Certains objets et motifs décoratifs ou naturels ne changent pas d'aspect après un demi tour autour d'un point.
Ils sont invariants pour une certaine symétrie centrale : hélice, carte à jouer, hexagone ayant un centre de symétrie…Exemple de lettres : N ou S. Si l'on regarde un objet dans une glace, cela nous donne une idée de la symétrie orthogonale. Exemples de lettres A, H et W. Le fonctionnement d'une pendule à aiguilles, les roues d'une bicyclette et bien d'autres mécanismes donnent une idée de la rotation.
Cette année, nous allons surtout étudier les translations et les homothéties dans le plan et dans l'espace.
Les transformations usuelles du plan.
Une transformation est un mot utilisé indifféremment pour les symétries orthogonales, les symétries centrales, les translations et les rotations.
Si f est une transformation usuelle du plan,
Alors elle associe à tout point M un point M ' appelé image de M par f.
On note f : M M ' ou bien f ( M ) = M'.
Une application f du plan dans lui-même est une fonction telle que tout élément du plan ait une image par f.
Une application du plan dans lui même telle que tout point M admet un unique antécédent dans le plan est dite bijective.
La transformation réciproque d'une transformation f est la transformation qui à tout point M ' = f ( M ) associe le point M.
Soit f une transformation du plan.
On dit qu'un point M du plan est invariant par f lorsqu'il est sa propre image par f c'est à dire f ( M ) = M.
1 Les translations du plan.
La translation de vecteur Åu est l'application du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M' tel que MM' = ÅÄ u.
Notation : t u
t ( M ) = M '.u
Cas particulier : si Åu = Å0 alors pour tout point M du plan, M ' et M sont confondus.
On dit que la translation de vecteur nul est l'identité du plan. Notation : i P .
Propriété :
Soient A ' et B ' les images respectives de deux points A et B par une translation.
Alors ÄA'B' = ÄAB
Toute translation du plan P est une transformation de P.
La transformation réciproque de la translation de vecteur Åu est la translation de vecteur - Åu : c'est l'application qui au point M ' image de M par
u
t associe le point M. Voir feuille annexe.
Une translation de vecteur Åu non nul n'admet aucun point invariant.
Exemple 1 : soient A et B deux points du plan P.
Soit f l'application de P dans P telle que f ( M ) = M' avec ÄBM' = ÄMA − 2 ÄMB.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
Ecriture analytique d'une translation : Dans le plan rapporté au repère ( O ;
→
i , →j ) on donne les points A ( 1 ; 3 ) et B ( - 2 ; 1 ).
Soit t la translation de vecteur ÄAB . Soit M ( x ; y ). Déterminons les coordonnées de M ' = t ( M ).
E1 Translations du plan . P 278 n ° 16 et n ° 17 et n ° 23 puis n ° 44 p 180.
2 Homothéties dans le plan.
L'homothétie de centre I et de rapport k ( k étant un réel non nul ) est l'application du plan dans lui même qui à tout point M associe le point M ' tel que ÄIM ' = k ÄIM . Notation : h ( M ) = M '.
Cas particuliers :
Si k = 1 alors h est l'identité du plan.
Si k = -1 alors h est la symétrie de centre I.
Propriétés :
Si M a pour image M ' par une homothétie de centre I et de rapport k, alors les points I, M et M ' sont alignés.
Soient A ' et B ' les images respectives de deux points A et B par une homothétie de rapport k, alors ÄA'B' = k ÄAB
Démonstration : voir feuille annexe.
Toute homothétie du plan P est une transformation de P.
La transformation réciproque de l'homothétie de centre I et de rapport k est l'homothétie de centre I et de rapport 1
k .
Points invariants par une homothétie :
Si k = 1 alors tous les points du plan sont invariants.
Si k = - 1 alors le seul point invariant est le point I ( centre de l'homothétie ).
Soit I un point du plan. Soit h l'homothétie de centre I et de rapport k = 3. Soit M un point du plan.
Construire M ' = h ( M ).
Ecriture analytique d'une homothétie : Dans le plan rapporté au repère ( O ;
→
i , →j ) on donne le point I ( 1 ; 3 ) .
Soit h l'homothétie de centre I et de rapport 4. Soit M ( x ; y ). Déterminons les coordonnées de M ' = h ( M ).
E2 Homothéties planes. P 278 n ° 18 b. et n ° 19 et n ° 20 et n ° 21 et n ° 22 b. et n ° 24 et n ° 62.
3 Translations et homothéties dans l'espace.
La translation de vecteur Åu est l'application de l'espace dans lui-même qui, à tout point M, associe le point M ' tel que : ÄMM ' = Åu.
La définition et les propriétés de la translation d'un vecteur dans l'espace sont les mêmes que celles de la translation d'un vecteur dans le plan.
Exemple : soit ABCDEFGH un cube.
Soient M et N les milieux respectifs de [ AE ] et [ EF ], et P le centre du carré BCGF.
Déterminer l'image du point M par la translation t de vecteur ÄNP .
L'homothétie de centre I et de rapport k ( k étant un réel non nul ) est l'application de l'espace dans lui même qui à tout point M associe le point M ' tel que ÄIM ' = k ÄIM . Notation : h ( M ) = M '.
La définition et les propriétés de l'homothétie dans l'espace sont les mêmes que celles de l'homothétie dans le plan.
E3 Translations et homothéties dans l'espace.
P 278 n ° 26 et 27 puis p 285 n ° 78 a.
4 Conservation de diverses propriétés.
Soit f une translation de vecteur Åu ou bien une homothétie de centre I et de rapport k du plan ou de l'espace.
Alors f conserve l'alignement.
Autrement dit : soient A, B et C trois points alignés.
Alors leurs images par f notées A' , B' , C ' sont aussi alignées.
Démonstration : voir feuille annexe.
f conserve le barycentre. En particulier, f conserve le milieu d'un segment.
f conserve les angles orientés.
Autrement dit : si les points A, B, C et D ont pour images respectives A' , B ' , C ' , et D ' par f alors ( ÄA'B' , C'D' ) = ( ÄÄ AB , ÄCD ). Conséquence : f conserve le parallélisme et l'orthogonalité.
Démonstration : voir feuille annexe.
Si f est une translation, alors f conserve les longueurs et les aires.
Autrement dit : si les points A et B ont pour images respectives A' et B' alors A'B' = AB.
Et l'aire d'une figure F est égale à l'aire de la figure transformée de F par f.
On dit que f est une isométrie ( cad une transformation qui conserve les longueurs ).
f conserve aussi les volumes.
Si f est une homothétie de rapport k, alors les longueurs sont multipliées par k. Alors les aires sont multipliées par k².
Alors les volumes sont multipliés par k3.
Démonstration : voir feuille annexe.
E4 Propriétés des transformations. P 278 n ° 28 ; p 279 n ° 30 ; et 31.
5 Image d'une figure.
L'image d'une droite d par une translation ou une homothétie ( dans le plan ou dans l'espace ) est une droite parallèle à d.
L'image d'un segment par une translation ou une homothétie ( dans le plan ou dans l'espace ) est un segment.
L'image d'un plan P par une translation ou une homothétie ( dans le plan ou dans l'espace ) est un plan parallèle à P.
L'image d'un cercle par une translation ( dans le plan ou dans l'espace ) est un cercle de centre l'image du centre et de même rayon.
L'image d'un cercle de rayon R par une homothétie de rapport k ( dans le plan ou dans l'espace ) est un cercle de centre l'image du centre et de rayon k R.
Exemple : soient A et B deux points fixes. Soit I le milieu de [ AB ].
Soit M un point du plan et soit P le point tel que ABPM soit un parallélogramme.
Soit Q le milieu de [ BM ]. Déterminer l'ensemble des points Q lorsque M décrit le cercle C de diamètre [ AI ].
E5 Images de figures simples.
P 279 n ° 32 ; p 280 n ° 43 ; p 282 n ° 56 ; 57 ; p 283 n ° 63 ; P 284 n ° 80 ; p 287 n ° 94 ; 95 ; p 288 n ° 103.
E6 Savoir faire une fiche type " bac " sur ce chapitre.
Transformations usuelles Recopier et compléter le tableau récapitulatif suivant :
Transformation f
Définition de l'image M ' d'un
point M par f
Cas particuliers Points invariants Transformation réciproque Translation de
vecteur Åu
Symétrie axiale ou réflexion d'axe D Symétrie centrale de
centre I Rotation de centre I et d'angle α ; α ∈
Homothétie de centre I et de rapport
k ; k ∈ *
Première question du sujet de Bac Antilles Guyane septembre 2002.
Dans le plan, on considère deux segments [ AC ] et [ BD ] tels que AC = BD et ( ÄAC , ÄBD ) = - π 2 . On désigne par M le milieu du segment [ AC ] et par N celui de [ BD ].
On appelle ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) , et ( C4 ) les cercles de diamètres respectifs [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] et [ DA ].
1. a. Soit r la rotation qui transforme A en B et C en D.
Quel est l'angle de r ? Montrer que le centre I de r appartient aux cercles ( C1 ) et ( C3 ).
1. b. Soit r ' la rotation qui transforme A en D et C en B.
Quel est l'angle de r ' ? Montrer que le centre J de r ' appartient aux cercles ( C2 ) et ( C4 ).
1. c. Quelle est la nature du quadrilatère INJM ?
On désigne par P et R les points diamétralement opposés à I sur, respectivement, ( C1 ) et ( C3 ) et par Q et S les points diamétralement opposés à J sur, respectivement, ( C2 ) et ( C4 ).
Faire le dessin.
