Chapitre 14 : Calcul intégral et primitive

Chapitre 14 :

Calcul intégral et primitive

I. Intégrale d’une fonction continue et positive

1. Introduction

On appelle domaine associé à une fonction f positive sur [a ; b] le domaine D délimité par la courbe C_f , l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = a et x = b ( avec a < b ).

Ce domaine est l’ensemble des points M(x, y) du plan tels que : a < x < b et 0 < y <f(x).

Le plan étant muni d’un repère orthogonal (O, I, J), l’unité d’aire ( en abrégé u.a. ) est l’aire du rectangle construit à partir des trois points O, I et J.

2. Aire et intégrale

Définition : Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b].

On appelle intégrale de a à b de la fonction f l’aire du domaine associé à f sur [a ; b], exprimée en unité d’aire.

Ce nombre est noté. ^b

( )

a

f x dx



Vocabulaire et notation :

 ^b

( )

a

f x dx



se lit « intégrale de a à b de f(x) dx » , ou « somme de a à b de f(x) dx ».

 Les réels a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.

 La lettre x peut être remplacée indifféremment par t, u, … ou n’importe quel symbole à l’exception de a et de b : c’est une variable muette.

Exemple : ⁵

A 2 (2x 1) dx. (9 3) 3

A 18

2 aire d’un trapèze

II. Extension et premières propriété

1. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque sur [a ; b]

 Si f est une fonction continue et négative sur [a ; b], on appelle intégrale de a à b de la fonction f, et on note

b

a f(x) dx l'opposé du nombre réel correspondant à l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b .

On dit parfois que 

b

a f(x) dx est l’aire algébrique du domaine délimité D, on a donc : ^b

( )

a

f x dx



= - aire(D).

 Si f est une fonction continue qui change de signe sur [a ; b], on appelle intégrale de a à b de la fonction f, et on note 

b

a f(x) dx la somme des aires algébriques des domaines définis à partir des intervalles sur lesquels f(x) garde un signe constant.

+

- -

a b

Application 1: Calculer ³

1 1 x dx.

Sur [1 ; 3 ] la fonction

x 1  x

est négative on a donc :

3

1

(1  x dx )   2



Application 2: Soit f la fonction définie sur [– 3 ; 3] par :

2x 6 si x 3; 2

f (x)

x si x 2; 3 .

Tracer la courbe Cf représentant f dans un repère orthonormé et calculer

3

I 3f (x) dx.

3 0 3

3 3 0

I f (x)dx f (x)dx f (x)dx 3 4.5 1.5

2. Propriétés

Propriétés :

Soient f et g deux fonctions continues sur un même intervalle I et a, b et c trois réels de I.

1)

  

^



^



b^c

b a c

a

dx ) x ( f dx ) x ( f dx x

f .( Relation de Chasles )

2)



^{ }



^



a^b

b a b

a

dx ) x ( g dx ) x ( f dx ) x )(

g f

( ( Linéarité )



^{ }



a^b

b a

dx ) x ( f dx

) x )(

f

( , pour tout réel .

Exemple :

3 0 3 3 3

3

sin( ) x dx

3

sin( ) x dx

0

sin( ) x dx

0

sin( ) x dx

0

sin( ) x dx 0







    

    

III. Encadrement et valeur moyenne

1. Signe de l’intégrale et encadrement

Théorème :

Soient f et g deux fonctions continues sur un même intervalle I et a, b deux réels de I.

1) Si a ≤ b et si pour tout réel x de [a ; b ] , f(x) ≥ 0 alors ^b

( )

a

f x dx



^{≥ 0}

2) Si a ≤ b et si pour tout réel x de [a ; b ] , f(x) ≤ g(x) alors ^b

( )

a

f x dx



^≤



a^b

g x dx ^{( )}

Exemple :

1 0

xdx



^≥



0¹

x dx ²

Théorème : inégalité de la moyenne

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, m et M deux réels ; a et b deux réels de I tels que a ≤ b . Si m ≤ f ≤ M sur [ a ; b ] alors : m ( b – a ) ≤ ^b

( )

a

f x dx



≤ M ( b – a ) Preuve :

2. Valeur moyenne d’une fonction continue

Définition : Soit f une fonction continue sur [a ; b].

La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le réel ^b

a

k 1 f (x)dx

b a

= -

ò

^.

Interprétation graphique :

Puisque ^b

a k dx k b a , on a donc ^{b b}

a k dx a f (x) dx. Ainsi, pour une fonction f positive sur [a ; b] l’aire du domaine associé à f sur [a ; b] est égale à celle du rectangle de dimensions ket b – a.

IV. Intégrale et primitive

1. Primitive d’une fonction

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I, telle que pour tout x dans I, F’(x) = f(x)

Exemple :

La fonction carré x  x² est une primitive sur IR de la fonction x  2x Théorème :

k

a b

(C)

Corollaire :

2. Primitive d’une fonction continue

Théorème admis : Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a un élément de I.

La fonction F définie sur I par

( )

^x

( )

F x  

a

f t dt

est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.

Remarque : La fonction F ainsi définie est donc dérivable sur I et de dérivée f.

Exemple : La fonction t ¹

t est continue sur ]0 ;+∞[ et son unique primitive qui s’annule en 1 est la fonction logarithme népérien. On a donc, pour tout réel x > 0, ^x

1

ln x 1dt

t .

3. Primitives des fonctions usuelles et opérations

Voir tableau en annexe

Autre cas particulier : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, une primitive de la fonction

( )

xu ax b ( a ≠ 0 ) , est la fonction x ¹U ax b( )

a  ou U est une primitive de u sur I.

Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par : f x( )(6x1)². Une primitive de la fonction carré est la fonction ^{1 3}

x3x

Donc, une primitive de f est la fonction F définie sur IR par : ( ) ^{1 1}(6 1)^{3 1} (6 1)³

6 3 18

F x   x  x

V. Calculs d’intégrales

Conséquence :

Soient f un fonction continue sur un intervalle I et F une primitive quelconque de f sur I.

Démontrer que, pour tous réels a et b de I, on a : ^b

a f (x) dx F(b) F(a).

Théorème :

Soit f un fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a et b de I, on a :

^b

[ ]

^b_a

a f (x)dx= F(x) =F(b)-F(a)

ò

, où F une primitive quelconque de f sur I.

Exemple :

Sur IR la fonction cosinus admet pour primitive la fonction sinus d’où : ₀²

 

²

0

cos( ) sin( ) sin( ) sin(0) 1 t dt t 2

 _  _  _{ }



Théorème : Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables à dérivées u’ et v’ continues sur un intervalle I et a et b deux réels de I.

On a :

 ^   ^ 

a^b

b

a b

a

dx ) x ( v ) x ( ' u )

x ( v ) x ( u dx ) x ( ' v ) x (

u

_.

Preuve :

La fonction uv est une fonction dérivable sur I et de dérivé : (uv)’ = u’v + uv’.

Ainsi : uv’ = (uv)’ – u’v (1)

Puisque uv’ , (uv)’ et u’v sont continues sur I on en déduit de la relation (1) que : ( ) '( ) ( ) '( ) '( ) ( )

b b

au x v x dx a u v x u x v x dx

 

Par linéarité de l’intégrale on obtient : ^b

( ) '( )

^b

( ) '( )

^b

'( ) ( )

a

u x v x dx 

a

u v x dx 

a

u x v x dx

  

Or uv est une primitive de (uv)’ sur I , donc ^{b( ) '( )}



^{( ) ( )}



^b

a a

u v x dx u x v x



Ainsi on obtient :



^

 

^



a^b

b

a b

a

dx ) x ( v ) x ( ' u )

x ( v ) x ( u dx ) x ( ' v ) x (

u .

Exemple : Calcul de ¹

0

te dtt



^.

1 0

te dtt



est de la forme ¹

0u t v t dt( ) '( )



, avec u(t) = t et '( )v t e^t. On a alors : u’(t) = 1 et ( )v t e^t , avec u , v , u’ et v’ des fonctions continues sur [0 ; 1 ]. Donc d’après la formule d’intégration par parties on a :

1 1 1 1 1

0 0 0

0te dt^t   te^t  0e dt^t   te^t   e^t    e (e 1) 1

 

Interprétation cinématique :

Pour un mobile se déplaçant sur une droite, ou sur toute ligne « continue » à la vitesse instantanée v(t) (t est le temps), toujours positive ou nulle, la distance d parcourue entre les instants t₁ et t₂ s’exprime par :

²

1

t

d t v(t) dt.

La vitesse moyenne d’un mobile est la valeur moyenne de la vitesse . En effet, avec la notation donnée, on a : vitesse moyenne = distance parcourue

durée du trajet =  t_ – t_

2

1

t

t v(t) dt = valeur moyenne de la vitesse.