LE REGIME SINUSOIDAL FORCE EN ELECTRICITE

LE REGIME SINUSOIDAL FORCE EN LE REGIME SINUSOIDAL FORCE EN

ELECTRICITE ELECTRICITE

On a vu, dans les chapitres précédents, la réponse de circuits électriques à un échelon de tension. Le régime permanent est alors un régime continu.

Si on alimente maintenant les mêmes circuits avec un GBF délivrant une tension sinusoïdale, alors le régime permanent sera lui aussi sinusoïdal.

1. Notation complexe

Considérons le circuit RLC série alimenté par un GBF:

La tensione(t) délivrée par le GBF est sinusoïdale et peut s'écrire e(t)=Ecos(ωt) .

La présence des dipôles dans le circuit va introduire un déphasageφ entre la tension délivrée par le GBF et le courant parcourant l e c i r c u i t : φ=φ_i−φ_e ( d é p h a s a g e d e l'intensité i(t) par rapport à la tension e(t)).

L'intensité i(t) peut alors s'écrire i(t)=Icos(ωt+φ) .

Pour faciliter la description des circuits en régime sinusoïdal forcé, on associe aux signaux réels des signaux complexes tels que:

• à e(t)=Ecos(ωt) , on associe le signal complexe e(t)=Ee^jωt (avec j²=−1 ). On peut retrouver le signal réel grâce aux propriétés de l'exponentielle complexe:

e(t)=Ee^jωt=E(cos(ωt)+jsin(ωt)) d o n c e(t)=Ecos(ωt)=ℜ(e(t)) . O n a a u s s i E=∣^e(t)∣ .

• à i(t)=Icos(ωt+φ) , o n a s s o c i e l e s i g n a l c o m p l e x e i(t)=Ie^j(ωt+φ)⇔i(t)=Ie^jφe^jωt⇔i(t)=Ie^jωt où I=Ie^jφ est l'amplitude complexe du signal.

On a i(t)=ℜ(i(t)) et

{

Il est aussi nécessaire de savoir dériver et intégrer ces signaux complexes: travaillons sur l'exemple de l'intensité du courant i(t)=Icos(ωt+φ) à laquelle on associe le signal complexe

i(t)=Ie^j(ωt+φ)⇔i(t)=Ie^jωt . On a ^{d i(t)}

dt =jωIe^jωt⇔d i(t)

dt =jωi(t) . Donc en notation complexe,dériver par rapport au temps revient à multiplier le signal complexe par jω.

O n a

∫

∫

Ainsi, traiter les circuits à l'aide de la méthode complexe va permettre de transformer les équation différentielles les décrivant en équations algébriques dans le corps des complexes.

2. Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé

2.1. Loi d'Ohm complexe et impédance complexe

On associe aux signaux réels les signaux complexes:

i(t)=Ie^j(ωt+φi)⇔i(t)=Ie^jωt avec I=Ie^jφi u(t)=Ue^j(ωt+φu)⇔u(t)=Ue^jωt avec U=Ue^jφu On peut généraliser la loi d'Ohm vue pour les résistance à tout type de dipôle et on a u(t)=Z i(t) ⇔Ue^jωt=Z Ie^jωt⇔ U=Z I où Z est l'impédance complexe du dipôle.

On a ainsi ^Z=U

I ⇔Z=Ue^jφu

Ie^jφi ⇔Z=U

I e^j(φu−φi)⇔Z=Ze^jφ avec

{

φ=φ_u−φ_i le déphasage entre la tension aux bornes du dipôle et l'intensité du courant le traversant

2.2. Impédances complexes des dipôles usuels

• Résistance:

La loi d'Ohm u(t)=R i(t) devient u(t)=R i(t) en notation complexe. On en déduit Z_R=u(t)

i(t)=R=

∣

∣

La tension aux bornes de la résistance et le courant la traversant sont en phase.

• Bobine:

L a r e l a t i o n c o u r a n t - t e n s i o n u(t)=Ldi(t)

dt devient u(t)=L jωi(t) .

On en déduit Z_L=u(t)

i(t)=j Lω=Lωe^j

π2 .

On a Z_L=

∣

∣

2 . L'intensité du courant et la tension sont en quadrature de phase, la tension étant en avance sur le courant.

Comportements asymptotiques:

• à basse fréquence: ω →0 donc Z_L=Lω →0 et la bobine se comporte comme un fil.

• à haute fréquence: ω →+∞ donc Z_L=Lω →+∞ et la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert.

• Condensateur:

L a r e l a t i o n c o u r a n t - t e n s i o n i(t)=Cdu(t)

dt devient i(t)=C jωu(t) .

On en déduit Z_C=u(t) i(t)= 1

j Cω= 1 Cωe^−j

π2 .

O n a Z_C=

∣

∣

Comportements asymptotiques:

• à basse fréquence: ω →0 donc Z_C= 1

Cω→+∞ et le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

• à haute fréquence: ω →+∞ donc Z_C= 1

Cω→0 et le condensateur se comporte comme un fil.

2.3. Lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal forcé

Les lois de Kirchhoff sont valables en régime variable dans le cadre de l'ARQS. Dans le cas particulier du régime sinusoïdal forcé, on peut les écrire en notation complexe:

{ ^∑

^∑

{ ^∑

^∑

{ ^∑

^∑

2.4. Associations de dipôles en régime sinusoïdal forcé

• Association série:

La loi d'additivité des tensions et la loi d'Ohm complexe donnent:

u=u₁+u₂

⇔Z_éqi=(Z₁+Z₂)i

⇔Z_éq=Z₁+Z₂

• Association parallèle:

La loi des noeuds et la la loi d'Ohm complexe donnent:

i=i₁+i₂

⇔ u

Z_éq=u( 1 Z₁+ 1

Z₂)

⇔ 1 Z_éq= 1

Z₁+ 1

Z₂⇔Z_éq= Z₁Z₂ Z₁+Z₂

3. Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé

3.1. Régime transitoire et régime sinusoïdal forcé

Le circuit est soumis à une excitation sinusoïdale de la part du GBF qui délivre une tension e(t)=Ecos(ωt) . La loi des mailles et les différentes relations tension- courant pour les dipôles permettent d'aboutir à l'équation différentielle u_L+u_R+u_C=e(t)⇔Lq¨+Rq˙+q

C=Ecos(ωt) .

La solution de cette équation différentielle est la somme:

• d'une solution homogène, solution de l'équation Lq+¨ Rq+˙ q

C=0 qui décrit le régime libre du circuit (en l'absence d'excitation) et traitée dans le chapitre précédent.

• d'une solution particulière qui décrit le régime permanent. Le régime permanent est de même nature que l'excitation imposée au circuit. La solution particulière sera donc ici une fonction sinusoïdale du temps. Autrement dit, en régime permanent, les grandeurs du circuit vont osciller avec la pulsation imposée par le GBF: on parle alors de régime forcé.

Circuit R,L,C série avec L = 20 mH et C = 1µF (a) régime libre pour R = 50 Ω (pseudo-périodique).

(b) établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz pour R = 50 Ω.

(c) régime libre pour R = 283 Ω (critique).

(d) établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz pour R = 283 Ω.

(e) régime libre pour R = 1 kΩ (apériodique).

(f) établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz pour R = 1 kΩ.

On constate que dans chaque cas, le régime transitoire est très court (autrement dit la solution homogène tend très vite vers 0) et on pourra le négliger au profit de l'étude du régime permanent.

3.2. Réponse en courant du circuit RLC série à une excitation sinusoïdale

On s'intéresse ici à la réponse en courant du circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé.

Pour simplifier l'étude, on utilise la méthode complexe.

A e(t)=Ecos(ωt) , on associe le signal complexe e(t)=Ee^jωt .

A i(t)=Icos(ωt+φ) , on associe le signal complexe i(t)=Ie^j(ωt+φ)⇔i(t)=Ie^jωt o ù

I=Ie^jφ .

On applique la loi des mailles complexe pour mettre le circuit en équation:

u_R(t)+u_L(t)+u_C(t)=e(t)

⇔(Z_R+Z_L+Z_C)i(t)=e(t)

⇔(R+jLω+ 1

j Cω)Ie^jωt=Ee^jωt

⇔I= E R+j(Lω− 1

Cω)

Rappel: en complexe, diviser par j revient à multiplier par - j.

On introduit:

• la pulsation propre ω₀ telle que ω₀= 1

√^LC

• le facteur de qualité Q tel que Q=Lω₀

R = 1

RCω₀=1 R

√

Ainsi I= E

R+j(Lω− 1 Cω)

= E

R(1+j(Lω R − 1

RCω)) .

O r ^L R=Q

ω₀ et ¹

RC=Qω₀ donc I= E/R 1+jQ( ωω₀−ω₀

ω )

. Il s'agit de l'amplitude complexe de l'intensité du courant.

Cette amplitude complexe est indépendante du temps. Par contre elle dépend de la pulsation ω (ou de la fréquence f) imposée par le GBF et on peut s'intéresser à ses variations en fonction de cette pulsation et mettre en évidence le phénomène de résonance.

3.3. Résonance en intensité

3.3.1. Mise en évidence expérimentale

Pour avoir une image du courant, il suffit d'observer la tension aux bornes de la résistance dans le circuit RLC série. On choisitR = 1,0 kΩ, L = 20 mH etC = 51 nF. Le GBF délivre une tension sinusoïdale d'amplitude 1 V et de fréquence f variable. On obtient les oscillogrammes suivants, pour différentes valeurs de f.

L'amplitude de la tension aux bornes de la résistance croît lorsqu'on se rapproche de f = f₀ = 5 kHz, où elle vaut presque celle de l'entrée. Elle est d'autant lus faible que f s'éloigne de f₀. Le passage de l'amplitude de la tension aux bornes de la résistance par un maximum est appelé résonance.

On observe que pourf < 5 kHz, la tension aux bornes de la résistance est en avance sur la tension aux bornes du GBF alors quef > 5kHz, elle est en retard. Les tensions sont en phase pour f = 5 kHz.

3.3.2. Amplitude de l'intensité

L'amplitude de l'intensité est le module de l'amplitude complexe:

I=∣I∣=

∣

∣

_√

2

On cherche les variations de I avec la pulsation ω (ou avec la fréquence car ω=2πf ).

Comportement asymptotique

• à basse fréquence ω≪ω₀ (mathématiquement ω →0 ), I→0 .

• à haute fréquence: ω≫ω₀ (mathématiquement ω →+∞ ), I→0 . E/R étant un terme constant, I passe par un maximum quand 1+Q²( ωω₀−ω₀

ω )

2

passe par un minimum ce qui est obtenu pour

Q²( ωω₀−ω₀ ω )

2

=0⇔( ωω₀−ω₀ ω )

2

=0⇔ ωω₀−ω₀

ω =0⇔ ωω₀=ω₀

ω ⇔ω²=ω₀²⇔ω=ω₀

Résonance en intensité avec Q = 1, ω₀ = 5 rad.s^-1, E = 5V et R = 50 Ω.

La résonance (passage de l'amplitude par un maximum) se produit donc lorsque le GBF délivre un signal de pulsation égale à la pulsation propre du circuit. L'intensité maximale vaut alors I_max=E

R et tout se passe comme si la bobine et le condensateur étaient absents: le générateur se comporte comme s'il était directement branché à une résistance R.

A basse fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert donc aucun courant ne circule dans la maille.

A haute fréquence, c'est la bobine qui se comporte comme un interrupteur ouvert donc à nouveau, aucun courant ne peut circuler dans la maille.

3.3.3. Bande passante et acuité de la résonance

La bande passante est l'intervalle de pulsations (ou de fréquences) dans lequel, l'amplitude de l'intensité reste importante, proche de sa valeur maximale. En pratique, on appelle bande passante l'intervalle de pulsations [ω, ω] dans lequel I(ω)≥I_max

:

ω₁ etω₂ sont les pulsations de coupure telles que I(ω₁)=I(ω₂)=I_max

√^{2 =}

E/R

√^{2 . Elles} vérifient donc l'équation ^E/R

√

On peut montrer que la largeur de la bande passante est donnée par Δ ω=_∣ω₂−ω_1∣=ω₀

Q=R L .

Ainsi, un circuit de facteur de qualité élevé présentera une bande passante étroite: la résonance est dite aiguë; le circuit est sélectif, il ne réagit qu'à des excitations de fréquences proches de sa fréquence de résonance.

Au contraire, un circuit de facteur de qualité faible présentera une bande passante large: la résonance est dite floue; le circuit est peu sélectif, il réagit à une large gamme d'excitations.

3.3.4. Déphasage entre la tension délivrée par le GBF et l'intensité du courant On a I= E/R

1+jQ( ωω₀−ω₀ ω )

=Ie^jφ avec φ=φ_i−φ_e le déphasage du courant par rapport à la tension délivrée par le GBF.

Ainsi φ=arg( E/R 1+jQ( ωω₀−ω₀

ω )

)⇔−φ=arg(E/R)−arg(1+jQ( ωω₀−ω₀ ω )) .

Or arg(E/R) = 0 car E/R est un réel positif donc φ=−arg(1+jQ( ωω₀−ω₀ ω )) . On en déduit, comme ℜ(1+jQ( ωω₀−ω₀

ω ))=1>0 , φ=−arctan(Q( ωω₀−ω₀ ω )) .

A basse fréquence, ω≪ω₀ (ou mathématiquement ω →0 ), φ→−arctan(−∞)⇔φ → π 2 . Le circuit a alors un caractère plutôt capacitif.

A h a u t e f r é q u e n c e , ω≫ω₀ ( o u m a t h é m a t i q u e m e n t ω →+∞ ), φ →−arctan(+∞)⇔φ →− π2 . Le circuit a alors un caractère plutôt inductif.

A la fréquence de résonance, ω=ω₀ , φ=arctan(0)=0 . Le circuit est alors purement résistif.

Pour un facteur de qualité élevé, le déphasage varie très rapidement autour de la pulsation propre et les variations restent localisées autour de la pulsation propre. Au contraire, pour un facteur de qualité faible, les variations du déphasage sont plus lentes et réparties sur un domaine de pulsations plus étendu.