SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE
On rappelle la valeur de la constante des gaz parfaits :R = 8,31J.K−1.mol−1
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1) Une mole d’hélium est enfermée dans un cylindre dont les parois sont perméables aux transferts thermiques, lui-même plongé dans un thermostat à 273 K. Initialement le gaz est à la température de 300 K. On le laisse refroidir à volume constant. Quel est l’état d’équilibre ? Calculer la variation d’entropie ∆S du gaz, l’entropie échangée Se et l’entropie créée Scr. Commenter.
2) Partant de l’équilibre précédent, on réduit de moitié le volume du gaz de manière iso- therme et réversible. Mêmes questions.
Réponses : 1)∆S =−1,18J.K−1, Se =−1,23 J.K−1, Scr = 5,7.10−2 J.K−1 >0; 2)∆S =Se =−5,76J.K−1, Scr = 0.
2 Compression isotherme de l’air
Comme première étape de la liquéfaction de l’air, on réalise une compression isotherme réver- sible de 1,0 kg d’air de l’état E1 ( p1 = 1,0 bar ; T1 = 290 K ; u1 = 368 kJ.kg−1; s1 = 4,40 kJ.K−1.kg−1) jusqu’à l’état E2( p2 = 200 bar ; T2 = 290 K ; u2 = 338 kJ.kg−1; s2 = 2,68 kJ.K−1.kg−1) dans un compresseur fermé.
u1 et u2 représentent respectivement les énergies internes massiques dans l’état initial 1 et dans l’état final 2 , alors ques1 ets2 représentent respectivement les entropies massiques dans l’état initial 1 et dans l’état final 2.
1) En utilisant les deux principes de la thermodynamique, calculer le transfert thermique Q et le travailW reçu par l’air dans le compresseur.
2) ComparerQetW avec les valeursQ0 etW0 qu’on aurait obtenues en adoptant pour l’air le modèle du gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol−1.
Réponses : 1)Q=−499 kJ, W = 469 kJ ; 2)Q0 =−440 kJ, W0 = 440 kJ.
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On considère une masse d’eau me = 100 g dans laquelle plonge un conducteur de résistance R= 20 Ω. Cette dernière est parcourue par un courant de10A pendant1,0s. On note (S)le système formé de l’eau et de la résistance. On donne :
• masse du conducteur : mc= 19 g
• capacité thermique massique du conducteur : cc= 0,42 J.K−1.g−1
• capacité thermique massique de l’eau :ce = 4,18J.K−1.g−1
1) La température de l’ensemble est maintenue constante et égale à 20◦C grâce à un thermo- stat. Quelle est la variation d’entropie de (S) ? Quelle est l’entropie créée ? Quelle est la cause de la création d’entropie ?
2) Le même courant passe dans le conducteur pendant la même durée mais maintenant (S) est isolé thermiquement. Calculer la variation d’entropie de(S) et l’entropie créée.
Réponses : 1)∆S = 0, Scr =−Se = 6,82 J.K−1 >0; 2)∆S = 6,77J.K−1 =Scr >0.
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Un corps solide, de capacité thermiquemcsupposée constante, passe de la température initiale T0 à la température finale Tf = Tn, par contacts successifs avec une suite de n "sources de chaleur" (ou thermostats), de températureTi, étagées entre T0 etTf; on prendraTi+1/Ti =α avecαindépendant dei. Calculer l’entropie créée à chaque étape. En déduire l’entropie totale créée Scr en fonction demc, α et n. Étudier la limite de Scr pour n→ ∞.
On donne le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 : ex = 1 +x+x2 2. Réponses : Scr =nmc(lnα+α1 −1); Scr ' mc
2n
lnTf T0
2
−−−→n→∞ 0.
Indication : exprimerα en fonction de Tf, T0 et n.
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5 Diffusion thermique et création d’entropie
On considère une vitre d’épaisseur e, de surfaceS, séparant l’intérieur d’une maison à la tempéra- ture Tint = 20◦C de l’extérieur à la température Text = 0◦C. En régime stationnaire, le flux ther- miqueΦ(exprimé en W), orienté de l’intérieur vers l’extérieur, a pour expression (voir cours de Termi- nale) :
Φ = λS
e (Tint−Text)
avecλla conductivité thermique du matériau cons- tituant la vitre.
1) Quelle est l’unité S.I. de la conductivité thermique λ?
2) Vous montrerez en deuxième année qu’en régime stationnaire, la température varie linéai- rement avec x dans le matériau. Tracer la courbe donnant le profil de température (T en fonction de x).
3) On peut définir Rth la résistance thermique de la vitre. Quel est l’équivalent électrique du flux thermique Φet de la variation de température Tint−Text? Donner l’expression de la résistance thermique Rth en fonction deλ, e et S?
4) On noteδQintetδQext l’énergie reçue sous forme de transfert thermique par la vitre pendant le tempsdt, respectivement de l’intérieur et de l’extérieur. Donner les signes deδQintetδQext. En régime stationnaire, que peut-on dire de la variation d’énergie interne du système {vitre} ? En déduire la relation entre δQint et δQext.
5) En régime stationnaire, que peut-on dire de la variation de l’entropie du système {vitre} ? Faire un bilan entropique du système {vitre} pendant le temps dt.
6) En déduire l’entropie créée par unité de temps δScréée
dt dans la vitre en fonction de Φ, Tint
etText, puis en fonction deRth, Tint et Text. Conclure.
Application numérique : calculer l’entropie créée par unité de temps pour λ = 1,2 S.I., S= 1,2m2 ete = 5,0mm.
Réponse : δScréée
dt = 1 Rth
(Tint−Text)2 TintText >0.
6 Bilan entropique d’un mélange de deux gaz parfaits
Un cylindre isolé est partagé en deux compartiments de volumes V1 et V2. Dans le comparti- ment 1 il y a n1 moles de diazote à la température T1 et sous la pression p1, alors que dans le compartiment 2 il y a n2 moles de dioxygène à la température T2 sous la pression p2. Les gaz sont supposés parfaits.
1) On supprime la cloison de séparation. Que deviennent les pressions et la température ? 2) Effectuer le bilan entropique dans le casT1 =T2, V1 =V2 et n1 =n2 = 1.
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7 Transformation de glace en eau
On chauffe1,0g de glace pris à la températureTi = 250K, sous pression extérieure constante, pour le transformer en eau à la température T2 = 300 K. Calculer les variations d’enthalpie et d’entropie ∆H et ∆S.
On donne : la capacité thermique massique de la glace cg = 2,1 kJ.k−1.kg−1, celle de l’eau cl= 4,18kJ.K−1kg−1 et l’enthalpie massique de fusion de la glace à 273 KLf = 335 kJ/kg.
Réponses : ∆H = 496 J ; ∆S = 1,8J.K−1.
8 Glace dans un verre d’eau
Un verre contient initialement une masse me = 250 g d’eau à la température de Te = 25◦ C.
Deux glaçons de masse mg = 10 g chacun et de température Tg =−19◦C sont ensuite placés dans le verre. On supposera les échanges thermiques avec l’atmosphère négligeables.
1) Déterminer la température finaleTf et l’état final du sytème. On noteraTf usla température de fusion de la glace sous la pression atmosphériqueTf us= 0◦C.
2) Calculer l’entropie créée Sc, lors de la transformation.
Données : enthalpie massique de fusion de la glace ∆hfus(0◦C) = 333 J.g−1 capacité thermique massique de l’eau ce = 4,18 J.K−1.g−1 capacité thermique massique de la glace cg = 2,10 J.K−1.g−1 Réponses : 1)Tf = 16,5◦C ;
2)Sc= 2,09J.K−1.
9 Surfusion de l’eau
Une masse m= 20,0 g d’eau liquide très pure a été refroidie très lentement à la température T1 = 261 K (−12◦C). Cet état dans lequel l’eau est encore à l’état liquide malgré une tem- pérature inférieure à T0 = 273 K (0◦C) est qualifiée de métastable : la moindre perturbation (choc, introduction d’une poussière...) conduit à une solidification très rapide du liquide. On se propose ici d’étudier ce phénomène. On supposera que toutes les transformations ont lieu à la pression atmosphériqueP = 1,01bar. En outre, compte tenu de la rapidité avec laquelle l’eau surfondue se solidifie, on considérera les transformations adiabatiques.
1) Déterminer la masse de glace mg obtenue et la température finale T2. 2) Calculer l’entropie créée au cours de la transformation.
Données : enthalpie massique de fusion de la glace à0◦C : `f us= 3,35.102 kJ.kg−1 capacité thermique de l’eau liquide : c` = 4,18 kJ.K−1.kg−1
capacité thermique de la glace : cs= 2,06kJ.K−1.kg−1 Réponses : 1)mg = mc`(T` 0−T1)
f us = 3,0 g ;T2 = 273 K ; 2)∆S =mc`
lnTT0
1 −T0T−T1
0
= 8,3.10−2 J.K−1.
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