Thermodynamique : Second principe (PCSI)

Thermodynamique : Second principe (PCSI)

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Exercice Quelques transformations

On considèrenmoles d'un gaz parfait diatomique (γ= 1.4) occupant un volumeV₁sous la pressionp₁. On lui fait subir une compression qui l'amène à un volumeV₂. Déterminez les expressions deW, Q et

∆U puis deS_e, S_c et ∆S dans les deux cas suivants : 1. La transformation est quasistatique et adiabatique.

2. La transformation est réversible et isotherme.

3. La transformation est adiabatique et monobare (pext=p2).

Solution

1. qs et adiab : LAPLACE !

δQ= 0 car adiabatique doncQ= 0 et∆U =W p₂V₂^γ = p₁V₁^γ donc p₂ = p_1V

1

V2

^γ

et T₂^γV₂^γ−1 =T₁^γV₁^γ−1 donc T₂ =T_1V

1

V2

^γ−1_γ

et ∆U = C_v∆T =

nR γ−1T1

V₁ V₂

^γ−1_γ

−1

Courbe de Clapeyron : pV^γ=cste

2. isotherme : T2=T1 et∆U = 0doncQ=−W

réversible⇒ quasi statique doncδW =−pextdV =−pdV

pV = nRT1 = cste donc V dp+pdV = 0 donc −pdV = V dp = ^nRT_p ¹dp donc δW = ^nRT_p¹dp donc W =nRT1ln^p_p²

1 =nRT1ln^V_V¹ Courbe de Clapeyron : pV =2 cste.

3. Monobare p_ext=p₁ etδW =−p_extdV doncW =−p₁(V₂−V₁) Adiabatique donc ∆U = 0 +W donc∆U =−p1(V2−V1) Or∆U =C_v∆T doncT₂=T₁+^γ−1_nRp₁(V₁−V₂)

Courbe de Clapeyron : p=p1

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Exercice Approche statistique de l'identité thermodynamique

On considère un système deNparticules identiques et indiscernables, réparties entre 2 niveaux d'énergies E1 et E2 > E1. On note N1 et N2 le nombre de particules dans chacun de ces états. On note ∆E = E₂−E₁.

1. Proposez et commentez une loi de répartition de la population de particule.

2. Exprimez l'énergie interne U en fonction deN1, N2, E1et E2, puis exprimez sa diérentielledU. 3. Exprimez l'entropie S du système, puis sa diérentielledS.

4. Quelle relation retrouve-t-on entredU etdS?

Indication : La formule de Stirling fournit un équivalent de factorielle :ln(n!)'n ln(n)pourn1.

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Deux corps solides S1et S2, de volumes invariables, possèdent de capacités caloriques constantesC1 etC2. Ils sont initialement portés aux températuresT10 et T20> T10.

1

On met les deux solides en contact thermiques. Déterminez la température nale de chacun des corps et la quantité d'entropie crée lors de la transformation.

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Exercice Trempe d'une épée

Un forgeron plonge une barre de fer chauée à une température T1 dans un tonneau d'eau initialement à une température T2. On négligera l'évaporation de l'eau et on considère la température homogène à tout instant dans les deux systèmes.

Déterminez la température nale de chacun des corps et la quantité d'entropie crée lors de la transformation.

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2 Daniel Suchet - 2012