Thermodynamique : cycles thermodynamiques (PCSI)
Exercice Cycle de Stirling
Le moteur de Stirling fonctionne grâce aux transformations denmoles d'un gaz parfait de coecientγ de la façon suivante :
1. Le gaz est chaué à la températureT2dans un cylindre isochore de volumeV1fermé par un piston bloqué.
2. Le piste est débloqué et le gaz le repousse en suivant une détente isotherme jusqu'à un volume V2> V1.
3. On bloque alors le piston pour refroidir le gaz à une température jusqu'à une températureT1< T2. 4. On enfonce le piston pour ramener de façon isotherme le gaz au volume initialV1.
Le cycle est considéré réversible.
• Représentez le cycle sur un diagramme de Clapeyron.
• Déterminez en fonction de T1, T2, a= VV2
1, net γ la quantité de chaleur Q1 reçue par le système pendant un cycle ainsi que la quantitéQ2 cédée par le système pendant un cycle.
• Déduisez en le rendement thermodynamique du cycle.
• Comparez ce rendement à celui d'un cycle de Carnot utilisant les mêmes sources thermiques.
Pour rappel, un cycle de Carnot est constitué de deux transformations isothermes et de deux transformations adiabatiques.
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Exercice Cycle d'une centrale nuéclaire
On s'intéresse au cycle d'une centrale thermique, représentée ci dessous :
On suit une massemd'eau au cours de son parcours. On traitera l'eau liquide comme incompressible et la vapeur d'eau comme un gaz parfait de capacité thermiquecg= 1.9kJ.kg−1.K−1.
• A : le uide est entièrement gazeux, àTA= 310◦C souspA= 10M P a.
• A→B : le uide subit une détente isentropique adiabatique au travers de la turbineT1, jusqu'à atteindrepB= 1M P a. Le uide est alors un mélange d'eau liquide et de vapeur d'eau.
• B →C: le uide est réchaué de manière isobare que contact du circuit primaire, jusqu'à atteindre Tc= 310◦C.
• C →D : le uide subit une détente isentropique adiabatique au travers de la turbineT2, jusqu'à atteindrepD= 10kP a.
• D→E: le uide est refroidit de manière isobare dans le condenseur, jusqu'à devenir complètement liquide.
• E→F : le uide est comprimé de manière isentropique.
• F →A : le uide est vaporisé de manière isobare dans l'échangeur.
1. On étudie la transition A →B. Quelle est la température TB ? En considérant un circuit ctif adapté, déterminez la fraction massique xde vapeur condensée au pointB. En déduire le travail fourni le uide et la chaleur échangée.
2. Quelle est la pression au pointC ? Déterminez la chaleur absorbée par le système pendant l'étape B →C.
3. Jusitiez que la compression isentropiqueE →F soit également isotherme. En déduire le travail et la chaleur apportés au uide pendant cette étape.
4. Complétez le tableau ci dessous
2 Daniel Suchet - 2012
Wmassique kJ.kg−1
Qmassique kJ.kg−1 A→B
B→C
C→D −800
D→E −2700
E→F F →A total
5. La puissance récupérer en sortie est d'environ 1GW. Quel débit massique d'eau circule dans le circuit secondaire ?
6. Exprimez le chaleur reçue par l'eau de la rivière par unité de temps. On notemextla masse d'eau qui reçoit cette chaleur. Que doit valoir mext pour que la température de la rivière n'augmente pas de plus de 5◦C ? En déduire le débit massique d'eau de la rivière nécessaire à refroidir le condenseur.
Données capacité thermique de l'eau liquide ce= 4.18kJ k−1kg−1.
• A 46◦C : Pression de vapeur saturante 0.01M P a. Chaleur latente de vaporisation : 2392kJ.kg−1.
• A 180◦C : Pression de vapeur saturante : 1M P a. Chaleur latente de vaporisation : 2013kJ.kg−1.
• A 310◦C : Pression de vapeur saturante 10M P a. Chaleur latente de vaporisation : 1319kJ.kg−1.
Solution
1. EnA : m vapeur d'eau àTA, pA. TA,pA
m vap →
TB,pB
xm vap (1−x)m liq
↓ ↑
TA,pA
m liq → TB,pA
m liq → TB,pB m liq
∆S=m
−∆vapTh(TA)
A
+mcelnTTB
A+0+xm∆
vaph(TB) TB
= 0doncx= celnTTA
B +∆vapTh(TA)
A
TB
∆vaph(TB) '0.75 Variation d'enthalpie : ∆H = m(−∆vaph(TA)) +mce(TB−TA) + 0 +xm(∆vaph(TB)) = W6=p + 0 =
−350kJ.kg−1 1. d
TB,pB xm vap (1−x)m liq
→ TB,pB
m vap → TC,pC=pB m vap
∆H = (1−x)m∆vaph(TB) +cgm(TC−TB) =Q= 750kJ.kg−1 2. ds=mcedT
T = 0 doncdT = 0 doncdH = 0. Et dV = 0car uide incompressible doncδW = 0. Donc δQ= 0 aussi
3. Tableau
Wmassique kJ.kg−1
Qmassique kJ.kg−1
A→B -350 0
B→C 0 750
C→D −800 0
D→E 0 −2700
E→F 0 0
F →A 0 ?=3100
total -1150 1150
3 Daniel Suchet - 2012
4. P =Wmassique×D doncD= 870kg.s−1
5. Pendant dt secondes, la rivière reçoit QDE×D×dt et sa température augmente de dT = QmDEDdt
extce et mext=Dextdt doncDext=DcQDE
e∆T
4 Daniel Suchet - 2012
