Un résultat d’existence et d’unicité

Analyse d’un problème

électro-viscoélastique de

contact avec frottement

_Thèse

de

Do

ctorat

en-Sciences

Ce chapitre intitulé ”Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement” traite un problème de contact dont le matériau est considéré électro-viscoélastique. En premier lieu, nous décrivons le modèle mathématique en incluant toutes les conditions aux bords. Ensuite, nous construisons une formulation variationnelle associée au problème posé à l’étude puis, nous étab-lissons le résultat d’existence et d’unicité de la solution faible.

Contents

3.1 Introduction . . . . 36

3.2 Modèle mathématique . . . . 36

3.3 Formulation variationnelle . . . . 40

3.4 Un résultat d’existence et d’unicité . . . . 45

36

3. Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement

3.1 Introduction

D

ans ce chapitre, nous considérons que le matériel est électro-viscoélastiques avec des conditions aux limites avec frottement de Tresca. En premier point, nous construisons le cadre physique associé à cet phynomène électro-mécanique. Par la suite, nous décrivons le modèle mathématique en incluant toutes les conditions aux bords. Ensuite, nous construisons une formulation variationnelle associée au problème posé à l’étude puis, nous établissons le résultat d’existence et d’unicité de la solution faible. La rédaction de ce chapitre s’inspire de deux publications.

Le contenu de cette dernière partie de la thèse est le suivant. À la section3.2, nous construisons le cadre physique et le cadre mathématique ainsi, le problème continu. À la section3.3, nous posons quelques hypothèses qui seront utiles et nécesaires pour l’étude du problème Pélectro−viscoélastiqueet, nous donnons la formulation variationnelle associée à ce dernier. À la dernière section 3.4 de ce chapitre, nous présentons notre principal résultat d’existence et d’unicité de la solution faible, à savoir le Théorème principal qui sera cité à la fin de notre travail, ainsi que les étapes de la démonstration de ce dernier. Nous clôturons cette étude par une conclusion générale.

3.2 Modèle mathématique

Pour construire cette section, nous basons notre étude sur les relations (2.1)-(2.6) citées dans la section2.2du chapitre2. Ensuite, nous considérons que le matériel est électro-viscoélastique. On sait que le champ des contraintes σ est donné par:

σ = 2θε( ˙u) + 2µε(u) + λ tr ε(u) I − E^∗E(ϕ), (3.1)

D = E ε (u) + αE (ϕ) , (3.2) • σ est le tenseur des contraintes,

3.2. Modèle mathématique 37

• ε(u) = (εij(u)) est le tenseur des déformations, • λ > 0 et µ > 0 les constantes de Lamé,

• Id le tenseur unité de R3.

On suppose que le processus est électro-mécanique et statique le long du processus et donc il est gouverné par la loi d’équilibre:

Div σ + f₀= 0, D_i,i− q₀= 0 dans B, (3.3) où Div σ = (σij,j) représente la divergence concernant le champ du tenseur σ. En tenant compte des relations (2.1)-(2.6) cités dans la section2.2du chapitre2 et (3.1)-(3.3), l’équation d’équilibre sera réduite sous la forme d’une équation scalaire :

div (θ∇ ˙u + µ∇u) + div(e∇ϕ) + f₀= 0, in Ω, (3.4)

div (e∇u − α∇ϕ) = q0, in Ω. (3.5)

Maintenant, nous voulons décrire les conditions aux bords (sur la frontière). Les déplacements étant bloqués sur la frontière Γ1× (−∞, +∞) et le potentiel électrique devient nul sur Γ₁× (−∞, +∞); alors on obtient :

u = 0 sur Γ₁, (3.6)

38

3. Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement

En considérant la normale unitaire ν sur Γ×(−∞, +∞). Nous obtenons donc,

ν = (ν1, ν2, 0) avec νi= νi(x1, x2) : Γ → R, i = 1, 2. (3.8) Nous désignons pour le vecteur v :

• vν : La composante normale, • vτ : La composante tangentielle, qui seront définies par :

v_ν = v · ν, vτ = v − vνν. (3.9) De plus, pour le champ des contraintes σ on note par σ_ν et σ_τ la composante normale et la composante sur la frontière, telles que :

σν= (σν) · ν, (3.10)

et

στ = σν − σνν. (3.11)

En tenant compte des formules (3.3)–(3.8), alors il est facile de donner explicite-ment la formule du vecteur-champ de Cauchy et la composante normale du champ de déplacements sont donnés par:

σν = (0, 0, θ∂νu + µ∂ν˙ , D · ν = e∂νu − α∂νϕ.u + e∂νϕ) . (3.12) En tenant compte de la relation (3.12), il est aisé d’obtenir la formule de la condition électrique sur Γ_b× (−∞, ∞) définie pae :

D · ν = e∂_νu − α∂_νϕ. (3.13) Maintenant, on tire la formule de la condition de traction sur Γ2× (−∞, ∞) définie par :

σν = (0, 0, θ∂νu + µ∂ν˙ u + e∂νϕ) . (3.14)

Remarque 1

La condition électrique sur la partie Γ₃× (−∞, +∞). D’après l’équation (3.8 )-(3.10) on déduit que le déplacement normale est nul, uν = 0, et peut déduire

que :

3.2. Modèle mathématique 39

En tenant compte que le frottement est invariant le long de l’axe ox3, alors on peut modéliser la loi de frottement de la manière suivante :

  

|στ| ≤ g,

σ_τ= −g_{| ˙}^u_u|^˙ si ˙u 6= 0 sur Γ₃. ^(3.16) En regroupant toutes les relations (3.1)–(3.16), alors on obtient le problème

Pélectro−viscoélastique qui sera défini par :

3.2.0 Modèle mathématique

Problème Pélectro−viscoélastique Trouver le champ de déplacements u : Ω → R et le potentiel électrique ϕ : Ω → R tel que

div (θ∇ ˙u + µ∇u) + div (e∇ϕ) + f0= 0, dans Ω, (3.17) div (e∇u − α∇ϕ) = q₀ dans Ω, (3.18)

u = 0 sur Γ1, (3.19) θ∂_νu + µ∂˙ _νu + e∂_νϕ = f₂ sur Γ₂, (3.20)    |σ_τ| ≤ g, στ= −g_{| ˙}^u_u|^˙ si ˙u 6= 0 sur Γ3. (3.21) ϕ = 0 dans Γa. (3.22) e∂_νu − α∂_νϕ = q₂ sur Γb, (3.23) Remarque 2

Il est facile de voir que les deux inconnues définies dans le problème

Pélectro−viscoélastique (3.17)-(3.23) sont : • Le champ de dépalcements u : Ω → R, • Le champ électrique ϕ : Ω → R.

40

3. Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement

3.3 Formulation variationnelle

Nous allons illustrer le passage à une formulation variationnelle notée

PV^{électro−viscoélastique} qui sera traitée dans la section suivante. À cet effet, nous devons suivre les étapes suivantes :

1. Étape 1: Citation de quelques hypothèses,

2. Étape 2: Construction de la formulations variationnelle du problème électro-mécanique envisagé Pélectro−viscoélastique.

Étape 1: Quelques hypothèses:

• Nous supposons aussi que le coefficient de viscosité satisfait la relation suivante:

θ ∈ L^∞(Ω) and there exists θ^∗> 0 such that θ(x) ≥ θ^∗ a.e. x ∈ Ω. (3.24) • Soient les deux espaces suivants :

V = {v ∈ H¹(Ω) : v = 0 sur Γ₁}, W = { ψ ∈ H¹(Ω) : ψ = 0 sur Γ_a}.

Remarques 3

1. Il est bien connu que V est un espace de Hilbert muni par le produit scalaire :

(u, v)_V = Z

Ω

∇u · ∇v dx, ∀u, v ∈ V. L’espace V est muni de la norme :

kvk_V = k∇vk_L2(Ω)2, ∀v ∈ V. (3.25) 2. Il est bien connu aussi que W est un espace de Hilbert muni par le

produit scalaire :

(ϕ, ψ)_W = Z

Ω

3.3. Formulation variationnelle 41

L’espace W est muni de la norme :

kψk_W = k∇ψk_L2(Ω)2, ∀ψ ∈ W. (3.26)

• Nous supposons par la suite que le coefficient de permitivité électrique satisfait :

α ∈ L^∞(Ω) et il existe α^∗> 0 tel que α(x) ≥ α^∗ p.p. x ∈ Ω, (3.27) et le coefficient piézoélectrique satisfait aussi :

µ ∈ L^∞(Ω) et µ(x) > 0 p.p. x ∈ Ω, e ∈ L^∞(Ω) . (3.28)

• Nous supposons dans ce qui suit que les forces volumiques de densité f₀ et les tractions surfaciques de densité f2 ainsi que les densités des charges électriques satisfont :

f₀∈ W1,2(0, T ; L²(Ω)), f₂∈ W1,2(0, T ; L²(Γ₂)), (3.29) et

q0∈ W1,2(0, T ; L²(Ω)), et q2∈ W1,2(0, T ; L²(Γb)) tel que q2= 0 p.p. x ∈ Γb. (3.30) • Finalement, on suppose que le seuil de frottement g et la fonctionnelle

j : V −→ R+ staisfont ce qui suit :

g ∈ L^∞(Γ₃) et g(x) ≥ 0 p.p. x ∈ Γ₃, (3.31) j(v) = Z Γ3 g|v| da ∀v ∈ V. (3.32) Remarque 4

1. Il est facile de voir que les deux applications f ∈ V et q ∈ W sont basées sur le Théorème de représentation de Riesz, avec :

(f, v)_V = Z Ω f0v dx + Z Γ₂ f2v da, (3.33) et (q, ψ)_W = Z Γ_b q₂ψ da − Z Ω q₀ψ dx. (3.34)

42

3. Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement Définition 1

Nous définissons les formes bilinéaires suivantes :

aµ : V × V → R, aθ : V × V → R, ae : V × W → R, a^∗e : W × V → R, et aα: W × W → R, par les égalités suivantes :

a_µ(u, v) = Z Ω µ ∇u · ∇v dx, a_θ(u, v) = Z Ω θ ∇u · ∇v dx, (3.35) a_e(u, ϕ) = Z Ω e ∇u · ∇ϕ dx = a_e(ϕ, u) , a_α(ϕ, ψ) = Z Ω α ∇ϕ · ∇ψ dx. (3.36) Remarque 5

formes bilinéaires aµ, ae et aesont continues, de plus, les formes aµ et aα sont symétrique et, aussi, les formes a_αet a_θsont W -elliptic, donc on aura : aα(ψ, ψ) ≥ α^∗kψk²_W ∀ψ ∈ W, (3.37) et

a_θ(v, v) ≥ θ^∗kvk²_W ∀v ∈ V. (3.38)

Étape 2: Formulation variationnelle:

La formulation variationnelle du Problème Pélectro−viscoélastique est basée sur le résultat suivant :

Lemme 2 Si (u, ϕ) est une solution duProblème PV^{électro−viscoélastique}, alors (u, ϕ) ∈ X et de plus, on a:

a_θ( ˙u, v− ˙u)+a_µ(u, v− ˙u)+a_e(ϕ, v− ˙u)+j(v)−j( ˙u) ≥ (f, v− ˙u)_V ∀v ∈ V, (3.39) aα(ϕ, ψ) − ae(u, ψ) = (q, ψ)W ∀ψ ∈ W. (3.40)

Preuve 4 Nous commençons la démonstration du Lemme2en suivant les étapes suivantes. Soit (u, ϕ) désigne la solution du Problème Pélectro−viscoélastique, nous avons u ∈ V et ϕ ∈ W et, à partir des relations (3.17), (3.18) et (3.19), nous obtenons :

3.3. Formulation variationnelle 43 Z Ω θ∇ ˙u · ∇(v − ˙u) dx + Z Ω µ ∇u · ∇(v − ˙u) dx + Z Ω e ∇ϕ · ∇(v − ˙u) dx = (3.41) Z Ω f0(v − ˙u) dx + Z Γ (µ∂νu + e∂νϕ) (v − ˙u) da ∀v ∈ V, (3.42) et de (3.18) et (3.22) nous avons : Z Ω α ∇ϕ · ∇ψ dx − Z Ω e ∇u · ∇ψ dx = Z Γ (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da − Z Ω q0ψ dx (3.43) ∀ψ ∈ W. • Preuve de 3.39)

De la loi de frottement (3.21) on peut écrire:

− (θ∂_νu + µ∂˙ _νu + e∂_νϕ) ˙u = −g| ˙u| sur Γ₃. (3.44)

Il est facile de voir que pour tout x et y ∈ R, xy ≥ −|x||y|, alors l’équation (3.44) prend la forme:

(θ∂νu + µ∂ν˙ u + e∂νϕ)(v − ˙u) ≥ g| ˙u| − g|v| sur Γ3. (3.45)

Par intégration sur Γ, nous obtenons Z Γ (θ∂νu + µ∂ν˙ u + e∂νϕ)(v − ˙u) da ≥ Z Γ (g| ˙u| − g|v|) da sur Γ3. (3.46)

Le terme à gauche de l’inégalité (3.46) peut-écrire comme suit: Z Γ (θ∂νu + µ∂ν˙ u + e∂νϕ)(v − ˙u) da = Z Γ₁ (θ∂νu + µ∂ν˙ u + e∂νϕ)(v − ˙u) da+ Z Γ2 (θ∂νu + µ∂ν˙ u + e∂νϕ)(v − ˙u) da + Z Γ3 (θ∂νu + µ∂νu + e∂νϕ)(v − ˙˙ u) da ∀v ∈ V.

44

3. Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement obtient: Z Γ (θ∂νu+µ∂ν˙ u+e∂νϕ)(v − ˙u) da = Z Γ3 (θ∂νu+µ∂νu+e∂ν˙ ϕ)(v − ˙u) da ∀v ∈ V. (3.47) On combine (3.46) et (3.47), on aura donc :

Z Γ (θ∂_νu + µ∂˙ _νu + e∂_νϕ)(v − ˙u) da ≥ Z Γ3 g| ˙u| da − Z Γ3 g|v| da sur Γ₃ ∀v ∈ V. (3.48) Maintenant, on utilise (3.32), (3.33), (3.35), (3.36) et (3.48) dans (3.41), alors on obtient :

a_θ( ˙u, v− ˙u)+a_µ(u, v− ˙u)+a_e(ϕ, v− ˙u)+j(v)−j( ˙u) ≥ (f, v− ˙u)_V ∀v ∈ V. (3.49) • Preuve du (3.40)

D’autre part, l’intégrale sur Γ dans la partie gauche de l’inégalité (3.43) peut-écrire sous la forme suivante :

Z Γ (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da = Z Γ_a (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da + Z Γ_b (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da. (3.50) En utilisant (3.21) et (3.22), alors nous obtenons:

Z Γ (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da = Z Γb q2ψ da. (3.51)

Maintenant, nous combinons l’égalité (3.51) avec (3.43), on peut alors obtenir : Z Ω α ∇ϕ · ∇ψ dx − Z Ω e ∇u · ∇ψ dx = Z Γb q2ψ da − Z Ω q0ψ dx ∀ψ ∈ W. (3.52)

En tenant compte de (3.34)–(3.36), on trouve la seconde égalité dans le Lemme

2, c’est-à-dire :

aα(ϕ, ψ) − ae(u, ψ) = (q, ψ)W ∀ψ ∈ W, (3.53) ce qui est conclut la démonstration.

3.4. Un résultat d’existence et d’unicité 45 Problème PV^{électro−viscoélastique}. Trouver le champ de déplacements u : [0, T ] → R et le champ électrique ϕ : [0, T ] → R tel que :

aθ( ˙u, v − ˙u) + aµ(u, v − ˙u) + ae(ϕ, v − ˙u) + j(v) − j( ˙u) ≥ (f, v − ˙u)V, ∀v ∈ V, (3.54) a_α(ϕ, ψ) − a_e(u, ψ) = (q, ψ)_W, ∀ψ ∈ W, (3.55)

3.4 Un résultat d’existence et d’unicité

Dans cette section, nous allons présenter un résultat d’existence et d’unicité de la solution faible.

Théorème 7 Supposons que (3.24)-(3.38) sont satisfaites. Alors il existe une solution unique du problème P^{électro−viscoélastique} ayant la régularité:

u ∈ W^2,2(0, T ; V ), (3.56) et

ϕ ∈ W^1,2(0, T ; W ). (3.57)

Pour montrer ce résultat, nous choisissons la méthode de couplage des inconnues, et de plus, il faut suivre les étapes suivantes

Lemme 3 Soit (u, ϕ) solution du problème Pélectro−viscoélastique ayant la régu-larité (3.56)-(3.57). Alors il existe une fonction notée ¯f ayant la régularité :

¯

f ∈ W^1,2(0, T ; V ) (3.58) et de plus, il existe aussi une forme bilinéaire a(., .) continue et symétrique telle que

aθ( ˙u, v − ˙u) + a(u, v − ˙u) + j(v) − j( ˙u) ≥ ( ¯f , v − ˙u)V, (3.59) ∀v ∈ V, t ∈ [0, T ].

Pour démontrer ce lemme on doit utiliser quelques propriétés des opérateurs.

46

3. Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement

On peut définir à partir du théorème de Riesz les opérateurs suivants :

(Bϕ, ψ)W = aβ(ϕ, ψ), ∀ψ, ϕ ∈ W, (3.60) (Cv, ψ)W = ae(v, ϕ), ∀ψ, ϕ ∈ W, ∀v ∈ V. (3.61) Il est facile de vérifier que les opérateurs cités dans (3.60) et (3.61) vérifiant les propriétés suivantes :

• B est linéaire, symétrique et positif sur l’espace W . • C est linéaire et continu sur l’espace V .

Maintenant, il suffit d’utiliser les relations (3.60)-(3.61) dans la relation (3.54), alors on obtient :

(Bϕ, ψ)W − (Cu, ψ)W = (q, ψ)W, ∀ψ ∈ W, ∀t ∈ [0, T ], (3.62) ce qui donne par la suite la relation entre les deux opérateurs B et C :

Bϕ − Cu = q ∀t ∈ [0, T ]. (3.63)

Nous savons que l’opérateur B est linéaire et continu sur l’espace W , alors B admet forcément un inverse noté B⁻¹ et donc, la dernière relation (3.63) prend la forme suivante :

ϕ = B⁻¹Cu + B⁻¹q ∀t ∈ [0, T ]. (3.64) Nous utilisons la relation (3.64) dans (3.65) pour obtenir l’inégalité suivante : aθ( ˙u, v − ˙u) + aµ(u, v − ˙u) + ae(B⁻¹Cu + B⁻¹q, v − ˙u) + j(v) − j( ˙u) ≥ (f, v − ˙u)V,

(3.65) ∀v ∈ V, ∀t ∈ [0, T ].

En faisant une petite manipulation dans l’inéquation variationnelle3.65pour obtenir :

aθ( ˙u, v− ˙u)+aµ(u, v− ˙u)+ae(B⁻¹Cu, v− ˙u)+j(v)−j( ˙u) ≥ (f, v− ˙u)V−ae(B⁻¹q, v− ˙u), (3.66) ∀v ∈ V.

Définissons maintenant l’opérateur a(., .) sur l’espace V × V et la fonctionnelle ¯

f sur l’intervalle [0, T ] comme suit :

3.4. Un résultat d’existence et d’unicité 47

et

( ¯f , v − ˙u)_V = (f, v − ˙u)_V − ae(B⁻¹Cu, v − ˙u), ∀v ∈ V. (3.68)

Il est aisé de voir que la forme bilinéaire a(., .) est continue et symétrique. De plus, la forme bilinéaire aθ(., .) est elliptique, symétrique et continue. Donc la régularité f ∈ W^1,2(0, T ; V ) et q ∈ W^1,2(0, T ; W ) combinée avec la relation (3.68) donne le premier résultat :

¯

f ∈ W^1,2(0, T ; V ). (3.69)

Pour montrer le second résultat du lemme 3 nous avons besoin du lemme suivant :

Lemme 4 Il existe une seule fonction u ∈ W2,2(0, T ; V ) satisfaite les hypothèses précédentes (3.24)-(3.38).

Démonstration du Lemme 4:

Puisque la forme bilinéaire a(., .) est continue et symétrique, la forme bilinéaire aθ(., .) est continue, coersive et symétrique, et de plus, la fonctionnelle j(.) est propre, convexe et s.c.i sur l’espace V ayant la régularité W1,2(0, T ; V ) alors, l’existence et l’unicité de la solution faible résulte directement du Théorème 5 du chapitre2.

Finalement, nous avons tous les ingrédients et tous les résultats pour présenter la démonstration du Théorème7.

Démonstration du Théorème7:

Nous présentons dans cette partie une démonstration du Théorème7. Soit la solution du problème (3.54)-(3.55) obtenue dans le lemme précédent, et soit la fonction ¯f définie par (3.69). Moyenant la régularité des deux fonctions f et q, et donc nous prouvons l’existence de la solution dans le Théorème7. Maintenant, l’unicité de la solution du problème en déplacement Pélectro−viscoélastique est assurée par le lemme3 combiné avec le lemme4 l’égalité.

48

3. Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement

3.5 Conclusion

En conclusion, dans cette partie de la thèse intitulée ""Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement”, nous avons considéré que le matériel est électro-viscoélastiquesi avec des conditions aux limites et d’une loi de frottement de type de Tresca. Au premier point, nous avons construit une formulation variationnelle associée au problème posé à l’étude. Finalement, nous avons établit quelques résultats d’existence et d’unicité de la solution faible. Cette riche étude ouvre les portes sur les problèmes électro-élastiques régularisés et électro-viscoélastiques régularisés à mémoir longue.

Analyse d’un problème électro-viscoélastique de contact avec frottement UMC-Constantine, Juin 2016

iM. Sofonea, A. Ayadi, M. Dalah, Analysis of an Antiplane Electro-Elastic Contact Problem, Adv. Math. Sci. Appl, P.P. 1-14, Year 2007.

4

Conclusion générale et

perspectives

Thèse de Do ctorat en-Sciences.

4.1 Conclusion générale

D

ans ce travail on a présenté deux problèmes antiplans de contact avec frottement pour des matériaux :

1. Électro-élastiques,

2. Électro-viscoélastiques avec ou sans frottement.

Le but principal a été de voire comment ils se comportent et surtout de trouver l’interface séparant la région de contact de la région de non contact sur le plan pratique.

Dans les chapitres que nous avons étudié, nous considérons que le matériel est électro-élastiques et électro-viscoélastiques avec des conditions aux limites avec frottement de Tresca. En premier point, nous construisons le cadre physique associé à chaque phynomène mécanique ou électro-mécanique. Par la suite, nous décrivons le modèle mathématique en incluant toutes les conditions aux bords. Ensuite, nous construisons une formulation variationnelle associée au problème posé à l’étude puis, nous établissons les résultats d’existence et d’unicité de la solution faible.

50 4. Conclusion générale et perspectives

Dans le document Modélisation mathématique des problèmes électro-élastique de contact avec frottement (Page 57-72)