PCSI 2 Mouvement d’un solide
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MOUVEMENT D’UN SOLIDE
I Volant d'inertie pour machine tournante
Initialement immobile (w(0) = 0), une machine tournante de moment d'inertie J par rapport à son axe est soumise à partir de l'instant t = 0 à l'action d'un couple moteur de moment G = Go constant. On étudie le mouvement de la machine en supposant que l'ensemble des forces de frottement a un moment de la forme - k w.
1) Analyser ce mouvement en identifiant d'abord la vitesse angulaire wo atteint en régime permanent ainsi que le temps de relaxation t du système. Donner l'expression de w/w0 en fonction de t/t et décrire l'évolution.
2) On reprend l'étude précédente en supposant que, en raison de vibrations indésirables, le couple moteur n'est plus une constante mais est modulé à la fréquence W/2p avec un taux de modulation h tel que : G = Go (1 + h cos Wt).
Établir l'équation différentielle définie par la fonction e(t) telle que : w(t) = wo (1 + e(t)).
Montrer que, au bout d'un temps suffisant, e(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation W que l'on cherchera sous la forme : e(t) = a cos (Wt - j).
Déterminer les constantes a et tan j en fonction des données h, W et t.
A l'aide des expressions précédentes, expliquer pourquoi, de façon à régulariser le fonctionnement d'une machine tournante, on adjoint aux parties tournantes un anneau massif et de grand rayon appelé volant.
Réponse : !!
!= 1 − 𝑒"#/% avec t = J/k et w0 = G0/k ; 𝛼 = &
'()*"%" et 𝑡𝑎𝑛𝜑 = Ω𝜏.
II Enseigne de magasin
Une enseigne de magasin est composée d'une barre OA de masse m = 2,00 kg et de longueur L = 1,20 m mobile autour d'un point O. À l'extrémité A de la barre est suspendu un objet décoratif de masse M = 3,00 kg. En un point B tel que OB = 30,0 cm est fixée une tige BC perpendiculaire à la barre OA.
Lorsque l'enseigne est placée sur son support, la barre OA fait un angle a = 42,0°
avec la verticale.
1) Faire le bilan des forces extérieures exercées sur la barre OA.
2) Déterminer la force 𝐹⃗ exercée par la tige BC sur la barre OA lorsque l'enseigne est fixée sur son support.
Réponse : 𝐹 =+,)
#
"-./0123
45 = 105𝑁.
III Cylindre tournant
Un cylindre homogène de rayon r = 10 cm et de masse mcyl =1,0 kg peut tourner autour de son axe de révolution horizontal Z (𝐽678=
(
9𝑚678𝑟9). Il soutient un solide S de masse M = 10 kg par l’intermédiaire d’une corde enroulée sur le cylindre. Le cylindre est traversé, suivant un diamètre, par une tige t portant à ses extrémités deux masses égales de valeur m = 0,5 kg, pratiquement confondues avec leurs centres de gravité situés à une distance L = 50 cm de l’axe Z. Le système est abandonné à lui-même sans vitesse initiale.
Calculez, en négligeant les masses de la corde et de la tige t ainsi que les résistances passives : 1) l’accélération linéaire a du mouvement de S (g = 9,8 m.s-2),
2) la tension T du brin qui supporte S pendant ce mouvement,
3) le nombre de tours n effectués par le cylindre depuis le départ jusqu’au moment où la corde quitte le cylindre sachant que la masse M est alors descendue d’une hauteur h = 5,0 m,
4) la vitesse angulaire w du cylindre à ce moment-là.
Réponse : 2,8 m.s-2 ; 70 N ; 8,0 ; 53 rad.s-1.
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IV Équilibre d’une poulie
1) Rappeler les conditions d’équilibre d’un solide.
2) On considère le système représenté sur le schéma ci-contre. La poulie est homogène, de centre C, de masse M, elle peut tourner sans frottements autour de son axe passant par C ; cet axe est suspendu à un ressort de raideur k ; le fil, inextensible, sans masse, est fixé au sol en A ; il s’enroule sans glisser sur la poulie et supporte en B une masselotte de masse m.
On repère la position de C par son abscisse x sur un axe vertical descendant, l’origine étant située à la position à vide du ressort.
a) Faire le bilan des forces exercées sur la poulie.
b) La poulie étant à l’équilibre, déterminer l’expression de la tension T du fil DA en fonction des données.
c) En déduire la valeur xeq de x à l’équilibre.
3) A un instant pris comme origine, on coupe le fil entre E et B, alors que la poulie est en équilibre.
La portion DA du fil se détend alors instantanément et la masse m tombe. Déterminer l’équation horaire x(t).
Réponse : T = mg ; 𝑥:; =,.)9<.= ; 𝑥(𝑡) =9<.= 𝑐𝑜𝑠 ;<,=𝑡= +,.=.
V Mesure de l’intensité du champ de pesanteur terrestre en un point
Un expérimentateur désire mesurer l’intensité du champ de pesanteur terrestre à la surface de la Terre. Il va pour cela utiliser tour à tour deux types différents de pendule.
Partie A - Utilisation d’un pendule sans ressort de rappel
Un pendule est composé par un solide de masse m, de centre d’inertie G, mobile autour d’un axe horizontal (Oz) et de moment d’inertie J par rapport à l’axe (Oz).
Il peut effectuer des mouvements de rotation dans le plan vertical (Oxy), autour de l’axe horizontal (Oz). La position du pendule est repérée par l’angle θ entre la droite (OG) et la verticale descendante. On notera a la distance OG.
L’étude sera menée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Les frottements au niveau de l’axe de rotation et les frottements de l’air seront négligés.
Le pendule ainsi décrit se trouve dans le champ de pesanteur terrestre caractérisé par le vecteur 𝑔⃗ tel que 𝑔⃗ = 𝑔𝑒⃗>.
1) Quel est le nom de la liaison permettant de faire tourner le solide autour de l’axe de rotation ?
2) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par l’angle θ au cours du temps.
3) En déduire la période T des petites oscillations du pendule autour de sa position d’équilibre, repérée par θ = 0. On exprimera T en fonction de J, m, a et g.
4) On souhaite étudier l’influence d’une variation d’intensité Dg du champ de pesanteur sur la période du pendule. Pour cela, on définit la sensibilité s du pendule comme le rapport s = DT/T où DT représente une variation infiniment petite de la période du pendule engendrée par une variation infiniment petite Dg du champ de pesanteur.
a) On note T1 la période obtenue lorsque l’intensité du champ de pesanteur est g et T2 lorsqu’elle est g + Dg. À l’aide d’un développement limité à l’ordre 1, exprimer T2 en fonction de T1 et de Dg/g. On rappelle que (1 + ε)α ≃ 1 + αε où ε est une grandeur sans dimension telle que |ε| ≪ 1.
b) En déduire s en fonction de Dg/g.
Partie B - Utilisation d’un pendule avec ressort spiral de rappel
Le pendule précédent est maintenant soumis à l’action d’un ressort spiral (non représenté sur le schéma) qui exerce un couple de rappel M = −Kθ sur le pendule où K est une constante positive.
La position du pendule est repérée par l’angle θ entre la droite (OG) et la verticale ascendante.
On notera a la distance OG.
L’étude sera menée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
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Les frottements au niveau de l’axe de rotation et les frottements de l’air seront négligés.
Le pendule ainsi décrit se trouve dans le champ de pesanteur terrestre caractérisé par le vecteur 𝑔⃗ tel que 𝑔⃗ = 𝑔𝑒⃗>.
L’énergie potentielle du ressort spiral ne dépend que de l’angle θ et de la constante K et est donnée par l’expression 𝐸?(𝜃) =(9𝐾𝜃9. 1) Exprimer l’énergie mécanique totale Em du système pendule-ressort en fonction de K, θ, m, a, g, J et 𝜃̇ =@A@#.
2) En déduire l’équation différentielle du mouvement vérifiée par l’angle θ.
3) En considérant que l’angle θ reste petit, déterminer la condition à vérifier pour que la position θ = 0 soit une position d’équilibre stable d’un oscillateur harmonique. La relation sera donnée sous forme d’une relation entre K, m, g et a.
4) Déterminer dans ce cas la période T des petites oscillations du pendule autour de la position θ = 0. On exprimera T en fonction de K, J, g, a et m.
5) On considère encore que θ = 0 est une position d’équilibre et on définit comme précédemment s1 par le rapport s1 = DT/T où DT représente une variation infiniment petite de la période du pendule engendrée par une variation infiniment petite Dg du champ de pesanteur.
Comme précédemment, on note T1 la période obtenue lorsque l’intensité du champ de pesanteur est g et T2 = T1 + DT lorsqu’elle est g + Dg. On rappelle que (1 + ε)α ≃ 1 + αε où ε est une grandeur sans dimension telle que |ε| ≪ 1.
a) À l’aide d’un développement limité à l’ordre 1, exprimer 𝑇(9GB(
""−B(
$"H en fonction de DT/T1.
b) Exprimer indépendamment de la question précédente B(
""−B(
$" en fonction de J, a, m et Dg.
c) En déduire l’expression de s1 en fonction de m, a, K, g et Dg.
6) Montrer que l’on peut choisir la constante K de telle sorte que le deuxième pendule soit plus sensible que le premier et permette ainsi de détecter des variations plus faibles du champ de pesanteur terrestre.
7) Exprimer cette condition sous forme d’une relation entre K, g, m et a.
Réponse : 𝐽𝜃̈ + 𝑚𝑔𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 ; 𝑇 = 2𝜋<<.DC ; 𝑇9= 𝑇(G1 −(9∆..H ; 𝑠 = −(9∆.. ; 𝐸<=(9𝐽𝜃̇9+(9𝐾𝜃9+ 𝑚𝑔𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑡𝑒 ; 𝐽𝜃̈ + (𝐾 − 𝑚𝑔𝑎)𝜃 = 0 ; q = 0 équilibre stable si K > mga ; 𝑇 = 2𝜋<F"<.DC ; 𝑇(9GB(
""−B(
$"H = −2∆BB
$ ; B(
""−B(
$"=(9H)("G−<D∆.C H ;
𝑠(=9(F"<.D)<D∆. ; mga < K < 2mga.
VI Chute d'une tartine beurrée
Il s’agit ici sur un exemple d’illustrer la loi de Murphy (ingénieur aérospatial américain) que l’on peut énoncer de la façon suivante :
« Anything that can go wrong will go wrong ». On l’appelle aussi souvent la loi de « l’emmerdement maximum ».
On modélise une tartine beurrée par un parallélépipède de longueur 2a, de largeur b, d'épaisseur négligeable et de masse m uniformément répartie.
La tartine est placée au bord d'une table de hauteur h avec h >> a.
Le mouvement est décrit dans le repère R(O,x,y,z) direct et supposé galiléen : O est sur le bord de la table, l'axe (Ox) est horizontal dirigé vers l'extérieur de la table, l'axe (Oy) est porté par le rebord de la table et l'axe (Oz), vertical, est dirigé vers le bas.
Les petits côtés de la tartine sont parallèles à (Oy).
A l'instant initial, la tartine est horizontale et sa vitesse nulle.
Les coordonnées de son centre d'inertie G sont (δ,0,0).
La tartine amorce une rotation, supposée sans glissement, autour de l'arête (Oy) du bord de la table.
A l'instant t, la tartine est repérée par l'angle θ indiqué sur la figure. Sa vitesse angulaire est notée ω.
Le moment d'inertie de la tartine par rapport à l'axe (Gy), parallèle à (Oy) et passant par G vaut 𝐽J7 =(K𝑚𝑎9. Celui par rapport à l'axe (Oy), parallèle à (Gy) et passant par O vaut 𝐽47=(K𝑚𝑎9+ 𝑚𝛿9.
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1) En admettant que la tartine constitue un système conservatif, montrer à l’aide de considérations énergétiques que, lors de la rotation autour de l'arête de la table : 𝜔9= 𝜔L9𝑠𝑖𝑛𝜃 avec 𝜔L9=.D()K&M&" et 𝜂 =ND.
2) La tartine quitte la table à un instant pris comme origine des temps, l'angle θ vaut alors π/2 et la vitesse angulaire initiale ω0. Quelle est la loi d'évolution ultérieure de l'angle θ (on suppose que le mouvement de G reste plan et qu'il n'y a pas de contact ultérieur avec la table), en négligeant les frottements dus à l'air ?
Indication :
On utilisera le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique d’origine G et en translation par rapport au référentiel terrestre. Dans ce référentiel, on peut montrer que la dérivée par rapport au temps du moment cinétique calculé en G d’un système est égale au moment résultant par rapport à G des forces extérieures agissant sur le système, même si ce référentiel n’est pas galiléen (comme c’est le cas ici).
3) Dans les circonstances courantes, le coefficient de surplomb ne dépasse guère 0,02.
On pourra donc supposer, dans la suite, que h << 1 (soit δ << a).
Exprimer alors la durée de chute t de la tartine en fonction de h et g (on rappelle que l’on a h >> a).
Calculer t pour h = 75 cm et g = 9,8 m.s-2.
Quelle est la chance de rattraper la tartine avant qu'elle n'atteigne le sol ?
4) Déterminer l'angle θ1 dont a tourné la tartine lorsqu'elle heurte le sol.
Faire l'application numérique avec h = 0,02 et a = 5 cm.
Conclusion.
5) Quelle est la valeur minimale hmin de h permettant à la tartine d’atterrir côté pain ?
6) Cette même expérience est réalisée par un extraterrestre vivant sur une planète où le champ de pesanteur est la moitié de celui de la Terre. Sur cette planète, les organismes, et les objets …, ont des dimensions adaptées aux conditions qui y règnent, donc des hauteurs moitié de celles sur Terre. Conclusion ?
Réponse : q = w0t + p/2 ; 𝜏 ≈ <9O. ; q1 = 2.102° ; hmin = 5.10-2.
