Premier principe (10 et 17 avril) Application directe du cours
Énergie interne et enthalpie de l'eau liquide
Dans l'état A. à la température TA = 293 K et la pression pA = 1 bar, l'eau possède un volume massique vA = 1,0020103 m3.kg1. Dans l'état B de température TB = 350 K et pression pB = 20 bar, son volume massique est vB = 1,0035103 m3.kg1. La capacité thermique massique de l'eau (à pression constante) est supposée constante dans cet intervalle de pression et température : cp = 4,18 kJ.K1.kg1.
a) Que vaut la variation d'enthalpie massique h de l'eau entre les états A et B ?
h = cpT = 239 kJ.kg1.
b) Calculer la variation (pv) du produit de la pression par le volume massique.
(pv) = pBvB – pAvA = 1,91 kJ.kg1.
c) Que peut-on en conclure pour l'énergie interne ?
u = h - (pv) h, comme on pouvait s’y attendre pour une phase condensée.
Évaluation d'un transfert thermique
Une certaine quantité de gaz parfait monoatomique est initialement dans l'état A défini par VA = 10,0 L, TA = 300 K et pA = 1,00105 Pa. Elle subit alors une transformation isochore réversible l'emmenant dans l'état B avec TB = 350 K, puis une isotherme réversible l'emmenant à l'état C avec pC = 1,00105 Pa.
a) Récapituler dans un tableau les pressions, températures et volumes dans les différents états.
On calcule les données manquantes par applications de la loi des gaz parfaits.
Le système étant fermé, pV nR cte
T : 11,7 L
C C A A A C
C A
C A C A
p V p V p T
V V
T T p T
1,17 bar
B B A A A B
B A
B A B A
p V p V V T
p p
T T V T
b) Représenter ces évolutions dans un diagramme de Watt.
c) Évaluer le transfert thermique QAB échangé par le gaz pendant la transformation AB.
On écrit le premier principe : UAB WABQAB, or WAB = 0, car la transformation est isochore.
3 3
255 J
2 2
AB AB V B A B B A A
U Q C T nR T T p V p V
.
Remarque : on utilise ici le fait que pour un gaz parfait monoatomique , 3
V m 2
C R, ce qui sera justifié dans le chapitre suivant.
d) Évaluer le transfert thermique QBC pendant la transformation BC.
On procède de façon analogue mais cette fois, la variation d’énergie interne est nulle car la transformation est isotherme (cela n’est vrai que pour un gaz parfait !). La transformation étant isotherme et le système étant fermé pV = cte = pBVB = pCVC. Par ailleurs, si la transformation est qualifiée d’isotherme (et non seulement de monotherme), cela signifie que la température est définie tout au long de la transformation qui est donc mécaniquement réversible, d’où, à chaque instant p = pext ; on en déduit :
0 C C B B ln C 184 J
BC BC BC BC BC B ext B B B
B
V
U W Q Q W p dV p V dV p V
V V
e) En déduire le transfert thermique Q pendant la transformation totale ABC.
Q = QAB + QBC = 439 J.
A B C Transformation Isochore Isotherme V (L) 10 10 11,7 p (bar) 1 1,17 1 T (K) 300 350 350
A B
C p (bar)
V (L) 1
10
Isotherme pV = cte hyperbole
f) Dans une autre expérience, le gaz passe directement de l'état A à l'état C par une isobare réversible. Quel est le transfert thermique Q' échangé par le gaz ?
L’énergie interne est une fonction d’état et donc UAC UAB UBC UAB. Il reste à évaluer le travail pour en déduire le transfert thermique : W' p VA
CVB
et donc Q' UABW'QABp VA
CVB
425 J.On pouvait aussi écrire Q' HAB UAB
pV QABp VA
CVB
425 J. g) Qu'en déduire ?On constate que Q ≠ Q’ : le transfert thermique ne correspond pas à la variation d’une fonction d’état et dépend du chemin suivi. Il en va évidemment de même du travail.
Caillou jeté dans un lac
Un caillou exposé au soleil possède la température 1 = 30°C. Il est jeté dans un lac à la température 0 = 20°C.
a) Comment le lac se comporte-t-il ?
La masse du lac étant très supérieure à celle du caillou, il en va de même de sa capacité thermique ; le lac va se comporter comme un thermostat.
b) Que dire de la transformation subie par le caillou ?
Sa transformation est monotherme puisqu’elle se fait au contact d’un unique thermostat.
c) Et pour son état final ?
Le caillou se met à l’équilibre thermique avec le lac et adopte donc la température de ce dernier.
Réversibilité
a) Un glaçon à 5°C est placé dans de l'eau à 15°C et commence lentement à fondre. La transformation du système formé du glaçon et de l'eau est-elle réversible ?
Non :
-1 elle n’est pas renversable (il n’est imaginable de repartir de l’état final pour revenir à l’état initial sans intervention extérieure).
-2 initialement, il y a un déséquilibre entre le glaçon et l’eau.
b) Une goutte d'encre est délicatement posée à la surface de l'eau contenue dans un verre. Que se passe-t-il ? La transformation pour le système constitué de l'eau et de la goutte d'encre est-elle réversible ?
Non : L’encre va diffuser dans l’eau, cette transformation est irréversible : on ne peut imaginer que la goutte d’encre se reforme spontanément.
Un récipient clos contenant de l'eau est placé dans un four classique (c'est-à-dire ne fonctionnant pas avec des micro-ondes ; pour fixer les idées, on peut imaginer qu'une résistance alimentée par un courant chauffe l'intérieur du four) initialement éteint.
Initialement, l'ensemble est donc entièrement à la température ambiante : 0 = 20°C. On branche le four de telle manière que l'intérieur atteigne une température très légèrement supérieure et on attend un certain temps. On impose à nouveau une très légère augmentation de température et on attend... On itère ce procédé jusqu'à avoir atteint une certaine température finale 1 = 180°C.
c) La transformation est-elle réversible pour le système constitué de l'eau dans le récipient ?
Oui : on peut imaginer de procéder en sens inverse pour ramener l’eau à sont état initial. En revanche si le récipient n’était pas clos, dès que l’eau se vaporise, elle diffuse dans le four et la transformation ne serait plus réversible.
d) Et pour le système constitué du four et de tout ce qu'il contient ?
Non : laisser le four refroidir doucement ne fait pas passer un courant en sens inverse dans la résistance pour un four électrique ou ne produit pas de méthane et d’oxygène à partir du gaz carbonique et de l’eau pour un four à gaz (de ville).
Transformations d’un gaz parfait
On considère un gaz parfait soumis à l’action de forces de pression extérieures, passant d’un état initial (Vi, pi, Ti) à un état final (Vf, pf, Tf). Nous cherchons à exprimer le travail W des forces de pression extérieures dans différentes transformations. Nous noterons pext la pression du milieu extérieur.
1) Exprimer le travail WisoV dans le cas d’une transformation isochore.
C’est facile, il est nul !
2) Exprimer le travail Wmonop dans le cas d’une transformation monobare.
Cela signifie que la pression extérieure qui s’exerce sur le gaz au cours de la transformation est constante, par suite :
f
monop i ext ext f i
W
p dV p V V .3) Exprimer le travail Wisop dans le cas d’une transformation isobare quasi-statique (mécaniquement réversible).
La pression du gaz est alors constante, ce qui suppose qu’elle soit toujours définie et donc que la transformation soit mécaniquement réversible ; par suite, tout au long de la transformation p = pext et donc :
f
isop i f f i i f i f i
W
pdV p V V p V V nR T T . Gaz dans un cylindre
Un gaz parfait est contenu dans un cylindre fermé par un piston sans masse. On suppose que les parois du cylindre et du piston sont infiniment perméables aux transferts thermiques (parois parfaitement diathermanes) de manière que les transformations étudiées soient au moins monothermes. Les conditions initiales sont (V0, p0, T0).
1) On comprime le gaz de manière réversible de p0 à p1. Calculer le travail W1 reçu par le gaz au cours de la transformation. Quel est le travail W’1 reçu par le gaz lorsqu’il se détend de manière réversible de p1 à p0 ?
La transformation étant monotherme et réversible, elle est donc isotherme, d’une part et mécaniquement réversible donc p = pext ; par suite : 1 1
W
0 pdV . Deux façons de faire :-1 Les bornes qui nous sont données étant les pressions, il faut effectuer un changement de variables pour choisir p comme variable d’intégration ; la transformation étant isotherme et le système fermé, pV = cte d’où d pV
0 pdV Vdp pdV Vdp . Parsuite 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1
0 0 0
0 0
ln ln
nRT p p
W pdV Vdp dp nRT p V
p p p
.-2 On garde la variable volume : 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0
0 1 0
ln ln ln
nRT V p p
W pdV dV nRT nRT p V
V V p p
(le rapport des volumesest l’inverse du rapport des pressions puisque pV = cte).
Pour calculer W’1, il suffit d’inverser les bornes dans le calcul précédent et on trouve que W’1 = W1, ce à quoi on s’attendait, la transformation étant réversible.
2) On comprime le gaz de manière irréversible de p0 à p1 en appliquant brutalement sur la face extérieure du piston la pression p1. Calculer le travail W2 reçu par le gaz au cours de la transformation. Quel est le travail W’2 reçu par le gaz lorsqu’il se détend de manière réversible de p1 à p0 en laissant agir la pression p0 sur la face extérieure du piston ?
La transformation est cette fois monobare : W2
01 p dV1 p V V1
1 0
.Pour la transformation inverse : W'2
10p dV0 p V V0
1 0
, il n’y a aucune relation simple entre W2 et W’2. 3) Déterminer les transferts thermiques reçus par le gaz au cours des deux transformations précédentes.Dans tous les cas, U = 0 car les transformations sont monothermes (au moins), les transferts thermiques sont donc opposées aux travaux.
Equivalence travail chaleur
Une auto de masse M = 836 kg roule à la vitesse v = 20 m.s1 (72 km/h) et s'arrête brusquement à l'aide de ses quatre freins à disques.
En assimilant ces derniers à des cylindres de rayon R = 10 cm, d'épaisseur e = 1 cm, de masse volumique = 8 g.cm3 et de capacité thermique massique c = 0,42 J.g1.K1, calculer leur élévation de température t en supposant que toute la chaleur est absorbée par les disques.
L’ensemble de la voiture constitue un système isolé puisque les échanges se font à l’intérieur d’elle-même (on suppose qu’elle roule sur une route horizontale). Sa variation d’énergie totale est donc nulle par application du premier principe :
i i f f
c p i c p f c
E E U E E U E U
En considérant la route horizontale, il n’y a pas de variation de l’énergie potentielle macroscopique (Ep de pesanteur) et la seule partie du véhicule changeant d’énergie interne sont les disques : d’où 4 2 1 2
2 i R e c t Mv
, et par suite t = 39,8°C.
