Conclusion

Analyse d’un problème

électro-élastique de

contact avec frottement

_Thèse

de

Do

ctorat

en-Sciences

Le chapitre intitulé ”Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement” traite un problème antiplan dont le matériau est considéré électro-élastique. Nous essayerons de dériver une formulation variationnelle du problème que l’on notera par la suite P^{électro−élastique}. Ensuite, nous présentons quelques résultats d’existence et d’unicité de la solution faible.

Contents

2.1 Introduction . . . . 20

2.2 Cadre physique et modèle mathématique . . . . 20

2.3 Position du problème continu . . . . 24

2.4 Quelques hypothèses . . . . 25

2.5 Formulation variationnelle . . . . 27

2.6 Un Résultat d’existence et d’unicité . . . . 29

20

2. Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement

2.1 Introduction

L

e chapitre2 comporte essentiellement une étude détaillée d’un problème purement mécanique. Le matériau ici est considéré parfaitement électro-élastique. Après position du cadre physique et le modèle mathématique associé au problème antiplan électro-élastique, nous essayerons de dériver une formulation variationnelle du problème que l’on notera par la suite Pélectro−élastique. Ensuite, nous présentons quelques résultats d’existence et d’unicité de la solution faible. Cette étude pourrait être utile et nécessaire pour la réalisation de cette partie de la thèse.

La structure de ce chapitre est la suivante. Dans la première section 2.2 nous présentons le cadre physique et modèle mathématique. La section 2.3 comporte une construction du problème continu que l’on notera par la suite

Pélectro−élastique. La section2.4traite une liste des hypothèses concernant les charges et les forces surfaciques et volumiques, le seuil de frottement, les formes bilinéaires obtenues et la fonctionelle j(.). Ensuite, nous écrivons la formulation variationnelle de ce modèle. À la fin de ce chapitre, nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution faible.

2.2 Cadre physique et modèle mathématique

Dans le deuxième chapitre2intitulé ”Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement”, nous insistons sur cette partie qui sera utilisée dans le chapitre qui suit en nous le mettons en relation dans l’étude des problèmes qui sont purement électro-viscoélastique. Une fois ce constat établi, nous rajoutons seulement dans le chapitres3le coefficient de viscosité θ. Néamoins, pour pouvoir appliquer ces forces et ces chages, il a fallu considérer de façon plus approfondie que le matériau est un corps cylindrique noté B de R³.

Ensuite, nous supposons ce qui suit :

• Le corps B est cylindrique avec B = Ω × (−∞, +∞), • Le domaine borné Ω ⊂ R2; repéré dans le plan (Ox1x2),

• La frontière ∂Ω = Γ du domaine Ω qui est divisée en trois parties disjointes et mesurables Γ1, Γ2and Γ3avec mes Γ1 > 0,

2.2. Cadre physique et modèle mathématique 21

• Le cylindre est bloqué sur Γ1 × (−∞, +∞), subit à la fois des forces volumiques f0 dans B et des forces surfaciques f2 sur Γ2× (−∞, +∞), • Le cylindre est en contact avec une fondation tout au long de la partie

Γ3× (−∞, +∞). Nous supposons aussi que :

• Les forces volumiques f₀ dans B et les forces surfaciques f₂ sur Γ₂× (−∞, +∞) sont de la forme suivante :

f₀

|{z}

Les F orces V olumiques

= (0, 0, f₀) avec f₀= f₀(x₁, x2) : Ω → R, (2.1)

f2 |{z}

Les F orces Surf aciques

= (0, 0, f2) avec f2= f2(x1, x2) : Γ2→ R. (2.2)

• La charge volumique q₀et la charge surfacique q₂appliquée sur la frontière Γb sont de la forme suivante :

q0 |{z} La Charge V olumique = q0(x1, x2) : Ω → R, (2.3) q2 |{z}

La Charge Suf acique

= q2(x1, x2) : Γb→ R. (2.4)

• Par la suite, nous supposons que f₀et f₂et les charges q₀et q₂ engendrent une déformation sur le cylindre avec un déplacement u tel que

u |{z} Le Champ de Déplacements = (0, 0, u) avec u = (0, 0, u) (2.5) avec u = u (x₁, x2) : Ω → R, ϕ = ϕ (x1, x2) : Ω → R. (2.6)

22

2. Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement Remarques 1

1. La notation “ · ” représente le produit scalaire dans l’espace R3; ce qui nous permet d’écrire :

u · v = uivi, kvk = (v · v)^1/2 pour tout u = (ui) , v = (vi) ∈ R³. 2. La notation k · k représente la norme Euclidiènne dans l’ espace S3; on a

alors

σ · τ = σijτij, kτ k = (τ · τ )^1/2 pour tout σ = (σij) , τ = (τij) ∈ S³. 3. On note souvent par E (ϕ) = (E_i(ϕ)) le champ électrique.

4. Le champ électrique de déplacements sera noté D = (Di). 5. On note par le champ électrique :

E(ϕ) = −∇(ϕ).

Comme le matériau dans cette partie est supposé électro-élastique, on peut écrire son loi de comportement de la manière suivante :

σ = λ ( tr ε (u)) I + 2µε (u) − E^∗E (ϕ) , (2.7)

D = E ε (u) + αE (ϕ) . (2.8)

Notations 1

• σ est le tenseur des contraintes,

• ε(u) = (εij(u)) est le tenseur des déformations, • λ > 0 et µ > 0 les constantes de Lamé,

• Id le tenseur unité de R3.

Nous basons notre étude sur les relations (2.1),(2.3), et (2.4), alors, il est aisé de voir que la matrice concernant le champ des contraintes et le champ électrique seront écrites sous la forme suivante :

σ =   0 0 σ13 0 0 σ₂₃ σ₃₁ σ₃₂ 0  , (2.9)

2.2. Cadre physique et modèle mathématique 23 D =   eu,₁−αϕ,1 eu,₂−αϕ,₂ 0  . (2.10) Remarque 2

La matrice σ définie par (2.9) est une matrice creuse, son déterminant vaut 0 et aussi elle est symétrique car :

σ13= σ31= µ∂x₁u σ23= σ32= µ∂x₂u. (2.11) En tenant compte de la relation (2.10) on peut donc avoir explicitement la matrice E^∗v sous la forme :

E^∗v =

 

0 0 ev₁

0 0 ev2

ev1 ev2 ev3 

, ∀v = (vi) ∈ R³. (2.12)

Dans tout ce qui suit, nous considérons que le processus est électro-mécanique et donc la loi d’équilibre sera écrite comme suit :

Div σ + f0= 0, Di,i− q0= 0 dans B,

Il est facile de voir que l’équation d’équilibre sera réduite sous la forme d’une équation scalaire en se basant sur les relations (2.1), (2.2), (2.5), (2.6), (2.9) et (2.10), et donc :

div (µ∇u) + div (e∇ϕ) + f₀= 0, dans Ω, (2.13) div(e∇u) − div(α∇ϕ) = q0, dans Ω. (2.14)

Nous supposons que les déplacements sont bloqués sur la frontière Γ₁×(−∞, +∞) et le potentiel électrique devient nul sur Γ1× (−∞, +∞); alors, (2.5) et (2.6) donne:

u = 0 sur Γ₁, ϕ = 0 sur Γ_a. (2.15) En utilisant les relations (2.9) et (2.10) on peut conclure que le vecteur-champs du Cauchy et la composante normale du champs des déplacements sont donnés par :

24

2. Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement

Maintenant, les (2.2), (2.4) et (2.16), la condition de traction sur Γ2× (−∞, ∞) et la condition électrique sur Γ_b× (−∞, ∞) donne la condition suivante :

µ∂νu + e∂νϕ = f2 sur Γ2, e∂νu − α∂νϕ = q2 sur Γb. (2.17)

Utilisons la formule (2.5) on peut donc déduire que :

u_τ= (0, 0, u) , σ_τ = (0, 0, σ_τ) où σ_τ = (0, 0, µ∂_νu + e∂_νϕ) . (2.18) On suppose que le frottement est invariant le long de l’axe ox₃ et de plus, il est modélisé par la loi de frottement suivant :

   |στ| ≤ g, στ = −g_|u|^u si u 6= 0 sur Γ3. ^(2.19) Remarque 3

La fonction g : Γ₃ → R+ est une fonction donnée et, est appelée ”seuil de frottement”.

2.3 Position du problème continu

Conclusion 1

E

n conclusion, en réunissant les équations et les conditions aux limites ci-dessus, nous obtenons que dans un processus antiplani d’un corps électro-élastique, le champ de déplacements u : Ω → R et le champ électrique ϕ : Ω → R satisfont le problème suivant :

Problème Pélectro−élastique. Trouver le champ de déplacements u : Ω → R et le potentiel électrique ϕ : Ω → R tel que

div (µ∇u) + div (e∇ϕ) + f0= 0, dans Ω, (2.20) div (e∇u) − div (α∇ϕ) = q0 dans Ω, (2.21)

iM. Sofonea, A. Ayadi, M. Dalah, Analysis of an Antiplane Electro-Elastic Contact Problem, Adv. Math. Sci. Appl, P.P. 1-14, Year 2007.

2.4. Quelques hypothèses 25 u = 0 sur Γ1, (2.22) µ∂_νu + e∂_νϕ = f₂ sur Γ₂, (2.23)    |στ| ≤ g, σ_τ = −g_|u|^u si u 6= 0 sur Γ₃, ^{, (2.24)} ϕ = 0 dans Γa, (2.25) e∂_νu − α∂_νϕ = q₂ sur Γ_b. (2.26)

2.4 Quelques hypothèses

Pour étudier le problème défini par (2.20)-(2.26), on suppose que le coefficient de permitivité électrique, le coefficient de Lamé et le coefficient piézoélectrique satisfont :

α ∈ L^∞(Ω) et il existe α^∗> 0 tel que α(x) ≥ α^∗ p.p. x ∈ Ω, (2.27) µ ∈ L^∞(Ω) et µ(x) > 0 p.p. x ∈ Ω, (2.28) et

e ∈ L^∞(Ω) . (2.29)

Nous supposons dans ce qui suit que les forces volumiques de densité f0 et les tractions surfaciques de densité f2 ont les régularités:

f0∈ L2(Ω), f2∈ L2(Γ2). (2.30) Nous supposons aussi que les densités des charges électriques satisfait :

q₀∈ L2(Ω), et q₂∈ L2(Γb) tel que q₂= 0 p.p. x ∈ Γb. (2.31)

On suppose aussi que le seuil de frottement g satisfait ce qui suit :

g ∈ L^∞(Γ₃) et g(x) ≥ 0 p.p. x ∈ Γ₃. (2.32)

Soit la fonctionnelle j : V −→ R+ définie par la relation: j(v) =

Z Γ3

26

2. Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement

On défini souvent les deux applications f ∈ V et q ∈ W respectivement par : (f, v)_V = Z Ω f0v dx + Z Γ2 f2v da, ∀v ∈ V. (2.34) (q, ψ)_W = Z Γ_b q₂ψ da − Z Ω q₀ψ dx, ∀ψ ∈ W. (2.35)

Par la suite, nous introduisons les deux espaces suivants : V = {v ∈ H¹(Ω) : v = 0 sur Γ1}, et

W = { ψ ∈ H¹(Ω) : ψ = 0 sur Γ_a}.

Notation 2

Notons par X = V × W comme étant l’espace produit de V par W .

Remarque 4

1. Il est bien connu que V et W sont des espaces de Hilbert muni par les produits scalaires : (u, v)_V = Z Ω ∇u · ∇v dx ∀u, v ∈ V, (ϕ, ψ)_W = Z Ω ∇ϕ · ∇ψ dx ∀ϕ, ψ ∈ W.

2. De plus, les normes associées aux espaces V et W sont définies par : kvk_V = k∇vk_L2(Ω)2 ∀v ∈ V, kψk_W = k∇ψk_L2(Ω)2 ∀ψ ∈ W (2.36)

3. À partir du théorème de trace de Sobolev, on déduit qu’il existe deux constantes positives c_V > 0 et c_W > 0 telle que :

Il existe deux constantes positives cV > 0 et c_W > 0 satisfont :

kvk_L2(Γ3)≤ cV kvk_V ∀v ∈ V, (2.37) et

2.5. Formulation variationnelle 27

Soit X=V×W un espace de Hilbert muni du produit scalaire noté ( · , · ) et par la norme notée k · k_X. Par la suite, nous définissons les formes bilinéaires suivantes aµ: V × V → R, ae: V × W → R, ae: W × V → R, et aα: W × W → R, par les égalités suivantes:

aµ(u, v) = Z Ω µ ∇u · ∇v dx, (2.39) ae(u, ϕ) = Z Ω e ∇u · ∇ϕ dx = ae(ϕ, u) , (2.40) a_α(ϕ, ψ) = Z Ω α ∇ϕ · ∇ψ dx, (2.41)

pour tout u, v ∈ V , ϕ, ψ ∈ W . Les hypothèses (2.27)-(2.35) impliquent que les intégrales précédentes sont bien-définies et, nous utilisons (2.36) et (2.37), il suit que les formes bilinéaires aµ, ae et ae sont continues; de plus, les formes aµ et aαsont symétriques et, aussi, la forme aαest W -elliptic, donc

aα(ψ, ψ) ≥ α^∗kψk²_W ∀ψ ∈ W. (2.42)

2.5 Formulation variationnelle

Dand cette section, nous allons présenter dans le Lemme qui suit la formulation variationnelle du Problème Pélectro−élastique défini par (2.20)-(2.26).

Lemme 1 Supposons que le champ de dépalcements u : Ω → R et le potentiel

électrique ϕ : Ω → R sont des solutions du Problème Pélectro−élastique, alors (u, ϕ) ∈ X et de plus, u et ϕ vérifiant le système non-linéaire suivant :

aµ(u, v − u) + ae(ϕ, v − u) + j(v) − j(u) ≥ (f, v − u)V, ∀v ∈ V, (2.43) a_α(ϕ, ψ) − a_e(u, ψ) = (q, ψ)_W, ∀ψ ∈ W. (2.44)

Preuve 1 La démonstration du Lemme1s’articule sur les points suivants. À cet effet, on suppose que le couple (u, ϕ) est solution du Problème P^{électro−élastique} défini par (2.20)-(2.26). Comme (u, ϕ) ∈ X et, en tenant compte des relations (2.20), (2.21) et (2.22), nous pouvons écrire donc :

Z Ω α ∇ϕ · ∇ψ dx − Z Ω e ∇u · ∇ψ dx = Z Γ (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da − Z Ω q0ψ dx (2.45) ∀ψ ∈ W.

28

2. Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement

Comme Γ est divisé en trois parties Γ1, Γ2 et Γ3, alors l’intégrale à gauche de l’inégalité (2.45) peut s’écrire de la manière suivante :

Z Γ (µ∂_νu + e∂_νϕ)(v − u) da = Z Γ₁ (µ∂_νu + e∂_νϕ)(v − u) da+ Z Γ2 (µ∂νu + e∂νϕ)(v − u) da + Z Γ3 (µ∂νu + e∂νϕ)(v − u) da ∀v ∈ V. (2.46)

En utilisant les relations (2.33), (2.34), (2.39) et (2.40) alors on obtient : aµ(u, v − u) + ae(ϕ, v − u) + j(v) − j(u) ≥ (f, v − u)V ∀v ∈ V. (2.47)

Preuve du (2.44):

L’intégrale sur Γ dans la partie gauche de l’inégalité (2.45) peut écrire sous la forme suivante : Z Γ (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da = Z Γa (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da + Z Γb (µ∂νu − e∂νϕ)ψ da. (2.48) En utilisant (2.24) et (2.25) et nous combinons l’égalité (2.48), on obtient donc :

Z Ω α ∇ϕ · ∇ψ dx − Z Ω e ∇u · ∇ψ dx = Z Γb q2ψ da − Z Ω q0ψ dx ∀ψ ∈ W. (2.49)

D’après les relations (2.35), (2.40) et (2.41), on tombe sur la seconde égalité définie dans le Lemme1. Ce qui conclut la démonstration.

En conclusion

D’après le Lemme1on peut écrire la formulation variationnelle du Problème

P^{électro−élastique} défini par (2.20)-(2.26) comme suit :

Problème PV^{électro−élastique}. Trouver le champ de déplacements u : Ω → R et le champ électrique ϕ : Ω → R tels que

aµ(u, v − u) + ae(ϕ, v − u) + j(v) − j(u) ≥ (f, v − u)V, ∀v ∈ V, (2.50) a_α(ϕ, ψ) − a_e(u, ψ) = (q, ψ)_W, ∀ψ ∈ W. (2.51)

Quelques Notations

2.6. Un Résultat d’existence et d’unicité 29

1. La forme bilinéaire a( · , · ) : X × X → R:

a(x, y) = aµ(u, v − u) + aα(ϕ, ψ) + ae(ϕ, v − u), (2.52) ∀x = (u, ϕ) ∈ X, ∀y = (v, ψ) ∈ X.

2. La fonctionnelle J (.) : X → R:

J (x) = j(u), ∀x = (u, ϕ) ∈ X. (2.53)

3. L’élément F est supposé comme suit :

F = (f, q) ∈ X. (2.54)

En conclusion

En tenant compte des relations (2.52), (2.53) et (2.54) dans (2.50) et (2.51), nous pouvons écrire le problème noté PVG^{électro−élastique} défini par :

Problème PVG^{électro−élastique}. Trouver le champ de déplacements x ∈ X tel que

a(x, y − x) + J (y) − J (x) ≥ (F, y − x)X, ∀y ∈ X. (2.55)

2.6 Un Résultat d’existence et d’unicité

Nous donnons notre principal résultat portant sur l’existence et l’unicité des solutions faibles pour le champ de déplacements u : Ω → R et le poten-tiel électrique ϕ : Ω → R des problèmes précédents PV^{électro−élastique} et

PVG^{électro−élastique}; ainsi que quelques étapes élémentaires de la démonstra-tion de ce résultat.

Théorème 5 Soient les problèmes :

Problème PV^{électro−élastique}. Trouver le champ de déplacements u : Ω → R et le champ électrique ϕ : Ω → R tel que :

30

2. Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement

aα(ϕ, ψ) − ae(u, ψ) = (q, ψ)W, ∀ψ ∈ W. (2.57) et

Problème PVG^{électro−élastique}. Trouver le champ de déplacements x ∈ X tel que :

a(x, y − x) + J (y) − J (x) ≥ (F, y − x)X, ∀y ∈ X. (2.58)

Alors les deux problèmes précédents sont équivalents.

Preuve 2 On suppose que le champ de déplacements u : Ω → R et le champ

électrique ϕ : Ω → R est solution du problème PV^{électro−élastique}. En faisant un changement de la variable ψ par l’élément (ψ − ϕ) dans la relation (2.51), puis, après certaines manipulations on obtient :

a_µ(u, v − u) + a_e(ϕ, v − u) + a_α(ϕ, ψ − ϕ) − a_e(u, ψ − ϕ)+ + j(v) − j(u) ≥ (f, v − u)_V + (q, ψ − ϕ)_W.

En tenant compte des relations (2.52), (2.53) et (2.54), alors pour tout u : Ω → R et ϕ : Ω → R, on peut écrire explicitement (2.58). Ce qui conclut la démonstration de la première implication.

Dans la deuxième étape nous supposons que le champ de déplacements u : Ω → R et le champ électrique ϕ : Ω → R est solution du Problème PVG^{électro−élastique}. La même chose ici, en faisant un changement concernant la forme bilinéaire a( · , · ) par (2.54), (F, y − x)X par (2.53) et la fonctionnelle J ( · ) par (2.52); alors, pour tout (v, ψ) ∈ X on obtient la demande de la démonstration.

La section qui suit comporte un résultat d’existence et d’unicité :

Théorème 6 On suppose que (2.27)-(2.35) sont satisfaitent. Alors, le problème variationel :

Problème PVG^{électro−élastique}. Trouver le champ x ∈ X tel que

a(x, y − x) + J (y) − J (x) ≥ (F, y − x)X, ∀y ∈ X. (2.59) possède une et une seule solution notée x = (u, ϕ) qui satisfaite (2.59).

Preuve 3 Notons tout d’abord que la preuve de ce théorème est basée sur des

arguments et des propriétés des inéquations variationnelles qu’on va les notées ici.

2.6. Un Résultat d’existence et d’unicité 31

Soit X un espace de Hilbert muni du produit scalaire ( · , · )X et, soit la norme associée k · k_X et, on considère le problème défini par (2.59).

Quelques Propriétés:

1. La forme a(., .) vérifiant :

a : X × X → R est une forme bilinéaire symétrique et (2.60)

2. La forme b(., .) vérifiant :

b : X × X → R est une forme bilinéaire symétrique et il existe M⁰> 0 tel que |b(u, v)| ≤ M⁰.kukXkvkX, pour tout u, v ∈ X.

(2.61) 3. Les majorations suivantes satisfont :

•

il existe M > 0 tel que |a(u, v)| ≤ M.kukXkvkX, pour tout u, v ∈ X, (2.62) •

il existe m > 0 tel que a(v, v) ≥ mkvk²_X, pour tout v ∈ V. (2.63) 4. La fonctionnelle j(.) :

j : X → R, (2.64)

est convexe et semi-continue inférieurement.

Dans le reste de ce chapitre, nous supposons que (2.27)-(2.35) sont satisfaites. En se basant sur la relation (2.28), et donc, on obtient que la forme bilinéaire définie par(2.52) qui vérifie :

|a(x, y)| ≤ kµkL∞(Ω)+ kαkL∞(Ω)+ 2kekL∞(Ω)
kxkX.kykX, ∀x, y ∈ X, (2.65) Comme la forme bilinéaire a( · , · ) est elliptique et par conséquent de la dernière ine´galité, on obtient :

32

2. Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement

En tenant compte de (2.32), on aura rapidement :

J (x) = j(u) ≤ ckuk_L2(Γ3)≤ ckukV ≤ ckxkX, ∀x ∈ X, (2.67)

Utilisons le théorème6, il suit que le problème PVG^{électro−élastique}admet une et une seule solution notée x = (u, ϕ) ∈ X. Maintenant, nous couplons les deux théorèmes5et 6, il suit que le problème PV^{électro−élastique} admet une et une seule solution notée x = (u, ϕ)X. Cette solution peut considérer comme étant la solution faible du problème antiplane de contact P^{électro−élastique}.

Remarque 6

On peut conclure par utilisation du théorème précédent5que le couple x = (u, ϕ) souvent résout le problème variationnelle PVG^{électro−élastique}, et par la suite, on peut dire que l’élément x est "solution faible" du problème antiplane de contact PVG^{électro−élastique}.

2.7 Conclusion

En conclusion, dans cette partie de la thèse, nous avons considérer que le matériel est électro-élastiques avec des conditions aux limites avec frottement de Tresca. Au premier point, nous construisons une formulation variationnelle associée au problème posé à l’étude puis, nous établissons les résultats d’existence et d’unicité de la solution faible en se basant sur des propriétés des inéquations variationnelles d’évolution.

2.7. Conclusion 33

Analyse d’un problème électro-élastique de contact avec frottement UMC-Constantine, Juin 2016

Dans le document Modélisation mathématique des problèmes électro-élastique de contact avec frottement (Page 41-57)