Cadre physique et modèle mathématique

• Figure 2 et 3, Sections 3.1 et 3.2: Modèle mathématique, Chapitre 3:

”Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement”.ⁱ

Liste des figures UMC-Constantine, Juin 2016

iM. Sofonea and A. Matei, Variational inequalities with applications. A study of antiplane frictional contact problems, Advances in machanics and mathematics, Springer, 2009 (230 pages), 2009

Contents

Résumé vii Abstract ix Dédicace xi Remerciements xiii Notations xv

Introduction Générale xix

I Lois de comportement et de frottement 1

1 Préliminaires: Rappels Mathématiques et Lois de comportement et

de frottement 3

1.1 Introduction. . . 4

1.2 Rappels de quelques espaces . . . 4

1.2.1 Espaces vectoriels normés . . . 4

1.2.2 Espaces de Hilbert . . . 6

1.2.3 Espaces de Sobolev. . . 7

1.3 Rappels sur les opérateurs linéaires . . . 9

1.4 Formes bilinéaires et Opérateurs linéaires . . . 9

1.5 Lois de comportement . . . 12

1.5.1 Lois de comportement des matériaux élastiques . . . 12

1.5.2 Lois de comportement des matériaux électro-élastiques . . 13

1.5.3 Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques 13 1.6 Lois de frottement . . . 13

1.6.1 Loi frottement pour des matériaux élastiques . . . 14

1.6.2 Lois de frottement pour des matériaux électro-élastiques . 14 1.6.3 Lois de frottement pour des matériaux électro-viscoélastiques 14

II Problème électro-viscoélastique 17

2 Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement 19 2.1 Introduction . . . 20

2.2 Cadre physique et modèle mathématique . . . 20

vi Contents

2.4 Quelques hypothèses . . . 25

2.5 Formulation variationnelle. . . 27

2.6 Un Résultat d’existence et d’unicité . . . 29

2.7 Conclusion. . . 32

3 Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frotte-ment 35 3.1 Introduction . . . 36

3.2 Modèle mathématique . . . 36

3.3 Formulation variationnelle. . . 40

3.4 Un résultat d’existence et d’unicité . . . 45

3.5 Conclusion. . . 48

4 Conclusion générale et perspectives 49 4.1 Conclusion générale . . . 49

4.2 Perspectives. . . 50

5 Annexe A: Quelques inégalités 51 5.1 Annexe A: Quelques Types des Inégalités. . . 51

III Bibliographies 53

Résumé

Thèse de Doctora t en-Sciences, Juin 2016

Résumé:

L

’objet de cette thèse est d’étudier deux types des problèmes aux limites de contact avec frottement entre un corps déformable et une fondation. Nous supposons le long de cette thèse que le processus est statique pour des matériaux électro-élastiques et électro-viscoélastiques. Dans un premier temps, nous con-struisons une formulation variationnelle de chaque problème et nous décrivons les hypothèses et les équations qui modélisent les problèmes antiplans ainsi que les conditions aux limites avec frottement. Finalement, les résultats que nous obtenons concernant l’existence et l’unicité des solutions faibles de ces problèmes seront prouvés et justifiés en se basant sur des arguments standards des inéquations variationnelles. La dernière partie de cette thèse comporte une annexe contenant des rappels sur quelques outils d’analyse fonctionnelle.

Mots-Clefs:

Antiplan; Matériau électro-élastique; Matériau électro-viscoélastique; Loi de Con-tact; Loi de Frottement; Formulation Variationnelle; Inéquation Variationnelle; Solution Faible.

Résumé UMC-Constantine, Juin 2016

Abstract

Thèse de Doctora t en-Sciences, Juin 2016

Abstract:

T

he purpose of this disertation is to study two types of antiplan contact problems with friction between a deformable body and a foundation. We assume along this disertation that the process is static for electroelastic materials and electro-viscoelastic materials. In first time, we try to construct a variational formulation of each problem and, we describe all the assumptions and equations for the each model of antiplan contact problem. In the second time, we give the boundary conditions with friction. Finally, the results we get on the existence and uniqueness of weak solutions of these problems will be confirmed and based by using the standard arguments of variational inequalities. The last part of this disertation contained an annex about some tools of functional analysis.

Key-Words:

Antiplan; Electro-elastic Material; Electro-viscoelastic Material; Contact Law; Friction Law; Variational Formulation; Variational Inequality; Weak Solution.

Abstract UMC-Constantine, Juin 2016

Dédicace

Dédica ce, Juin 2016 UMC-Constantine, Juin 2016

J

e dédie ce travail :

À très chère mère: Pour moi, tu es la source de tendresse. Tu es toujours été là pour moi. Je suis redevable d’une éducation dont je suis fier.

Je dédie ce travail à mon père et je ne peux exprimer mes sentiments d’amour et de respect à votre égard. Puisse le tout puissant, vous procurer une longue et heureuse vie.

À tous ce qui me sont chers et proches, à tous ceux et celles qui ont semé à tout point de vue, et à tous mes enseignants tout au longue de mes études.

À toute ma famille.

À mes chers amis et collègues de l’université Bachir El-Ibrahimi, BBA. A. Derbazi: Université Bachir El-Ibrahimi, BBA.

Dédicace UMC-Constantine, Juin 2016

Remerciements

Remerciements:

U

n immense merci à Monsieur le Professeur M. Dalah pour avoir accepté d’encadrer ce travail et ce, en dépit de ses multiples occupations. Ses critiques constructives et sa rigueur scientifique ont prévalu dans l’élaboration de ce travail. Je le remercie de m’avoir encadré, orienté, aidé et conseillé, leur paroles, leur écrits, leur critiques durant toutes mes années de recherches.

Un remerciement particulier au président du jury le Professeur S. Djezzar pour ses encouragements et ses conseils et qui a bien accepté de présider cette soutenance. Aussi pour leur critiques, commentaires et remarques et ce, pour rendre ce travail magnifique et acceptable en forme et en contenu. Je remercie aussi le Docteur A. Berkane, le Professeur A. Ayadi, le Docteur K. Haouam et, le Professeur F. Ellaggoune pour avoir accepté d’examiner ce travail. Je tiens à exprimer ma gratitude au Professeur M. Sofonea de l’Université de Perpignan, France, pour sa gentillesse, sa modestie, sa riche expérience, son soutien, sa clairvoyance, ses compétences et, sa rigueur scientifique. Nous tenons à remercier très sincèrement tous ceux qui ont bien voulu lire notre manuscrit et qui nous ont fait part de leurs remarques et suggestions.

Enfin, je remercie Monsieur le Professeur N. Kechkar pour leur soutien incondi-tionnel, leur confiance et leur encouragements. Un grand merci à tous et à toute l’équipe administative de notre département de mathématiques de l’université Fre`res Mentouri Constantine.

À tous ceux intervenants, je présente mes propres salutations et remerciements, mon profond respect et ma gratitude.

Ammar Derbazi Constantine, Algérie, Juin 2016

Notations

Not a tions, Juin 2016

Notations:

θ : Viscosité. g(.) : Seuil de frottement. f0 : Forces volumiques. f₂ : Forces surfaciques. e : Coefficient piézoélectrique.

Ω : Un domaine de l’espace Rd, avec d = 2, 3. Γ : La frontière de l’espace Ω.

Γ_i : i = 1, 2, 3 : Les trois subdivisions de la frontière Γ. u : Champ des déplacements.

ν : La normale unitaire.

C(0, T ; X) : Espace des fonctions bien-définies et continues sur l’intervalle [0,T]. Wk,p(0, T ; X) : Espace de Sobolev de deux paramètres k et p.

Sd : Espace des tenseurs symétriques du second ordre sur l’espace Rd. k.kH1 : Norme sur l’espace H¹(Ω).

(., .)_H1 : Produit scalaire sur l’espace H1(Ω).

L2(Ω) : Espace des fonctions de carrées intégrables sur Ω. σ : La contrainte. ε : Les déformations. E : Module de Young. k: Module d’élasticité. g0 : Charges volumiques. g₂ : Charges surfaciques. Notations Thèse de Doctorat en-Sciences, Juin 2016

Listes des communications et publications:

• Communication Internationale N1: A. Derbazi et al., Proceed-ings of the 2015 International Conference on Pure Mathematics, Applied Mathematics and Computational Methods: (PMAMCM 2015), Zakynthos Island, Greece, July 16-20, Year: (2015). http://www.inase.org/library/2015/zakynthos/MATH.pdf

• Communication Nationale N2: A. Derbazi et al.,La première Confer-ence Nationale sur les Systèmes Dynamiques, Equations Différentielles et Applications : PCNSDED, 10-11 Mars 2015, Université Larbi Ben M’hidi, Oum el-Bouaghi, Year: (2015).

• Communication Nationale N3: A. Derbazi et al.,La Journée Nationale sur Les Mathématiques Appliquées: JNMA, 29 Novembre 2015, Université Bachir el-Ibrahimi, Bordj-Bou Arréridj, Year: (2015).

• Publication N 1: A. Derbazi et al., A bilateral contact problem with adhesion and damage between two viscoelastic bodies, Journal of Nonlinear Science and Applications (JNSA), Volume 9, Issue:3, Pages:1216-1229, Year: 2016).

• Publication N 2: A. Derbazi et al., Existence and uniqueness of the weak solution of electro-viscoelastic contact problem, Journal: Bulletin of the Transilvania University of Brasov, Series III: Mathematics, Informatics, Physics, 51-64, Vol 8(57), No. 2, Year: (2015).

Listes des communications et publications UMC-Constantine, Juin 2016

Juin

2016

Q

ui joue perd. C’est mathématique. Les statistiques ne trompent pas.

Et pourtant, il faut jouer pour gagner, même si les chances sont minces.

De Normand Reid

L

es mathématiques peuvent être définies

comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu’on dit est vrai.

De Bertrand Russell

Proverbes UMC-Constantine, Juin 2016

Introduction Générale

Thèse de Do ctorat en-Sciences, Juin 2016

Introduction Générale:

L

a mécanique des contacts,4,8,17,20,22,22,34 est l’un des fondements de l’ingénierie mécanique et est indispensable pour la conception de projets sûrs et énergiquement efficaces. La mécanique des contacts traite des calculs impliquant des corps élastiques, électro-élastiques,6,14,16,18,24,29,31 viscoélas-tiques ou électro-viscoélasviscoélas-tiques,¹⁴,¹⁵,¹⁶,¹⁶,¹⁸,²⁸,³² lors des processus statiques ou quasistatiques,¹⁶,¹⁸,¹⁹,²³,²⁷ pour des matériaux élastiques et électro-viscoélastiques.

Cet processus statique ou quasistatique pour ces matériaux peut-être trouvé dans différents domaines tel que :

• Les moteurs à combustion et Les freins et bien d’autres, • Les paliers et les pneumatiques,

• Le soudage par ultrasons, les contacts électriques, • Les embrayages,

• Les machines de production et les liaisons mécaniques.

La modélisation mathématique33 en mécanique de quelques phynomènesiiréelles nécessite des Ingénieurs capables d’utiliser les grands outils de simulation numérique,⁷,¹¹,²⁵,²⁶,³⁰ et informatique. Dans les applications industrielles, très nombreuses sont les situations à modéliser dans lesquelles on sait, à l’aide des équations aux dérivées partielles EDPs,3,5,9et de quelques systèmes d’EDPs, qui nous permet de décrire des phénomènes se développant dans des milieux élastiques ou viscoélastiques. Différents modèles permettent de décrire l’élasticité et la viscoélasticité linéaire. Par exemple, le modèle de Kelvin-Voigt quant à lui est un modèle de viscoélastique.

La thèse est divisée en Trois Chapitres que nous verrons successivement plus une conclusion générale, une annexe et une bibliographie.

Le premier chapitre contient deux parties :

iiP. Germain, P. Muller, Introduction à la mécanique des milieux continus, Masson, Paris, 1980.

xx 0. Introduction Générale

• Partie A: Préliminaires: Rappels Mathématiques, • Partie B: Lois de comportement et de frottement.

Le premier chapitre intitulé ”Préliminaires: Rappels Mathématiques & Lois de comportement et de frottement” comporte deux sous-parties : Une première partie traite un bref rappel mathématiques,¹,²,³,⁵,⁹¹²et¹³sur les espaces vec-toriels normés et les espaces de Sobolev et une deuxième partie compotre une présentation de lois de frottement et de contact.

Le deuxième chapitre intitulé ”Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement” traite un problème électro-élastique de contact avec frotte-ment,31,6.33 Dans cette partie de la thèse, nous rajoutons le champ électrique ϕ(.). Nous procédons de la même façons que celle utilisée dans le chapitre2, c’est-à-dire, on fait appel aux hypothèses concernant les forces surfaciques, les forces volumiques, le seuil de frottement, les charges électriques et les propriétés des formes bilinéaires. Par la suite, nous construisons une formulation vari-ationnelle du problème continu , puis, nous citons un résultat d’existence et d’unicité de la solution faible. Finalement, nous clôturons cette étude par une conclusion.

Le troisième chapitre intitulé ”Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement” traite une étude détaillée d’un problème aux limites qui décrivent l’évolution statique d’un corps électro-viscoélastique soumis à des forces surfacique, des forces volumiques et, des charges électriques. Dans la premie`re section, nous présentons une formulation variationnelle du problème P en se basant sur les hypothèses citées dans le troisième chapitre. Dans la deuxième section, nous démontrons l’existence et l’unicité de la solution de ce modèle. La rédaction de cette section s’inspire de deux publications35et.36

Nous clôturons cette thèse par une conclusion générale, une annexe et une bibliographie détaillée.

Introduction Générale Thèse de Doctorat en Sciences, Juin 2016

Part

I

Lois de comportement

1

Préliminaires: Rappels

Mathématiques et Lois de

comportement et de

frottement

_Thèse de Do ctorat en-Sciences

Le chapitre intitulé ”Préliminaires mathématiques et Lois de com-portement et de frottement” comporte deux sous-parties : Une première partie traite un bref rappel mathématiques sur les espaces vectoriels normés et les espaces de Sobolev⁵ et une deuxième partie compotre une présentation des lois comportement et de frotte-ment.

Contents

1.1 Introduction . . . . 4

1.2 Rappels de quelques espaces . . . . 4

1.2.1 Espaces vectoriels normés . . . 4

1.2.2 Espaces de Hilbert . . . 6

1.2.3 Espaces de Sobolev. . . 7

1.3 Rappels sur les opérateurs linéaires . . . . 9

1.4 Formes bilinéaires et Opérateurs linéaires. . . . 9

1.5 Lois de comportement . . . . 12

1.5.1 Lois de comportement des matériaux élastiques . . . 12

1.5.2 Lois de comportement des matériaux électro-élastiques. 13

1.5.3 Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques 13

1.6 Lois de frottement . . . . 13

1.6.1 Loi frottement pour des matériaux élastiques . . . 14

1.6.2 Lois de frottement pour des matériaux électro-élastiques 14

1.6.3 Lois de frottement pour des matériaux électro-viscoélastiques . . . 14

4

1. Préliminaires: Rappels Mathématiques et Lois de comportement et de frottement

1.1 Introduction

C

ette section du chapitre intitulé ” Préliminaires: Rappels Mathématiques” comporte essentiellement un bref rappel de notions et de définitions concernant les espaces normés, les espaces de Hilbert, les espaces de Sobolev et, quelques propriétés et définitions des opérateurs linéaires. Cet bagage de l’analyse fonc-tionel fournit alors des outils qui peuvent êtres nécessaires et utiles pour l’étude de problèmes issus de la mécanique de contact entre les corps. À la fin de ce chapitre, nous présentons quelques lois de comportement ainsi quelques lois de frottement qui pourraient êtres utilisées dans les chapitres 2 et 3.

1.2 Rappels de quelques espaces

Nous présentons dans cette section un rappel sur les espaces vectoriels normés, les espaces de Hilbert et les espaces de Sobolev.

1.2.1 Espaces vectoriels normés

Nous considérons dans la suite et tout au long de cette thèse que E est un espace vectoriel sur le corps K avec K = R ou K = C. À cet effet, nous commençons cette partie par rappeler quelques résultats concernant les espaces vectoriels normés. Ces derniers espaces intervenant dans la plupart du temps comme ”espaces des fonctions”.

Définition 1 Soit E un espace vectoriel sur le corps K avec K = R ou K = C.

L’application k.k_E: E −→ R+ est dite une norme sur E si et seulement si : 1. kvk_E= 0 si et seulement si v = 0,

2. kλvk_E= |λ|.kvkE, ∀v ∈ E, ∀λ ∈ K, 3. kv + wk_E≤ kvk_E+ kwkE, ∀v, w ∈ E.

1.2. Rappels de quelques espaces 5

Remarque 1

Un tel espace vectoriel E muni d’une norme k.kE s’appelle un espace vectoriel normé.

Exemple 1

L’espace vectoriel E = R sur le corps K avec K = R est un espace vectoriel normé muni de la valeur absolue.

Exemple 2

L’espace vectoriel E = Kn

sur le corps K avec K = R est un espace vectoriel normé muni de la norme:

k(x₁, x₂, ..., x_n)k_Kn= k(x₁, x₂, ..., x_n)k₁= |x₁| + |x₂| + .... + |x_n|. (1.1)

Exemple 3

Dans l’espace des fonctions continues sur l’intervalle [0, 1] dans R, noté C([0, 1], R), on définit la norme de la manière suivante :

kf k₁= Z 1 0 |f (t)|dt, (1.2) ou aussi par : kf kp= ( Z 1 0 |f (t)|pdt)p¹. (1.3) ou encore par : kf k∞= sup|f (t)|. (1.4)

Définition 2 Soit E est un espace vectoriel sur le corps K avec K = R ou

K = C. On dit que l’application p(.) : E −→ R+ est une semi-norme sur l’espace E si et seulement si elle vérifie les propriétés suivantes:

1. p(λv) = |λ|.p(v), ∀v ∈ E, ∀λ ∈ K, 2. p(v + w) ≤ p(v) + p(w), ∀v, w ∈ E.

6

1. Préliminaires: Rappels Mathématiques et Lois de comportement et de frottement

Remarque 2

La semi-norme dispose presque les mêmes propriétés qu’ayant la norme k.k_E. La seule différence c’est que la semi-norme d’un vecteur non nul n’est pas nécessairement non-nul.

Remarques 3

On a les deux remarques suivantes:

1. L’élément 0_E désigne l’élément zéro de l’espace E.

2. L’espace E muni de la norme k.kE est appelé "espace normé" et sera noté (E, k.kE).

1.2.2 Espaces de Hilbert

Soit H un espace vectoriel complexe et (u, v) une fonction des variables u, v à valeurs complexes. Alors, on a les définitions suivantes concernant l’espace de Hilbert.i

Définition 3 Un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel ou complexe

muni d’un produit scalaire et qui est complet pour la norme associée.

Remarques 4

On les remarques suivantes :

1. (u, u)_H≥ 0, ∀u ∈ H et (u, u)H= 0_H si et seulement si u = 0_H. 2. (u, v)_H= (v, u)H, ∀u, v ∈ H.

3. (αu + βv, w)_H= α(u, w)_H+ β(v, w)H, ∀u, v, w ∈ H, ∀α, β ∈ R.

Théorème 1 Considérons H un espace de Hilbert et, soit l ∈ H⁰ avec H⁰ est le dual de l’espace H. Alors, il existe un unique élément u ∈ H tel que

l(v) = (u, v)H, ∀v ∈ H1. (1.5)

iV. Barbu, T. Precupanu., Convexity and optimisation in Banach spaces, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1986.

1.2. Rappels de quelques espaces 7 Définition 4 Soient (H1, (., .)_H1) et (H2, (., .)_H2) deux espaces de Hilbert. Le produit de deux espaces H1 par H2 noté H1× H2 sera défini par:

H1× H2= {(a, b) tel que a ∈ H1, b ∈ H2}. (1.6)

Définition 5 La norme sur l’espace produit H1× H2 notée par kak_H1×H2 sera définie par:

kak2

H1×H2 = kxk²_H1+ kyk²H2, ∀a = (x, y) ∈ H1× H2. (1.7)

Définition 6 La fonctionnelle ϕ : H1−→ (−∞, +∞) est dite semi-continue inférieurement (en abréviation s.c.i) au point x ∈ H1 si elle vérifie la propriété suivante:

lim inf

n→+∞ϕ(u_n) ≥ ϕ(u).

Proposition 1 Soit (H1, (., .)_H1) un espace de Hilbert muni du produit scalaire (., .)_H1et, soit a(., .)_H1 : H1×H1−→ R une forme bilinéaire, continue, symétrique et H1–elliptique. Alors, la fonction a : v 7−→ a(v, v) est convexe, et, semi-continue inférieurement. Thèse de Do ctorat en-Sciences, Juin 2016

Proposition 2 Soit la fonction ϕ : H1−→ R et, soit un élément x ∈ H1. Alors ϕ est une fonction convexe si et seulement si on aura :

ϕ(v) − ϕ(u) ≥ (∇ϕ(u), v − u)_H1, ∀u, v ∈ H1. (1.9)

Voici donc un premier résultat.

Corollaire 1 Soit ϕ : H1−→ R une fonction Gâteaux différentiable. Alors, la fonction ϕ est une semi-continue inférieurement.

1.2.3 Espaces de Sobolev

Dans cette partie, nous signalons que toutes les fonctions utilisées seront considérées à valeurs réellesii.

8

1. Préliminaires: Rappels Mathématiques et Lois de comportement et de frottement

Notation 1

Pour un entier naturel k ∈ N et pour tout p ∈ [1, +∞], nous allons introduire dans cette section l’espace C^∞,k,p(Ω) défini par :

C∞,k,p(Ω) = {f ∈ C^∞(Ω) tel que ∂^βf ∈ L^p(Ω), pour tout |β| ≤ k}. (1.10)

Cet espace sera muni de la norme : kf k_k,p= (^X

k,p

kf k^p_Lp(Ω))¹p. (1.11)

Remarque 5

Si p = 2 alors cette norme provient d’un PS (produit scalaire).

Définition 7 Pour tout nombre p ∈ [1, ∞) et pour tout entier k ∈ N. Le

complété de l’espace C^∞,k,p(Ω) est l’espace de Sobolev H^k,p(Ω) muni de la norme k.kk,p.

Remarque 6

Pour tout nombre p ∈ [1, ∞) et pour tout entier k ∈ N, alors il est facile maintenant de définir l’espace de Sobolev qui sera noté tout au long de cette thèse par W^k,p(Ω) d’une manière explicite comme suit :

W^k,p(Ω) = {f ∈ L^p(Ω)| ∀|α| ≤ k, il exsite vα∈ Lp(Ω), | vα= ∂^αu au sens faible}.

Théorème 2 Soit Ω un ensemble ouvert et borné de l’espace Rd et soit p ∈ [1, ∞]. Alors, on les résultats suivants :

1. L^p(Ω) est un espace de Banach.

2. Toute suite de Cauchy de l’espace Lp(Ω) admet une sous-suite qui converge presque partout dans Ω.

1.3. Rappels sur les opérateurs linéaires 9 Corollaire 2 L’espace L²(Ω) est un espace de Hilbert et séparable muni du produit scalaire

(u, v)L2(Ω)= Z

Ω

u(x)v(x)dx, ∀u, v ∈ L²(Ω). (1.13)

De plus, l’espace L2(Ω) vérifie l”inégalité de Cauchy-Schwarz : |

Z Ω

u(x)v(x)dx| ≤ kuk_L2(Ω)kvk_L2(Ω), ∀u, v ∈ L²(Ω). (1.14)

1.3 Rappels sur les opérateurs linéaires

Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert. On note L(H1, H2) l’espace d’opérateurs linéaires continus de H1 dans H2.

Remarque 7

Dans le cas où H1=H2, on peut donc écrire l’espace L(H1, H2) sous la forme L(H1).

1.4 Formes bilinéaires et Opérateurs linéaires

Nous commençons cette section par une présentation détaillée concernant les formes bilinéaires et leurs propriétés.

Formes bilinéaires:

Définition 8 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces vectoriels normés. L’application notée a(., .) : E × F −→ R est dite une fome bilinéaire si pour tout u1, u2, u ∈ E, v1, v2, v ∈ F, et pour tout α1, α2 ∈ R elle vérifiée les deux propriétés suivantes :

10

1. Préliminaires: Rappels Mathématiques et Lois de comportement et de frottement

et

a(u, α₁v₁+ α₂v₂) = α₁a(u, v₁) + α₂a(u, v₂). (1.16)

Remarque 8

Dans le cas spécial ou E = F, on peut dire que la forme bilinéaire a(., .) est une forme bilinéaire symétrique, et on a:

a(u, v) = a(v, u), ∀u, v ∈ E. (1.17)

Définition 9 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces vectoriels normés. L’application notée a(., .) : E × F −→ R est dite continue s’il existe une constante M > 0 tel que

|a(u, v)| ≤ M kuk_E.kvkF, ∀u ∈ E, ∀v ∈ F. (1.18)

Remarque 9

Dans le cas spécial ou E = F, on peut dire que la forme bilinéaire a(., .) est une forme E-elliptique s’il existe une constante m > 0 tel que

|a(u, u)| ≥ mkuk2

E, ∀u ∈ E. (1.19)

Définition 10 Soit (E, k.kE) un espace normé et, soit K un sous-ensemble de l’ensemble E. K est dite convexe s’il vérifie la propriété suivante :

Si pour tout u, v ∈ K alors (1 − t)u + tv ∈ K, ∀t ∈ [0, 1]. (1.20)

Nous définissons dans cette section les opérateurs linéaires et nous décrivons leurs propriétés.

Opérateurs linéaires:

Théorème 3 Soit (E, k.kE) un espace de Banach et, soit le sous-espace fermé F. Alors on a les propriétés suivantes:

1. Le sous-espace fermé F est un espace de Banach muni de la norme k.kF. 2. Si l’espace E est séparable (respectivement E est réflexif), alors le

sous-espace fermé F l’est aussi (respectivement F est réflexif).

Définition 11 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces vectoriels normés. Alors, l’application f : E −→ F est continue si elle vérifie l’une des propriétés suivantes :

1.4. Formes bilinéaires et Opérateurs linéaires 11

1. Pour tout v ∈ E, l’image inverse d’un point f (v) est un voisinage de v, 2. L’image réciproque de tout fermé (resp. tout ouvert ) de l’ensemble d’arrivé

F est un fermé (resp. tout ouvert ) de l’ensemble de départ E,

Remarque 10

L’application f : E −→ F est dite continue si elle vérifie la propriété suivante : ∀v ∈ E, ∀ε > 0, ρ > 0, tel que kv − wkE≤ ρ alors kf (v) − f (w)k_F≤ ε. (1.21)

Définition 12 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces normés. L’opérateur T : E −→ F est dite linéaire si

T (αu + λv) = αT (u) + λT (v), ∀u, v ∈ E, ∀α, λ ∈ R. (1.22)

Notation 2

On note par Lu au lieu L(u) pour tout u ∈ E.

Théorème 4 Soient (E, k.kE) et (F, k.kF) deux espaces normés et, soit l’opérateur linéaire L : E −→ F. Alors, l’opérateur L est continu sur l’espace E s’il existe une constante M > 0 tel que

kLuk_F ≤ M kukE, ∀u ∈ E. (1.23)

Notation 3

kLk_L(E,F)= supkLuk_F

kuk_E ^{, u 6= 0. (1.24)}

Préliminaires: Rappels Mathématiques UMC-Constantine, Juin 2016

12

1. Préliminaires: Rappels Mathématiques et Lois de comportement et de frottement

Lois de comportement et lois de frottement:

Dans le document Modélisation mathématique des problèmes électro-élastique de contact avec frottement (Page 5-41)