−αϕ,2 0  . (2.10) Remarque 2

La matrice σ définie par (2.9) est une matrice creuse, son déterminant vaut 0 et aussi elle est symétrique car :

σ13= σ31= µ∂x1u σ23= σ32= µ∂x2u. (2.11) En tenant compte de la relation (2.10) on peut donc avoir explicitement la matrice E∗v sous la forme :

E∗v =

 

0 0 ev1

0 0 ev2

ev1 ev2 ev3 

, ∀v = (vi) ∈ R3. (2.12)

Dans tout ce qui suit, nous considérons que le processus est électro-mécanique et donc la loi d’équilibre sera écrite comme suit :

Div σ + f0= 0, Di,i− q0= 0 dans B,

Il est facile de voir que l’équation d’équilibre sera réduite sous la forme d’une équation scalaire en se basant sur les relations (2.1), (2.2), (2.5), (2.6), (2.9) et (2.10), et donc :

div (µ∇u) + div (e∇ϕ) + f0= 0, dans Ω, (2.13) div(e∇u) − div(α∇ϕ) = q0, dans Ω. (2.14)

Nous supposons que les déplacements sont bloqués sur la frontière Γ1×(−∞, +∞) et le potentiel électrique devient nul sur Γ1× (−∞, +∞); alors, (2.5) et (2.6) donne:

u = 0 sur Γ1, ϕ = 0 sur Γa. (2.15) En utilisant les relations (2.9) et (2.10) on peut conclure que le vecteur-champs du Cauchy et la composante normale du champs des déplacements sont donnés par :

(46)

24

Maintenant, les (2.2), (2.4) et (2.16), la condition de traction sur Γ2× (−∞, ∞) et la condition électrique sur Γb× (−∞, ∞) donne la condition suivante :

µ∂νu + e∂νϕ = f2 sur Γ2, e∂νu − α∂νϕ = q2 sur Γb. (2.17)

Utilisons la formule (2.5) on peut donc déduire que :

uτ= (0, 0, u) , στ = (0, 0, στ) où στ = (0, 0, µ∂νu + e∂νϕ) . (2.18) On suppose que le frottement est invariant le long de l’axe ox3 et de plus, il est modélisé par la loi de frottement suivant :

   |στ| ≤ g, στ = −g_|u|u si u 6= 0 sur Γ3. (2.19) Remarque 3

La fonction g : Γ3 → R+ est une fonction donnée et, est appelée ”seuil de frottement”.

2.3 Position du problème continu

Conclusion 1

E

n conclusion, en réunissant les équations et les conditions aux limites ci-dessus, nous obtenons que dans un processus antiplani _{d’un corps électro-élastique, le} champ de déplacements u : Ω → R et le champ électrique ϕ : Ω → R satisfont le problème suivant :

Problème Pélectro−élastique_.

Trouver le champ de déplacements u : Ω → R et le potentiel électrique ϕ : Ω → R tel que

div (µ∇u) + div (e∇ϕ) + f0= 0, dans Ω, (2.20) div (e∇u) − div (α∇ϕ) = q0 dans Ω, (2.21)

i_{M. Sofonea, A. Ayadi, M. Dalah, Analysis of an Antiplane Electro-Elastic Contact Problem,}

(47)

2.4. Quelques hypothèses 25 u = 0 sur Γ1, (2.22) µ∂νu + e∂νϕ = f2 sur Γ2, (2.23)    |στ| ≤ g, στ = −g_|u|u si u 6= 0 sur Γ3, , (2.24) ϕ = 0 dans Γa, (2.25) e∂νu − α∂νϕ = q2 sur Γb. (2.26)

2.4 Quelques hypothèses

Pour étudier le problème défini par (2.20)-(2.26), on suppose que le coefficient de permitivité électrique, le coefficient de Lamé et le coefficient piézoélectrique satisfont :

α ∈ L∞(Ω) et il existe α∗> 0 tel que α(x) ≥ α∗ p.p. x ∈ Ω, (2.27) µ ∈ L∞(Ω) et µ(x) > 0 p.p. x ∈ Ω, (2.28) et

e ∈ L∞(Ω) . (2.29)

Nous supposons dans ce qui suit que les forces volumiques de densité f0 et les tractions surfaciques de densité f2 ont les régularités:

f0∈ L2_(Ω), _f2_{∈ L}2_(Γ2). _(2.30) Nous supposons aussi que les densités des charges électriques satisfait :

q0∈ L2(Ω), et q2∈ L2(Γb) tel que q2= 0 p.p. x ∈ Γb. (2.31)

On suppose aussi que le seuil de frottement g satisfait ce qui suit :

g ∈ L∞(Γ3) et g(x) ≥ 0 p.p. x ∈ Γ3. (2.32)

Soit la fonctionnelle j : V −→ R+ définie par la relation: j(v) =

Z Γ3

(48)

26

On défini souvent les deux applications f ∈ V et q ∈ W respectivement par : (f, v)_V = Z Ω f0v dx + Z Γ2 f2v da, ∀v ∈ V. (2.34) (q, ψ)_W = Z Γb q2ψ da − Z Ω q0ψ dx, ∀ψ ∈ W. (2.35)

Par la suite, nous introduisons les deux espaces suivants : V = {v ∈ H1(Ω) : v = 0 sur Γ1}, et

W = { ψ ∈ H1(Ω) : ψ = 0 sur Γa}.

Notation 2

Notons par X = V × W comme étant l’espace produit de V par W .

Remarque 4

1. Il est bien connu que V et W sont des espaces de Hilbert muni par les produits scalaires : (u, v)_V = Z Ω ∇u · ∇v dx ∀u, v ∈ V, (ϕ, ψ)_W = Z Ω ∇ϕ · ∇ψ dx ∀ϕ, ψ ∈ W.

2. De plus, les normes associées aux espaces V et W sont définies par : kvk_V = k∇vk_L2_(Ω)2 ∀v ∈ V, kψk_W = k∇ψk_L2_(Ω)2 ∀ψ ∈ W (2.36)

3. À partir du théorème de trace de Sobolev, on déduit qu’il existe deux constantes positives cV > 0 et cW > 0 telle que :

Il existe deux constantes positives cV > 0 et cW > 0 satisfont :

kvk_L2_(Γ3)≤ cV kvk_V ∀v ∈ V, (2.37) et

|ψkL2_(Γ

(49)

2.5. Formulation variationnelle 27

Soit X=V×W un espace de Hilbert muni du produit scalaire noté ( · , · ) et par la norme notée k · kX. Par la suite, nous définissons les formes bilinéaires suivantes aµ_{: V × V → R, a}e: V × W → R, ae: W × V → R, et aα: W × W → R, par les égalités suivantes:

aµ(u, v) = Z Ω µ ∇u · ∇v dx, (2.39) ae(u, ϕ) = Z Ω e ∇u · ∇ϕ dx = ae(ϕ, u) , (2.40) aα(ϕ, ψ) = Z Ω α ∇ϕ · ∇ψ dx, (2.41)

pour tout u, v ∈ V , ϕ, ψ ∈ W . Les hypothèses (2.27)-(2.35) impliquent que les intégrales précédentes sont bien-définies et, nous utilisons (2.36) et (2.37), il suit que les formes bilinéaires aµ, ae et ae sont continues; de plus, les formes aµ et aαsont symétriques et, aussi, la forme aαest W -elliptic, donc

aα(ψ, ψ) ≥ α∗kψk2_W ∀ψ ∈ W. (2.42)

2.5 Formulation variationnelle

Dand cette section, nous allons présenter dans le Lemme qui suit la formulation variationnelle du Problème Pélectro−élastique _{défini par (}_2.20_)-(_2.26_).

Lemme 1 Supposons que le champ de dépalcements u : Ω → R et le potentiel

électrique ϕ : Ω → R sont des solutions du Problème Pélectro−élastique_{, alors} (u, ϕ) ∈ X et de plus, u et ϕ vérifiant le système non-linéaire suivant :

aµ(u, v − u) + ae(ϕ, v − u) + j(v) − j(u) ≥ (f, v − u)V, ∀v ∈ V, (2.43) aα(ϕ, ψ) − ae(u, ψ) = (q, ψ)W, ∀ψ ∈ W. (2.44)

Preuve 1 La démonstration du Lemme1s’articule sur les points suivants. À cet effet, on suppose que le couple (u, ϕ) est solution du Problème Pélectro−élastique défini par (2.20)-(2.26). Comme (u, ϕ) ∈ X et, en tenant compte des relations (2.20), (2.21) et (2.22), nous pouvons écrire donc :

Z Ω α ∇ϕ · ∇ψ dx − Z Ω e ∇u · ∇ψ dx = Z Γ (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da − Z Ω q0ψ dx (2.45) ∀ψ ∈ W.

(50)

28

Comme Γ est divisé en trois parties Γ1, Γ2 et Γ3, alors l’intégrale à gauche de l’inégalité (2.45) peut s’écrire de la manière suivante :

Z Γ (µ∂νu + e∂νϕ)(v − u) da = Z Γ1 (µ∂νu + e∂νϕ)(v − u) da+ Z Γ2 (µ∂νu + e∂νϕ)(v − u) da + Z Γ3 (µ∂νu + e∂νϕ)(v − u) da ∀v ∈ V. (2.46)

En utilisant les relations (2.33), (2.34), (2.39) et (2.40) alors on obtient : aµ(u, v − u) + ae(ϕ, v − u) + j(v) − j(u) ≥ (f, v − u)V ∀v ∈ V. (2.47)

Preuve du (2.44):

L’intégrale sur Γ dans la partie gauche de l’inégalité (2.45) peut écrire sous la forme suivante : Z Γ (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da = Z Γa (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da + Z Γb (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da. (2.48) En utilisant (2.24) et (2.25) et nous combinons l’égalité (2.48), on obtient donc :

Z Ω α ∇ϕ · ∇ψ dx − Z Ω e ∇u · ∇ψ dx = Z Γb q2ψ da − Z Ω q0ψ dx ∀ψ ∈ W. (2.49)

D’après les relations (2.35), (2.40) et (2.41), on tombe sur la seconde égalité définie dans le Lemme1. Ce qui conclut la démonstration.

En conclusion

D’après le Lemme1on peut écrire la formulation variationnelle du Problème

Pélectro−élastique défini par (2.20)-(2.26) comme suit :

Problème PVélectro−élastique. _{Trouver le champ de déplacements u : Ω → R}

et le champ électrique ϕ : Ω → R tels que

aµ(u, v − u) + ae(ϕ, v − u) + j(v) − j(u) ≥ (f, v − u)V, ∀v ∈ V, (2.50) aα(ϕ, ψ) − ae(u, ψ) = (q, ψ)W, ∀ψ ∈ W. (2.51)

Quelques Notations

(51)

2.6. Un Résultat d’existence et d’unicité 29

1. La forme bilinéaire a( · , · ) : X × X → R:

a(x, y) = aµ(u, v − u) + aα(ϕ, ψ) + ae(ϕ, v − u), (2.52) ∀x = (u, ϕ) ∈ X, ∀y = (v, ψ) ∈ X.

2. La fonctionnelle J (.) : X → R:

J (x) = j(u), ∀x = (u, ϕ) ∈ X. (2.53)

3. L’élément F est supposé comme suit :

F = (f, q) ∈ X. (2.54)

En conclusion

En tenant compte des relations (2.52), (2.53) et (2.54) dans (2.50) et (2.51), nous pouvons écrire le problème noté PVGélectro−élastique défini par :

Problème PVGélectro−élastique. Trouver le champ de déplacements x ∈ X tel que

a(x, y − x) + J (y) − J (x) ≥ (F, y − x)X, ∀y ∈ X. (2.55)

2.6 Un Résultat d’existence et d’unicité

Nous donnons notre principal résultat portant sur l’existence et l’unicité des solutions faibles pour le champ de déplacements u : Ω → R et le poten-tiel électrique ϕ : Ω → R des problèmes précédents PVélectro−élastique et

PVGélectro−élastique; ainsi que quelques étapes élémentaires de la démonstra-tion de ce résultat.

Théorème 5 Soient les problèmes :

Problème PVélectro−élastique. _{Trouver le champ de déplacements u : Ω → R}

et le champ électrique ϕ : Ω → R tel que :

(52)

30

aα(ϕ, ψ) − ae(u, ψ) = (q, ψ)W, ∀ψ ∈ W. (2.57) et

Problème PVGélectro−élastique. Trouver le champ de déplacements x ∈ X tel que :

a(x, y − x) + J (y) − J (x) ≥ (F, y − x)X, ∀y ∈ X. (2.58)

Alors les deux problèmes précédents sont équivalents.

Preuve 2 On suppose que le champ de déplacements u : Ω → R et le champ

électrique ϕ : Ω → R est solution du problème PVélectro−élastique. En faisant un changement de la variable ψ par l’élément (ψ − ϕ) dans la relation (2.51), puis, après certaines manipulations on obtient :

aµ(u, v − u) + ae(ϕ, v − u) + aα(ϕ, ψ − ϕ) − ae(u, ψ − ϕ)+ + j(v) − j(u) ≥ (f, v − u)V + (q, ψ − ϕ)W.

En tenant compte des relations (2.52), (2.53) et (2.54), alors pour tout u : Ω → R et ϕ : Ω → R, on peut écrire explicitement (2.58). Ce qui conclut la démonstration de la première implication.

Dans la deuxième étape nous supposons que le champ de déplacements u : Ω → R et le champ électrique ϕ : Ω → R est solution du Problème PVGélectro−élastique. La même chose ici, en faisant un changement concernant la forme bilinéaire a( · , · ) par (2.54), (F, y − x)X par (2.53) et la fonctionnelle J ( · ) par (2.52); alors, pour tout (v, ψ) ∈ X on obtient la demande de la démonstration.

La section qui suit comporte un résultat d’existence et d’unicité :

Théorème 6 On suppose que (2.27)-(2.35) sont satisfaitent. Alors, le problème variationel :

Problème PVGélectro−élastique. Trouver le champ x ∈ X tel que

a(x, y − x) + J (y) − J (x) ≥ (F, y − x)X, ∀y ∈ X. (2.59) possède une et une seule solution notée x = (u, ϕ) qui satisfaite (2.59).

Preuve 3 Notons tout d’abord que la preuve de ce théorème est basée sur des

arguments et des propriétés des inéquations variationnelles qu’on va les notées ici.

(53)

2.6. Un Résultat d’existence et d’unicité 31

Soit X un espace de Hilbert muni du produit scalaire ( · , · )X et, soit la norme associée k · kX et, on considère le problème défini par (2.59).

Quelques Propriétés:

1. La forme a(., .) vérifiant :

a : X × X → R est une forme bilinéaire symétrique et (2.60)

2. La forme b(., .) vérifiant :

b : X × X → R est une forme bilinéaire symétrique et il existe M0> 0 tel que |b(u, v)| ≤ M0.kukXkvkX, pour tout u, v ∈ X.

(2.61) 3. Les majorations suivantes satisfont :

•

il existe M > 0 tel que |a(u, v)| ≤ M.kukXkvkX, pour tout u, v ∈ X, (2.62) •

il existe m > 0 tel que a(v, v) ≥ mkvk2_X, pour tout v ∈ V. (2.63) 4. La fonctionnelle j(.) :

j : X → R, (2.64)

est convexe et semi-continue inférieurement.

Dans le reste de ce chapitre, nous supposons que (2.27)-(2.35) sont satisfaites. En se basant sur la relation (2.28), et donc, on obtient que la forme bilinéaire définie par(2.52) qui vérifie :

|a(x, y)| ≤ kµkL∞_(Ω)+ kαkL∞_(Ω)+ 2kekL∞(Ω) kxkX.kykX, ∀x, y ∈ X, (2.65) Comme la forme bilinéaire a( · , · ) est elliptique et par conséquent de la dernière ine´galité, on obtient :

(54)

32

En tenant compte de (2.32), on aura rapidement :

J (x) = j(u) ≤ ckukL2_(Γ3)≤ ckukV ≤ ckxkX, ∀x ∈ X, (2.67)

Utilisons le théorème6, il suit que le problème PVGélectro−élastiqueadmet une et une seule solution notée x = (u, ϕ) ∈ X. Maintenant, nous couplons les deux théorèmes5et 6, il suit que le problème PVélectro−élastique admet une et une seule solution notée x = (u, ϕ)X. Cette solution peut considérer comme étant la solution faible du problème antiplane de contact Pélectro−élastique.

Remarque 6

On peut conclure par utilisation du théorème précédent5que le couple x = (u, ϕ) souvent résout le problème variationnelle PVGélectro−élastique, et par la suite, on peut dire que l’élément x est "solution faible" du problème antiplane de contact PVGélectro−élastique.

2.7 Conclusion

En conclusion, dans cette partie de la thèse, nous avons considérer que le matériel est électro-élastiques avec des conditions aux limites avec frottement de Tresca. Au premier point, nous construisons une formulation variationnelle associée au problème posé à l’étude puis, nous établissons les résultats d’existence et d’unicité de la solution faible en se basant sur des propriétés des inéquations variationnelles d’évolution.

(55)

2.7. Conclusion 33

Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement UMC-Constantine, Juin 2016

(56)

(57)

3 Analyse d’un problème

électro-viscoélastique de

contact avec frottement

_Thèse

de

Do

ctorat

en-Sciences

Ce chapitre intitulé ”Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement” traite un problème de contact dont le matériau est considéré électro-viscoélastique. En premier lieu, nous décrivons le modèle mathématique en incluant toutes les conditions aux bords. Ensuite, nous construisons une formulation variationnelle associée au problème posé à l’étude puis, nous étab-lissons le résultat d’existence et d’unicité de la solution faible.

3.1 Introduction

D

ans ce chapitre, nous considérons que le matériel est électro-viscoélastiques avec des conditions aux limites avec frottement de Tresca. En premier point, nous construisons le cadre physique associé à cet phynomène électro-mécanique. Par la suite, nous décrivons le modèle mathématique en incluant toutes les conditions aux bords. Ensuite, nous construisons une formulation variationnelle associée au problème posé à l’étude puis, nous établissons le résultat d’existence et d’unicité de la solution faible. La rédaction de ce chapitre s’inspire de deux publications.

Le contenu de cette dernière partie de la thèse est le suivant. À la section3.2, nous construisons le cadre physique et le cadre mathématique ainsi, le problème continu. À la section3.3, nous posons quelques hypothèses qui seront utiles et nécesaires pour l’étude du problème Pélectro−viscoélastique_{et, nous donnons la} formulation variationnelle associée à ce dernier. À la dernière section 3.4 de ce chapitre, nous présentons notre principal résultat d’existence et d’unicité de la solution faible, à savoir le Théorème principal qui sera cité à la fin de notre travail, ainsi que les étapes de la démonstration de ce dernier. Nous clôturons cette étude par une conclusion générale.

3.2 Modèle mathématique

Pour construire cette section, nous basons notre étude sur les relations (2.1)-(2.6) citées dans la section2.2du chapitre2. Ensuite, nous considérons que le matériel est électro-viscoélastique. On sait que le champ des contraintes σ est donné par:

σ = 2θε( ˙u) + 2µε(u) + λ tr ε(u) I − E∗E(ϕ), (3.1)

D = E ε (u) + αE (ϕ) , (3.2) • σ est le tenseur des contraintes,

(59)

3.2. Modèle mathématique 37

• ε(u) = (εij(u)) est le tenseur des déformations, • λ > 0 et µ > 0 les constantes de Lamé,

• Id le tenseur unité de R3_.

On suppose que le processus est électro-mécanique et statique le long du processus et donc il est gouverné par la loi d’équilibre:

Div σ + f0= 0, Di,i− q0= 0 dans B, (3.3) où Div σ = (σij,j) représente la divergence concernant le champ du tenseur σ. En tenant compte des relations (2.1)-(2.6) cités dans la section2.2du chapitre2 et (3.1)-(3.3), l’équation d’équilibre sera réduite sous la forme d’une équation scalaire :

div (θ∇ ˙u + µ∇u) + div(e∇ϕ) + f0= 0, in Ω, (3.4)

div (e∇u − α∇ϕ) = q0, in Ω. (3.5)

Maintenant, nous voulons décrire les conditions aux bords (sur la frontière). Les déplacements étant bloqués sur la frontière Γ1× (−∞, +∞) et le potentiel électrique devient nul sur Γ1× (−∞, +∞); alors on obtient :

u = 0 sur Γ1, (3.6)

(60)

38

3. Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement

En considérant la normale unitaire ν sur Γ×(−∞, +∞). Nous obtenons donc,

ν = (ν1, ν2, 0) avec νi= νi(x1, x2_{) : Γ → R,} i = 1, 2. (3.8) Nous désignons pour le vecteur v :

• vν : La composante normale, • vτ : La composante tangentielle, qui seront définies par :

vν = v · ν, vτ = v − vνν. (3.9) De plus, pour le champ des contraintes σ on note par σν et στ la composante normale et la composante sur la frontière, telles que :

σν= (σν) · ν, (3.10)

et

στ = σν − σνν. (3.11)

En tenant compte des formules (3.3)–(3.8), alors il est facile de donner explicite-ment la formule du vecteur-champ de Cauchy et la composante normale du champ de déplacements sont donnés par:

σν = (0, 0, θ∂νu + µ∂ν˙ , D · ν = e∂νu − α∂νϕ.u + e∂νϕ) . (3.12) En tenant compte de la relation (3.12), il est aisé d’obtenir la formule de la condition électrique sur Γb× (−∞, ∞) définie pae :

D · ν = e∂νu − α∂νϕ. (3.13) Maintenant, on tire la formule de la condition de traction sur Γ2× (−∞, ∞) définie par :

σν = (0, 0, θ∂νu + µ∂ν˙ u + e∂νϕ) . (3.14)

Remarque 1

La condition électrique sur la partie Γ3× (−∞, +∞). D’après l’équation (3.8 )-(3.10) on déduit que le déplacement normale est nul, uν = 0, et peut déduire

que :

(61)

3.2. Modèle mathématique 39

En tenant compte que le frottement est invariant le long de l’axe ox3, alors on peut modéliser la loi de frottement de la manière suivante :

   |στ| ≤ g, στ= −g_{| ˙}uu|˙ si ˙u 6= 0 sur Γ3. (3.16)

En regroupant toutes les relations (3.1)–(3.16), alors on obtient le problème

Pélectro−viscoélastique _{qui sera défini par :}

3.2.0 Modèle mathématique

Problème Pélectro−viscoélastique _{Trouver le champ de déplacements u : Ω →} R et le potentiel électrique ϕ : Ω → R tel que

div (θ∇ ˙u + µ∇u) + div (e∇ϕ) + f0= 0, dans Ω, (3.17) div (e∇u − α∇ϕ) = q0 dans Ω, (3.18)

u = 0 sur Γ1, (3.19) θ∂νu + µ∂˙ νu + e∂νϕ = f2 sur Γ2, (3.20)    |στ| ≤ g, στ= −g_{| ˙}u_u|˙ si ˙u 6= 0 sur Γ3. (3.21) ϕ = 0 dans Γa. (3.22) e∂νu − α∂νϕ = q2 sur Γb, (3.23) Remarque 2

Il est facile de voir que les deux inconnues définies dans le problème

Pélectro−viscoélastique ₍_3.17_)-(_3.23_{) sont :} • Le champ de dépalcements u : Ω → R, • Le champ électrique ϕ : Ω → R.