Premier principe sur les systèmes ouverts

PREMIER PRINCIPE

POUR LES

SYSTÈMES OUVERTS

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

Dm_i : masse u_i : énergie interne massique c_i : vitesse

z_i : altitude r_i : masse volumique v_i : volume massique

Dm_i =Dm_i/Dt : débit massique P_i : pression h_i = u_i + p_iv_i = u_i + P_i/r_i : enthalpie massique Pour la tranche « i » (« 1 » = entrée, « 2 » = sortie) :

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

DE* = E*(t+Dt) - E*(t) = W + Q

Premier principe pour le système fermé S* entre les instants t et t = t + Dt :

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

E*(t+Dt) = E(t+Dt) + DE2 E*(t) = E(t) + DE1

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

DE2 = Dm2 u2 + Dm2 c22/2 + Dm2 g z2 DE1 = Dm1 u1 + Dm1 c12/2 + Dm1 g z1

E = U + Ec + Ep

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

DE* = DE + DE1 + DE2 = W + Q = Wp (poussée) + Wu (utile) + Q Wp1 = − ∫ 𝑃_$%&𝑑𝑉 = −𝑃_* ∫₊

,

- 𝑑𝑉 = P1 v1 Dm1 Wp2 = −𝑃_. ∫_-^+/𝑑𝑉 = - P2 v2 Dm2

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

DE*/Dt = DE/Dt + DE1/Dt + DE2/Dt = Pp (poussée) + Pu (utile) + Pth Pp = Dm1 P1 v1 - Dm2 P2 v2

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

Pu + Pth = Dm2 ( h2 + c22/2 + g z2 ) - Dm1 ( h1 + c12/2 + g z1 ) + DE/Dt

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

m*(t) = m(t) + Dm1

m*(t + Dt) = m(t + Dt) + Dm2

Dm*/Dt = Dm/Dt + Dm2 - Dm1 = 0

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

Cas particulier du régime stationnaire :

m(t) = m(t+Dt) → Dm/Dt = 0 → Dm1 = Dm2 = Dm E(t) = E(t+Dt) → DE/Dt = 0

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

P _u + P _th = Dm D (h + c ² /2 + g z)

S*(t) fermé

S*(t+Dt) S(t) ouvert

SA

SB SA’

SB’

z

z1

z2 P1

P2

c1

c2 g

1

2

P _u + P _th = Dm D h

w _u + q = D h