Thermodynamique : Premier principe (PCSI)

Thermodynamique : Premier principe (PCSI)

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Exercice Gaz chauffé par résistance

Un récipient de volume V , parfaitement calorifugé, est séparé en 2 par un piston mobile, lui aussi calorifugé. Le piston peut se déplacer sans frottements et on repère sa position par son absisse 0 ≤ x ≤ L . On note 1 le compartiment de gauche et 2 celui de droite.

Conditions initiales :

Chaque compartiment contient n moles d'un gaz parfait diatomique ( γ = 1.4 ).

Dans chaque compartiment, le gaz est soumis à une pression p

₀

et à une température T

₀

. 1. Déterminez les volumes initiaux V

1

et V

2

occupés par les gaz.

On introduit à présent une résistance électrique R dans le compartiement 1 et on fait circuler un courant I dans le circuit, jusqu'à ce que ce que x =

²₃

L . Le chauage est susamment lent pour considérer l'évolution comme quasi statique.

1. Déterminez les caractéristiques de l'état nal ( P, V, n et T pour chaque compartiment).

2. Exprimez les variations d'énergie interne ∆U

1

et ∆U

2

des deux gaz.

3. Exprimez les travaux W

1

et W

2

des deux gaz.

4. Exprimez les quantités de chaleur Q

₁

et Q

₂

reçues par les deux gaz.

5. En déduire le temps pendant lequel le courant I a circulé.

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Exercice Gaz parfait & hydrostatique

Dans le dispositif ci dessus, deux compartiments de même volume V

0

contenant n moles d'un gaz parfait diatomique sont séparés par un tube rempli d'un liquide argenté conducteur magique, de masse volumique ρ = ρ

Hg

. Initialement, T

1

= T

2

= T

0

. On note h la dénivelation formée par le mercure, c'est à dire h = h

2

− h

1

.

1. Déterminez la relation entre h, V

1

et V

2

. 2. Déterminez la relation entre h , p

1

et p

2

.

1

3. On chaue le compartiment 1 à l'aide d'un conducteur ohmique, jusqu'à ce que h = 10cm .Le chauage est susamment lent pour considérer l'évolution comme quasi statique. Déterminez les températures T

₁

et T

₂

nales si

(a) le compartiment 2 est isotherme.

(b) le compartiment 2 est calorifugé.

Solution

Par conservation du volume, V

₁

+ V

₂

= 2V

₀

. Or V

₁

= S(h

_tot

− h

₁

) et V

₂

= S(h

_tot

− h

₂

) donc V

₂

− V

₁

= S(h

₁

− h

₂

) = −Sh donc

( V

₁

+ V

₂

= 2V

₀

V

1

− V

2

= Sh ⇔ V

1

=

2V

0

1 Sh −1

1 1 1 −1

= V

0

+

^Sh₂

et V

2

= V

0

−

^Sh₂

La pression tout au fond du mercure est constante. Or sous le compartiement 1, elle vaut p

₁

+ ρ

_Hg

gh

₁

et sous le compartiment 2, elle vaut p

2

+ ρ

Hg

gh

2

. On a donc

p

1

− p

2

= ρ

Hg

gh

1. Si le compartiment 2 est isotherme, on a T

2

= T

0

. Or le compartiment 2 contient toujours n moles de gaz parfait et son volume est donné par V

2

= V

0

−

^Sh₂

. On a donc p

2

=

^nRT0

V0−^Sh₂

. On en déduit donc p

1

= ρ

Hg

gh +

_V^nRT0

0−^Sh₂

. Comme le compartiement 1 contient toujours n moles de gaz parfait et que son volume est donnée par V

₁

= V

₀

+

^Sh₂

, on a

T

₁

=

_nR¹

ρ

_Hg

gh +

^nRT0

V0−^Sh₂

V

₀

+

^Sh₂

= T

₀^V0+Sh2

V0−^Sh₂

+

^ρ_nR^Hgg

V

₀

+

^Sh₂

h 2. Si le compartiement 2 est calorifugé, son évolution est soumise à la loi de Laplace :

T

₂^γ

V

₂^γ−1

= T

₀^γ

V

₀^γ−1

donc T

₂

= T

₀

_V

0

V₀−^Sh₂

^γ−1_γ

et p

₂

=

^nRT0

V₀−^Sh₂

_V

0

V₀−^Sh₂

^γ−1_γ

=

^nRT_V ⁰

0

_V

0

V₀−^Sh₂

^γ

donc p

1

= ρ

Hg

gh +

^nRT_V ⁰

0

V₀ V₀−^Sh₂

γ

et nalement

T

₁

=

_nR¹

ρ

_Hg

gh +

^nRT_V ⁰

0

_V

0

V0−^Sh₂

^γ

V

₀

+

^Sh₂

= T

₀

_V

0

V0−^Sh₂

^γ _V

0+^Sh₂

V0

+

^ρ_nR^Hgg

V

₀

+

^Sh₂

h

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On considère n moles d'un gaz parfait diatomique ( γ = 1.4 ) occupant un volume V

₁

sous la pression p

₁

. On lui fait subir une compression qui l'amène à un volume V

2

. Déterminez les expressions de W, Q et ∆U dans les deux cas suivants :

1. La transformation est quasistatique et adiabatique.

2. La transformation est réversible et isotherme.

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On considère les transformations suivantes, subies par n moles d'un gaz parfait.



 

 

 

  P

₁

V

1

T

₁

n

−→



 

 

 

  P

₂

V

2

=?

T

₁

n

isotherme et quasi statique



 

 

 

  P

₁

V

1

T

₁

n

−→



 

 

 

  P

₂

V

2

T

₁

n isochore puis isobare



 

 

 

  P

₁

V

1

T

₁

n

−→



 

 

 

  P

₂

V

₂⁰

=?

T

₂

=?

n

adiabatique et quasi statique Représentez chacune de ces transformations sur un diagramme de Clapeyron puis déterminez les grandeurs inconnues et estimez les expressions du travail reçu par le système W , de la chaleur échangée Q et de la variation d'énergie interne ∆U .

2 Daniel Suchet - 2012

Solution

ˆ Pour une transfo isotherme qs

Clapeyron : T = cste ⇒ P V = cste ⇒ P =

^cste_V

et V

2

= V

1P1

P₂

Energie interne : 1ere loi de Joule : ∆U ∝ ∆T = 0 Donc premier principe : Q = −W

Expression du travail : δW = −p

ext

dV = −pdV car quasi statique ⇒ W = − ´

pdV = − ´

_nRT

V

dV = nRln

_V

1

V2

ˆ Pour une transfo isochore puis isobare Clapeyron : V = cste puis P = cste .

Energie interne : 1ere loi de Joule : ∆U

tot

∝ ∆T = 0 Donc premier principe : Q

tot

= −W

tot

Expression du travail : W

tot

= W

1

+ W

2

avec

* δW

1

= −p

ext

dV = 0

* δW

2

= −p

ext

dV = −p

2

dV ⇒ W

2

= p

2

(V

1

− V

2

)

ˆ Pour une transfo adibatique qs de (p

₁

, V

₁

) et (p

₂

, V

₂

) Loi de Laplace : P V

^γ

= cste = p

1

V

₁^γ

Energie interne ∆U = C

_V

(T

₂

− T

₁

) avec T

₂

=

^p_nR^2v2

=

^p1_nR^V1γ

V

₂^1−γ

Travail − ´

pdV = − ´

p

_A

V

_A^γ

V

^−γ

dV = p

_A

V

_A^γ_γ¹

()

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Exercice Eteindre un feu

On chaue une bûche de 5 kg au contact de l'air. Lorsque sa température dépasse T

C

= 513 K , une réaction de combustion très exothermique CH

4

+2O

2

= CO

2

+2H

2

O s'enclenche et une amme apparait.

Un équilibre thermique s'installe à la température de amme T

f

= 1073 K ; on considérera que la bûche est alors portée à cette même température.

1. Pour éteindre l'incendit, on peut essayer de ramener la bûche à un température T < T

c

; on utilise pour cela un extincteur qui délivre de l'eau à 20 ° C (goupille bleue). En considérant le problème à la pression atmosphérique, déterminez la quantité minimale d'eau nécessaire pour éteindre le feu. Pourquoi faut il verser l'eau rapidement ? Le débit d'un exctincteur est de D ' 1 L.s

⁻¹

. Déterminez le temps nécessaire pour éteindre le feu. Quels risques l'utilisation de cet extincteur peut il présenter ?

2. On peut également essayer de couper l'alimentation du feu en dioxygène ; on utilise pour cela un extincteur à CO

2

(goupille grise). On considère un volume V autour de la bûche, dans lequel la teneur en oxygène est supposée initialement égale à celle de l'air ambiant et la température moyenne égale à la température ambiante T

0

= 20 ° C . L'ajout du CO

2

est supposé susamment rapide pour que le système soit supposé fermé. La réaction s'arrète si la pression partielle du dioxygène est inférieure à 1% de sa valeur initiale. Déterminez la quantité de CO

2

qu'il faut injecter pour cela.

Données : Capacité thermique massique de l'eau c

e

= 4.16kJ K

⁻¹

kg

⁻¹

, enthalpie massique de vapo- risation ∆

vap

h = 2200 kJ kg

⁻¹

, capacité thermique du bois c

bois

= 2.7 kJ K

⁻¹

kg

⁻¹

Solution

1. On doit chauer l'eau de 20 à 100 ° C , puis la vaporiser. La vapeur ne joue aucun rôle dans l'évacuation de la chaleur.

m

_e

c

_e

(100 − 80) + m

_e

∆

_vap

h = m

_buche

c

_buche

(T

_f

− T

_c

) ⇒ m

_e

=

^m_c^{buchecbuche(Tf−Tc)}

e(100−80)+∆vaph

' 3 kg

3 Daniel Suchet - 2012

Problème : si on laisse le temps au feu d'évaporer toute l'eau avant d'attendre T

C

, la réaction repart. On peut refroidir assez la surface de la buche pour arrêter les ammes, mais laisser le centre chaud -> la réaction peut reprendre. Risques d'électrocution si utilisé sur une source électrique.

2. La pression partielle est donnée par

^p02_p

=

_n ^V

gazRT n_O2RT

V

=

_n^nO2

gaz

. Si on injecte n moles de CO

₂

, la pression devient p = p

_atm

+

^nCO2_V^RT

. Pour avoir

^p02_p

=

_n ^nO2

air+nCO2

=

₁₀₀^{1 n}_n^O2

air

, on donc avoir

_nairⁿ_+n^O2_CO

2

=

₁₀₀¹ _n^nO2

ie n

CO2

= 99n

air air

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Exercice Tir d'une bombe d'artifice

On considère un mortier sous forme d'un cylindre de section S et de hauteur h . Au fond de ce mortier se trouve une charge de poudre noire (2KN O

3

+ S + 3C) de hauteur x

0

et une bombe d'artice, assimilée à un piston hermétique de masse M . On notera son altitude au cours du temps x(t) ; on a donc x(0) = x

0

. 1. La poudre noire à une masse volumique ρ

V

et une masse molaire ρ

N

. Déterminez la quantité n

0

de poudre noire dans le mortier dans le mortier.

2. On suppose que la combustion de la poudre noire suit l'équation 2KN O

3

+ S + 3C → K

2

S + N

2

+ 3CO

2

. Déterminez la quantité de gaz n produite par la combustion de l'intégralité de la poudre.

On supposera dans toute la suite cette réaction instantanée et tous les gaz parfaits.

3. La réaction est très exothermique et libère une chaleur molaire ∆

comb

h . On ne tenant compte que de la capacité thermique du gaz c

_g

, déterminez la température T

₀

atteinte à la n de la réaction.

4. On s'intéresse à présent à l'éjection de la bombe hors du mortier. On supposera dans cette question les transformations isothermes.

(a) Exprimez la pression P en fonction de l'altitude x de la bombe.

(b) Ecrire l'équation du mouvement vériée par la bombe. On négligera le poids de la bombe devant les forces de pression.

(c) Résoudre l'équation diérentielle. On pourra astucieusement multiplier les deux côtés de l'éga- lité par x ˙ .

(d) Déterminez la vitesse de sortie de la bombe au bout du mortier.

Solution

masse de poudre m

p

= Sx

0

ρ

V

. nombre de mole n

0

= m

p

/ρ

N

=

^Sx_ρ^0ρV

N

. Nombre de moles de gaz n = n

0

× nombre de mole créee par mole de poudre.

∆H = ∆

comb

h × n

0

et ∆T =

_c¹

g

∆H donc T = T

atm

+ x

0Sρ_V

c_gρ_N

∆

comb

h ' x

0Sρ_V

c_gρ_N

∆

comb

h M

^d_dt^2x2

= P(x)S et P (x) =

^nRT_Sx

donc

^dx_dt^d_dt^2x2

=

^nRT_{M x}^1dx_dt

donc

_dt^d

1 2

dx dt

²

=

^nRT_{M dt}^d

lnx donc

¹₂

v

²

− 0

²

=

nRT M

ln

_x^x

0

d'où

v

f

= 2

^SR_M ^ρ_ρ^V

N

x

0Sρ_V

c_gρ_N

∆

comb

h x

0

ln

_x^X

0

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4 Daniel Suchet - 2012