Exercice 2 France métropolitaine session de sept 2007
1.a.
1 2
1
u0
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u9
1.b.On sait que si une suite récurrente définie parun+1=f(un)converte, alors sa limite est soluton de l’équationx=f(x). Ici, la limite est donc solution de l’équationx= 1
3x+23
27 ⇒x= 23
18. Si elle la converge, la suite admet pour limite 23 18 . 1.c.La démonstration se fait par récurrence : soitPn la propriété :un≥ 23
18. Initialisation : u0= 2≥23
18. P0est donc vraie.
Hérédité :SupposonsPn vraie, c’est à direun≥ 23 18. Alors, 1
3un+23 27 ≥ 1
3×23 18+23
27 puisque la fonction 1 3x+23
27 est croissante surR. On a donc 1
3un+23 27≥ 1
3×23 18+23
27.Or 1 3×23
18+23 27 = 23
18 donc 1
3un+23 27 ≥23
18 Qui prouve quePn+1est vraie.
La propriété est vraie pourn= 0. La supposant vraie à l’ordren, la propriété est encore vraie à l’ordren+ 1.
D’après l’axiome de récurrence, la propriété est donc vraie pour toutn≥0.
1.d.un+1−un= 1
3un+23
27−un⇒un+1−un= −2
3 un+23
27 or un≥ 23
18 donc −2
3 un≤−2 3 ×23
18. On a doncun+1−un ≤−2
3 ×23 18+23
27 ⇒un+1−un≤0puisque −2 3 ×23
18+23 27 = 0.
La suite(un)est donc décroissante.
La suite(un)est décroissante, minorée par 23
18. Elle converge donc et d’après le1.b.sa limite est 23 18 . 2.a.La démonstration se fait encore par récurrence : soitPn la propriété :
n+1
k=2
1 10k = 1
90
1− 1 10n
.
Initialisation : P1 est vraie car
2
k=2
1 10k = 1
100 et 1 90
1− 1
101
= 1 100. Hérédité :SupposonsPn vraie, c’est à dire
n+1
k=2
1 10k = 1
90
1− 1 10n
.
Alors
n+2
k=2
1 10k =
n+1
k=2
1
10k + 1 10n+2 ⇒
n+2
k=2
1 10k = 1
90
1− 1 10n
+ 1
10n+2 d’après l’hypothèse de récurrence 1
Donc
n+2
k=2
1
10k = 10n−1 90×10n + 1
10n+2
= 10n−1
9×10n+1 + 1
10n+2 et en réduisant au même dénominateur (qui sera9×10n+2)
= 10n+1−10 + 9 9×10n+2
= 10n+1−1 9×10n+2
= 10n+1−1 90×10n+1
= 1 90
10n+1−1 10n+1
et en "cassant la fraction :
n+2
k=2
1 10k = 1
90
1− 1 10n+1
Pn+1 est donc vraie.La propriété est vraie pour n= 1. La supposant vraie à l’ordre n, la propriété est encore vraie à l’ordren+ 1. D’après l’axiome de récurrence, la propriété est donc vraie pour toutn≥1.
1.b.On constate que la suite(vn)estconstruite de la manière suivante :vn =v0+ 7×10−1+ 7×10−2+...+ 7×10−n c’est à direvn =v0+ 7×:
n
k=2
1 10k.Or
n
k=2
1 10k = 1
90
1− 1 10n−1
doncvn =v0+ 7× 1 90
1− 1 10n−1
Or lim
n→+∞
1
10n−1 = 0donc lim
n→+∞vn=v0+ 7× 1
90 ⇒ lim
n→+∞vn =12 10+ 7
90 =23 18. La suite(vn)converge donc vers un nombre rationnel : 23
18 .
3.La suite(un)est décroissante, la suite(vn)est croissante par construction. Les deux suites convergent vers la même limite ; leur différence tend donc vers0. Les suites sont bien adjacentes.
Remarque :On démontre à l’occasion ,sur cet exemple, qu’un nombre rationnel est limite commune de deux suites adjacentes de nombres rationnels. On a vu en TD que cette propriété est vraie non seulement pour les rationnels, mais plus généralement pour les réels, c’est à dire que tout nombreréelest limite commune de deux suites adjacentes de nombresrationnels. C’est une des manières de définir les nombres réels à partir des rationnels.
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