Physique Atomique

Nom du cours :

Physique Atomique

Cursus/option : 1

année Date de mise à jour : 19 mai 2010

Année scolaire : 2009/2010 Auteur : Denis Boiron

Table des matières

0 Introduction 1

0.1 Contenu du cours . . . 1

0.1.1 Pré-requis . . . 1

0.1.2 Sujets abordés dans le cours . . . 1

0.1.3 Liens avec les cours de l'école - Importance du domaine . . 2

0.1.4 Contenu de ce polycopié . . . 3

0.2 Bibliographie . . . 3

1 Perturbations indépendantes du temps 5 1.1 But de ce chapitre . . . 5

1.2 Résultats. . . 6

1.2.1 Introduction . . . 6

1.2.2 Cas d'une valeur propre non dégénérée . . . 6

1.2.3 Cas d'une valeur propre dégénérée . . . 7

1.3 Exemple . . . 8

2 Perturbations dépendantes du temps 11 2.1 But du chapitre . . . 11

2.2 Résultats. . . 12

2.2.1 Perturbation en échelon . . . 12

2.2.2 Perturbation sinusoïdale : cas général . . . 13

2.2.3 Excitation sinusoïdale : oscillations de Rabi . . . 13

2.3 Couplage vers un continuum : règle d'or de Fermi . . . 15

2.4 Application : interaction atome-lumière . . . 15

3 Particule dans un potentiel central - Moment cinétique partie I 17 3.1 Potentiel central. . . 17

3.2 Moment cinétique en mécanique quantique . . . 17

3.2.1 Dénition . . . 17

3.2.2 Propriétés . . . 18

3.3 Particule dans un potentiel central - traitement quantique . . . . 18

3.4 Notion d'états liés et d'états libres. . . 19

4 Moment cinétique partie II 21 4.1 Dénition . . . 21

4.2 Moment cinétique orbital et moment cinétique de spin . . . 21

4.3 Propriétés . . . 22

5 Composition de moments cinétiques 25 5.1 Introduction . . . 25

5.2 Position du problème . . . 25

5.3 Composition de deux moments cinétiques . . . 26

5.4 Coecients de Clebsch-Gordan . . . 27

6 Application à l'atome d'hydrogène 29 6.1 Position du problème . . . 29

6.2 Energies propres et états stationnaires . . . 30

6.2.1 Energie . . . 30

6.2.2 Etat stationnaire . . . 30

6.3 Corrections - structure ne et hyperne . . . 31

6.4 Eet Zeeman et Stark . . . 32

7 Atomes pluri-électroniques 35 7.1 Position du problème - notion de potentiel central . . . 35

7.2 Particules identiques - postulat de symétrisation . . . 36

7.3 Conséquences du postulat de symétrisation . . . 38

7.3.1 Principe d'exclusion de Pauli . . . 38

7.3.2 Mer de Fermi . . . 38

7.3.3 Condensat de Bose-Einstein . . . 38

7.4 Etat fondamental des atomes . . . 39

8 Interaction lumière matière - Introduction aux règles de sélec- tion 41 8.1 Hamiltonien d'interaction - approximation dipolaire électrique . . 41

8.2 Calcul perturbatif . . . 42

8.3 Règle de sélection en l'absence de structure ne et hyperne . . . 43

8.4 Règles de sélection générales . . . 43

8.5 Compléments . . . 44

8.5.1 Pompage optique . . . 44

8.5.2 Manipulation des atomes par laser . . . 44

8.5.3 Sites web . . . 45

Chapitre 0 Introduction

0.1 Contenu du cours

0.1.1 Pré-requis

Ce cours fait suite au cours de mécanique quantique. Il en est le prolongement et ne peut se comprendre sans une maîtrise des outils de base vus dans ce cours.

C'est particulièrement le cas pour l'équation de Schrödinger, les postulats de la mesure, la notation de Dirac, la notion d'espace produit tensoriel.

Notons d'ores et déjà que cela est aussi valable pour l'examen. A bon enten- deur ...

0.1.2 Sujets abordés dans le cours

La physique atomique est un vaste sujet dont on ne donnera qu'un aperçu.

Notons que c'est pour résoudre des problèmes de physique atomique (interpréta- tion des spectres de la lumière émise par les gaz) que la mécanique quantique a vu le jour.

Le but principal est de comprendre l'interaction entre la lumière et un atome.

L'interaction avec un matériau solide peut s'en déduire avec quelques connais- sances en physique du solide ; cela sera vu en cours de semi-conducteurs en pre- mière année et dans le cours "diodes lasers" en deuxième année.

Cependant pour arriver à comprendre cette interaction il faut d'abord "ca- ractériser quantiquement un atome", c'est-à-dire traiter quantiquement le mou- vement des électrons qui gravitent autour du noyau. Cela passe nécessairement par un traitement quantique du moment cinétique. Le seul atome qui se prête

à un traitement analytique, au moins au premier ordre, est l'atome d'hydrogène car il est particulièrement simple, étant composé uniquement de deux corps, un proton et un électron.

Mais pour comprendre le spectre d'absorption ou d'émission de cet atome il est nécessaire d'aller plus loin et de prendre en compte des eets faibles ("structure ne et hyperne"). Ces eets seront traités par une méthode perturbative. On commencera d'ailleurs ce cours par développer cette méthode.

0.1.3 Liens avec les cours de l'école - Importance du do- maine

Un cours de physique atomique permet en particulier d'avoir une base théo- rique sur les cours de 1A sur les semiconducteurs et de 2A sur les lasers (laser et diode laser). Il faut toutefois noter qu'une interprétation phéno- ménologique sut très souvent à comprendre et prédire le comportement

"lumineux" des matériaux. Un cours d'option en 2A (interaction matière- rayonnement) est le prolongement naturel de ce cours.

Il n'en reste pas moins que toute la physique autour de la recherche de nouveaux matériaux pour l'optique a son fondement en optique atomique et en physique du solide.

Ce que l'on appelle la spectroscopie (étude des spectres atomiques, molécu- laires ...) a une très grande importance de nos jours.

Toutes les informations en astrophysique sont des données spectroscopiques.

Leur étude permet de déterminer la composition chimique des étoiles, pous- sières, de détecter la présence d'eau sur les planètes, etc.

Les LIDAR (LIght Detection And Ranging) permettent de sonder la compo- sition de l'air en fonction de l'altitude (mesure de la pollution par exemple).

Détermination de composés biologiques.

Dans un domaine un peu plus en amont (non encore industrialisé) le contrôle n de la lumière et des atomes au niveau quantique pourrait avoir un débouché industriel en plus de son évident intérêt scientique. On peut citer :

l'optique quantique : contrôle des photons, cf la cryptographie quantique pour une transmission parfaitement sécurisée de données (des tests grandeur nature ont été probants). Un cours en 3A est proposé sur ce thème.

L'optique atomique : contrôle des atomes par lumière ou plus généralement

par des ondes électromagnétiques.

L'interférométrie atomique pour des mesures ultra-précises de rotation, de la gravité, du temps.

Ordinateur quantique qui permet de faire certains calculs beaucoup plus ecacement qu'un ordinateur traditionnel.

Domaine des atomes froids : contrôle et ralentissement de gaz atomiques jusqu'à des températures extrêmement basses (→10⁻⁹ K !).

Signalons l'attribution récente de deux prix Nobel en 1997 et 2001 pour ce pôle de recherche ¹.

http ://nobelprize.org

0.1.4 Contenu de ce polycopié

Ce texte ne sera qu'un résumé du cours. Il arrivera souvent que seules les conclusions soient énoncées.

0.2 Bibliographie

Comme pour le cours de Mécanique Quantique, le livre en deux tomes Méca- nique Quantique de C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloe est une source quasi-inépuisable d'informations. Les compléments sont particulièrement in- téressants car ont souvent un contenu physique et sont moins axiomatiques que le cours.

Physique atomique de B. Cagnac et J.-C. Pebay-Peroula est très physique et bien écrit. Il aborde beaucoup plus de sujets que nous n'en traiterons et de manière plus approfondie.

Quantum Mechanics de L.I. Schi. Un livre de référence en anglais.

Mécanique Quantique de A. Messiah. Un peu plus dicile de rentrer dedans ; niveau plus élevé. Une bible toutefois des livres français.

Mécanique Quantique de J.-L. Basdevant et J. Dalibard. Le cours de l'X.

11997 : Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji, William D. Phillips et 2001 : Eric A. Cornell, Wolfgang Ketterle, Carl E. Wieman.

Chapitre 1

Perturbations indépendantes du temps

1.1 But de ce chapitre

La question posée est la suivante :

Soit un Hamiltonien Hˆ somme de deux termes, un Hamiltonien connu Hˆ0

et un terme nommé Vˆ dans la suite. Par Hamiltonien connu on veut dire un Hamiltonien dont on connait les valeurs et vecteurs propres. Peut-on trouver un bon ordre de grandeur pour les valeurs et vecteurs propres de Hˆ?

La réponse est oui si Vˆ est "petit". On dénira plus précisément ce qu'on entend par petit, et on verra que la réponse dépend aussi de la dégénérescence ou non des valeurs propres de Hˆ₀.

Remarques :

les résultats obtenus sont valables pour tout opérateur Aˆ= ˆA₀+ ˆW où les valeurs propres et vecteurs propres deAˆ₀ sont connus et Wˆ "petit" devant Aˆ0. Ils ne sont pas spéciques à l'opérateur Hamiltonien.

On pourrait évidemment faire une résolution numérique de la matrice pour trouver valeurs et vecteurs propres. Dans la pratique, cela est souvent im- possible car la matrice à diagonaliser est de dimension trop importante, même pour des ordinateurs très puissants.

1.2 Résultats

1.2.1 Introduction

Soit Hˆ = ˆH₀+ ˆV.

On note En les valeurs propres de Hˆ0 et |φn,ji les vecteurs propres associés.

L'indice supplémentaire j indique que la valeur propre E_n peut être dégénérée c'est-à-dire avoir plusieurs vecteurs propres associés. Si on note g_n le degré de dégénérescence deEn, alors :

Hˆ0|φn,ji=En|φn,ji ∀n, ∀j = 1, ..., gn

Evidemment, si Vˆ = 0 les valeurs et vecteurs propres de Hˆ sont ceux de Hˆ₀. Dans le cas général, on écrit :

H|ψˆ _n,ki=E_n|ψ_n,ki ∀n, ∀k = 1, ..., G_n

avec G_n le degré de dégénérescence de la valeur propre E_n et {|ψ_n,ki}_k=1,...,Gn l'ensemble des vecteurs propres associés.

On va chercher les énergies E_n et les vecteurs propres |ψ_n,ki par un dévelop- pement limité autour deE_n et|φ_n,ji. On sera amené à traiter les énergies propres dégénérées et non dégénérées séparément.

On écrit les développements limités de la manière suivante : ( E_n=En⁽⁰⁾+En⁽¹⁾+En⁽²⁾+...

|ψ_n,ki=|ψ⁽⁰⁾_n,ki+|ψ⁽¹⁾_n,ki+|ψ⁽²⁾_n,ki+...

où les termes en (0) sont indépendants de Vˆ, ceux en (1) linéaires, en (2) qua- dratiques, etc.

Il sut alors d'injecter ce développement dans H|ψˆ n,ki =En|ψn,ki et d'exa- miner ordre par ordre le résultat.

1.2.2 Cas d'une valeur propre non dégénérée

On obtient les résultats suivants :

Soit E_n une valeur propre non dégénérée E_n =En⁽⁰⁾+En⁽¹⁾+En⁽²⁾+...

avec :











En⁽⁰⁾ =En

En⁽¹⁾ =hφ_n|Vˆ|φ_ni E_n⁽²⁾ =X

p6=n

X

j=1,...,gp

|hφ_p,j|Vˆ|φ_ni|² En⁽⁰⁾−Ep⁽⁰⁾

Et :

avec |φ_ni le vecteur propre associé à E_n

|ψ_ni=|ψn⁽⁰⁾i+|ψ⁽¹⁾n i+...

avec :







|ψ⁽⁰⁾n i=|φ_ni

|ψ⁽¹⁾_n i=X

p6=n

X

j=1,...,gp

hφ_p,j|Vˆ|φ_ni En⁽⁰⁾−Ep⁽⁰⁾

|φ_p,ji

Remarques :

On retrouve évidemment (En,|φni) à l'ordre 0.

On vérie bien que l'énergie à l'ordre 0 est indépendante de Vˆ, est linéaire à l'ordre 1, quadratique à l'ordre 2, etc...

La perturbation Vˆ est petite si En⁽²⁾ En⁽¹⁾ En⁽⁰⁾. Il faut donc que hφ_p|Vˆ|φ_ni |E_n− E_p|.

1.2.3 Cas d'une valeur propre dégénérée

On ne peut pas utiliser le résultat précédent siE_nest dégénérée pour plusieurs raisons :

Rien ne dit que G_n=g_n; dans la plupart des cas c'est d'ailleurs faux. Il ne peut donc pas y avoir de bijection entre|ψ_n,kiet |φ_n,ji.

On voit immédiatement que |ψn⁽⁰⁾i est l'un des vecteurs propres |φ_n,ji ou une combinaison linéaire de ceux-ci, mais laquelle ?

Dans l'expression de l'énergie à l'ordre 2 et de la fonction d'onde à l'ordre 1 sur quoi faudrait-il sommer (le dénominateur s'annule pour des vecteurs propres du même sous-espace de dégénérescence) ?

Si l'on imagine qu'il existe deux énergiesE_netE_k très proches alors on voit sur les expressions précédentes que le termep=k va dominer. En passant à la limite E_k → E_n, on "sent" bien que seuls ces vecteurs propres vont

compter et donc qu'au premier ordre il sut de tenir compte des vecteurs du même espace de dégénérescence pour calculer l'eet de la perturbation.

En fait, si on reprend le calcul de façon correct, on aboutit au résultat suivant : Soit E_n une valeur propre de degré de dégénérescence g_n.

L'énergie à l'ordre 0 est évidemment En.

La dégénérescence est totalement ou partiellement levée à l'ordre 1.

Ces énergies E_n,j⁽¹⁾ sont les valeurs propres de la restriction de Vˆ au sous-espace de dégénérescence.

Les vecteurs propres à l'ordre 0, |ψ⁽⁰⁾_n,ji, sont les vecteurs propres correspondants.

Remarques :

La restriction de Vˆ au sous-espace de dégénérescence est la matrice écrite dans la base des |φn,ji et est donc de dimension gn.

Les vecteurs propres de la restriction deVˆ n'ont aucune raison d'être aussi vecteurs propres de Vˆ.

Si la restriction deVˆ a des valeurs propres dégénérées on ne connaît toujours pas la fonction propre à l'ordre 0.

On se retrouve ici à diagonaliser une matrice, mais contrairement àHˆ celle- ci est généralement de taille beaucoup plus petite et donc "traitable" ana- lytiquement ou numériquement.

Le cas non dégénéré est compris dans ce traitement. Sig_n = 1, la restriction de Vˆ est une matrice 1×1, c'est-à-dire un nombre, donc la valeur propre associée est ce nombre.

1.3 Exemple

On considère le Hamiltonien Hˆ = ˆH₀+ ˆV avec

Hˆ₀ =





a 0 0 0 b 0 0 0 b



 Vˆ =





0 0 e 0 0 d e d 0



 avec a6=b, e6=d.

Les valeurs propres de Hˆ₀ sont E₀ = a, de vecteur propre |φ₀i = (1,0,0) et E₁ = b, dégénérée deux fois de vecteurs propres |φ_1,1i = (0,1,0) et

|φ_1,2i= (0,0,1).

Il faut traiter séparément le cas de a et b. On notera les énergies de Hˆ E₀, E₊ et E− et les vecteurs propres |ψ₀i,|ψ₊i et |ψ−i.

Pour a, valeur propre non dégénérée, on obtient : E₀⁽¹⁾ =hφ₀|Vˆ|φ₀i= 0.

A l'ordre 2, il vient : E₀⁽²⁾ = P

j=1,2

|hφ_1,j|Vˆ|φ0i|²

E⁽⁰⁾₀ −E₁⁽⁰⁾ = _a−b^e2 . Donc E₀ ≈a+ _a−b^e2 .

A l'ordre 1,|ψ⁽¹⁾₀ i= P

j=1,2

hφ1,j|Vˆ|φ0i

E⁽⁰⁾₀ −E⁽⁰⁾₁ |φ_1,ji= _a−b^e |φ_1,2i. Donc |ψ₀i ≈ |φ₀i+_a−b^e |φ_1,2i.

Pour b, valeur propre dégénérée :

On écrit la restrictionVˆ₁ deVˆ au sous-espace de dégénérescence, c'est-à- dire la matrice 2×2 suivanteVˆ₁ =

0 d d 0

.

Vˆ agit dans un espace à trois dimensionsE₃ etVˆ₁ dans un espace à deux dimensions E2. Le vecteur (0,1,0)de E3 correspond au vecteur (1,0) de E₂ et de même (0,0,1) correspond à (0,1).

La matrice de Vˆ₁ a pour valeur propre d, de vecteur propre ^√1₂[(1,0) + (0,1)] et −d de vecteur propre ^√1₂[(1,0)−(0,1)].

Dans E₃ cela correspond à ^√1₂(|φ_1,1i+|φ_1,2i) et ^√1₂(|φ_1,1i − |φ_1,2i). Donc E₊⁽¹⁾ =d et E₋⁽¹⁾ =−d, d'où E₊ ≈a+d etE₋ ≈a−d. Avec |ψ₊⁽⁰⁾i= ^√1

2(|φ_1,1i+|φ_1,2i) et|ψ⁽⁰⁾₋ i= ^√1

2(|φ_1,1i − |φ_1,2i).

Chapitre 2

Perturbations dépendantes du temps

2.1 But du chapitre

Il faut bien comprendre que la problématique que l'on aborde dans ce chapitre est diérente de celle du chapitre précédent. On écritHˆ = ˆH₀+ ˆV(t)oùVˆ dépend ici du temps et Vˆ(t) = 0 pour t < 0. On cherchera ici à répondre à la question suivante : si à t = 0 le système est dans un état propre de Hˆ₀ quelle est la probabilité qu'à un instantt >0 le système soit dans un autre état propre deHˆ₀? On ne cherche donc pas les nouveaux états propres et énergies propres. Cela n'a d'ailleurs pas vraiment de sens puisque le Hamiltonien dépend du temps¹.

On répondra à cette question dans le cas où Vˆ peut être traité perturbati- vement. On étudiera plus particulièrement les cas Vˆ(t) = ˆV₀ et Vˆ(t) = ˆV₀sinωt avec toujoursVˆ(t) = 0 sit <0.

Dans un système à deux niveaux (Hˆ est alors une matrice 2×2), on peut traiter le cas de façon exacte. On introduira ainsi le phénomène important de l'oscillation de Rabi. On étudiera et comparera cette situation à la précédente.

Pour raison de simplicité on ne considérera que le cas d'HamiltonienHˆ₀ dont les valeurs propres sont non dégénérées. On les note E_n avec |φ_ni les vecteurs propres associés.

1Ceci n'est en fait pas toujours vrai : si Vˆ = 0 pour t <0 et Vˆ est constant pour t > 0, on rentre bien dans le cadre de notre calcul et ici la notion de valeurs propres et de vecteurs propres a un sens.

2.2 Résultats

L'état du système à t= 0 est|Ψ(t= 0)i=|φ_ni. Que vaut |Ψ(t)i?

Les{|φpi}p formant une base, on peut décomposer l'état du système à l'instant t dans cette base :

|Ψ(t)i=X

p

c_p(t)|φ_pi (2.1)

Si Vˆ était nul, on trouverait c_p(t) = δ_pne^−iEnt/¯h. Dans le cas général, il sut de réinjecter cette décomposition de|Ψ(t)i dans l'équation de Schrödinger et de faire un développement limité, sachant que, Vˆ étant faible, |c_p(t)| |c_n(t)| ≈ c_n(0) = 1. On obtient alors :

La probabilité de trouver le système dans l'état |φki àt alors qu'il était dans |φ_ni àt = 0 vaut :

Pn→k(t) = 1

¯ h

Z t 0

dτhφ_k|Vˆ(τ)|φ_nie^{−i(En−Ek)τ /¯h}

2

Remarque :

On voit que Pn→k(t) est reliée à la transformée de Fourier dehφ_k|Vˆ(τ)|φ_ni. Cela signie donc que siVˆ(t)varie lentement, la probabilitéPn→k(t)ne sera

grande que si E_k≈E_n.

On retrouve bien que si hφ_k|Vˆ(τ)|φ_ni= 0, alors la probabilité est nulle.

2.2.1 Perturbation en échelon

On considère le cas Vˆ = 0 pourt <0 etVˆ = ˆV0 pour t >0. Alors

Pn→k(t) =

2hφk|Vˆ0|φni

E_n−E_k sin[En−Ek

2¯h t]

2

(2.2) Conclusions :

A moins d'un eet pervers dehφ_k|Vˆ₀|φ_ni, la probabilité àtxé, est maximale pour E_k ∼ E_n, c'est-à-dire que l'on reste préférentiellement dans le même état.

La probabilité croît commet² pourt petit.

Le résultat n'a de sens que si Pn→k(t) 1 car on a obtenu Pn→k(t) par une méthode perturbative.

2.2.2 Perturbation sinusoïdale : cas général

On considère le cas Vˆ = 0 pourt <0 etVˆ = ˆV₀sinωt pourt >0.

Commesinωt= _2i¹(e^iωt−e^−iωt), le calcul de la probabilité fait apparaître 3 termes (module au carré d'une intégrale dépendant dehφk|Vˆ(τ)|φni). Pour|En−Ek|t

¯

h, le terme croisé est très faible. Le calcul des deux autres termes conduit au même résultat que précédemment, Eq.(2.2), en faisantE_n−E_k→E_n−E_k±¯hω.

Donc si|E_n−E_k|t h¯,Pn→k(t) présente un maximum

• enE_n−E_k = ¯hω si E_n−E_k >0

• enE_k−E_n= ¯hω si E_n−E_k <0. Conclusions - Remarques :

Il apparaît un phénomène de résonance.

Cette résonance peut être comprise comme une équation de conservation de l'énergie, cf. section 2.4.

Comme précédemment, à résonance, la probabilité croît comme t². Ce ré- sultat n'est donc valable qu'à temps court.

Si les niveaux d'énergie {E_n}_n de Hˆ₀ sont assez séparés les uns des autres, l'interaction avec une perturbation sinusoïdale ne changera signicativement l'état du système que si la fréquence est égale à une diérence d'énergie (divisée par ¯h) entre deux niveaux de Hˆ₀.

2.2.3 Excitation sinusoïdale : oscillations de Rabi

Le caractère résonnant trouvé dans l'approche perturbative permet de simpli- er le calcul. Parmi tous les niveaux d'énergie du Hamiltonien, seuls ceux qui ont une diérence d'énergie de¯hω seront aectés par la perturbation sinusoïdale. On peut alors ne considérer que ceux là. Dans la suite on va se placer dans le cas où il n'existe qu'un seul couple (E_n, E_k) dans cette situation. On se ramène donc à un système à deux niveaux. La probabilité de transition peut alors être calculée exactement.

Si on injecte Eq.(2.1) dans l'équation de Schrödinger, on se retrouve avec un système de deux équations diérentielles couplées du premier ordre sur c_n et c_k : la solution analytique est connue.

On va exposer le calcul dans le cas E_n > E_k et ω ≈ (E_n−E_k) ². On pose

2La solution exacte existe mais le calcul est un peu pénible. Ce n'est pas, en plus, la situation physique la plus intéressante.

δ=ω−(E_n−E_k)/¯h et¯hΩ =hφ_k|Vˆ₀|φ_ni.

Fig. 2.1 Oscillation de Rabi. A résonance la probabilité oscille entre 0 et 1.

Pour δ =ω−(E_n−E_k)/¯h 6= 0, la probabilité est plus faible et oscille plus vite.

La courbe pointillé correspond à δ = Ω et celle en tiret à δ = √

2 Ω oùΩ est la fréquence de Rabi.

On trouve alors que c_k(t) = −^{√ Ω}

Ω²+δ² sin(√

Ω²+δ² t/2) et une formule ana- logue pour c_n(t) car |c_n|²+|c_k|² = 1.

La probabilité de transition, |c_k(t)|² est donc sinusoïdale. Si δ= 0, cette pro- babilité va de 0 à 1 avec pour fréquence caractéristiqueΩ. L'ecacité de transfert diminue siδ 6= 0. Ceci est illustré sur la gure2.1

On peut alors énoncer de façon générale que : si le système est initialement dans|φ_ni, une excitation de fréquenceω telle qu'il existe un niveauE_k avec |E_n− E_k| ≈¯hω et |E_n−E_l| ¯hω pour l 6=k, alors :

•la probabilité Pn→l(t)∼0 sil 6=k.

•P_n→k(t) oscille sinusoïdalement.

− Si|E_n−E_k|= ¯hω,







l'amplitude de l'oscillation vaut 1,

la fréquence d'oscillation vaut hφk|Vˆ0|φni/¯h, elle est appelée fréquence de Rabi.

− Si|E_n−E_k| 6= ¯hω,

la probabilité maximale diminue,

et la fréquence de l'oscillation augmente.

Remarques :

On retrouve bien une probabilité en temps court en t².

En choisissant le temps d'interaction, on peut contrôler la probabilité de transition de façon très précise.

En pratique, deux situations sont très souvent utilisées, en particulier en interférométrie atomique : le transfert total, nommé impulsion π, et la sé- paration en deux parts égales, appelée impulsionπ/2. Si on fait une analogie entre l'état du système avec la direction d'un faisceau lumineux, on voit que le premier cas simule l'eet d'un miroir, et le deuxième cas une séparatrice 50/50.

2.3 Couplage vers un continuum : règle d'or de Fermi

Jusqu'à présent, les Hamiltoniens considérés avaient toujours des énergies propres discrètes. Ce n'est évidemment pas une généralité³. Si les énergies propres sont continues, c'est-à-dire si l'écart entre niveaux d'énergie consécutifs est in- niment petit, on parle de continuum d'énergie.

Les résultats précédents ne sont alors plus applicables. En particulier le cou- plage entre un état discret et un continuum ne conduit pas à une oscillation ; au contraire il y a une évolution irréversible caractérisée par un taux de départ Γ donné par la règle d'or de Fermi :

Γ = 2π

¯

h |hφ_i|V₀|φ_fi|²ρ(E_f =E_i−¯hω)

oùρ est la densité d'états ⁴. Cela signie que si le système est initialement dans l'état discret, il va évoluer vers un état du continuum et ne reviendra pas dans l'état discret à un temps ultérieur.

2.4 Application : interaction atome-lumière

On démontrera au chapitre6que les niveaux d'énergie des atomes sont quan- tiés et on donnera dans le chapitre8la forme explicite du terme d'interactionVˆ entre un atome et une onde électromagnétique⁵. Si on considère une onde lumi- neuse monochromatique, on aura alors un terme d'intéraction enVˆ(t) = ˆV₀sinωt.

3 On peut citer par exemple le Hamiltonien d'une particule libre.

4 ρ(E)dE est le nombre d'états dont l'énergie est comprise entreE et E+dE.

5On connaît déjà la réponse ; c'est l'interaction dipolaire électrique (cf cours d'électroma- gnétisme).

De plus les fréquences de résonances (les termes |E_n−E_k|/¯h) sont très grandes, typiquement dans la gamme 10¹²−10¹⁵ s⁻¹. Donc dès que le temps d'interaction est grand devant 10⁻¹⁵−10⁻¹² s, ce qui est quasiment toujours le cas, on a le droit de simplier le problème et de se ramener à un système à deux niveaux et ainsi observer des oscillations de Rabi.

Soit, comme précédemment, deux niveaux d'énergie E_n etE_k de l'atome. On suppose que celui-ci se trouve initialement dansE_n. Une onde EM peut alors faire passer l'atome dans E_k :

La résonance |E_n−E_k| = ¯hω correspond à une conservation de l'énergie pour le système atome-onde EM. Le quantum d'énergie de l'onde esthω¯ et correspond à l'énergie d'un photon.

Si E_n < E_k c'est de l'absorption ; l'atome est excité et un photon a été prélevé dans l'onde EM.

SiE_n > E_kc'est de l'émission ; l'atome se désexcite et un photon est émis.

Il y a en fait une petite subtilité dans le cas de l'émission. Le vrai système qu'il faut considérer n'est pas l'atome mais le système atome + lumière. Il y a alors deux possibilités :

Soit la desexcitation est due à la lumière et on parle alors d'émission stimulée. Le photon émis aura les mêmes propriétés que le photon incident (comme dans un laser).

Soit la désexcitation est "naturelle", indépendante du fait qu'on a rajouté de la lumière. On parle d'émission spontanée. Comme il peut alors émettre le photon dans n'importe quelle direction il y aura donc couplage vers un continuum d'états possibles pour le photon émis. Cela signie que ce proces- sus est irréversible et va se produire, en moyenne après un temps de l'ordre de Γ⁻¹ appelé durée de vie. Dans un atome, celle-ci est typiquement dans la gamme des nanosecondes.

Chapitre 3

Particule dans un potentiel central - Moment cinétique partie I

3.1 Potentiel central

Un potentiel central est un potentiel qui ne dépend de la position de la particule qu'à travers sa norme ; il s'agit d'un potentiel isotrope. C'est le cas du potentiel életrostatique que l'on étudiera plus particulièrement dans le chapitre 6consacré à l'atome d'hydrogène.

3.2 Moment cinétique en mécanique quantique

3.2.1 Dénition

En mécanique classique, le moment cinétique est déni par L = r∧p. Si le potentielV(r)est central, la force résultante vautf =−^dV_dr ^r_r. Le moment de cette force par rapport à l'origine est donc nul. On en déduit que le moment cinétique est une constante du mouvement. C'est donc une quantité importante en méca- nique classique. Il en sera de même en mécanique quantique.

Si on écrit explicitement les composantes de ce vecteur, on trouve :







L_x =yp_z−zp_y L_y =zp_x−xp_z L_z =xp_y−yp_x

On voit que les composantes du moment cinétique font intervenir des produits de fonctions qui commutent en mécanique quantique (x ne commute pas avec p_x mais commute avecp_y etp_z). Il n'y a donc pas de problème pour dénir la version quantique.

On appelle moment cinétique orbital l'opérateur vectoriel Lˆ tel que







Lˆ_x = ˆYPˆ_z−ZˆPˆ_y Lˆy = ˆZPˆx−XˆPˆz

Lˆ_z = ˆXPˆ_y −YˆPˆ_x

On l'appelle orbital car on dénira dans le chapitre suivant le moment ciné- tique de façon plus générale.

3.2.2 Propriétés

Si on regarde l'action du moment cinétique orbital sur une fonction d'onde on trouve, en coordonnées sphériques(r, θ, φ) :

hr|Lˆ_z|ψi=−i¯h ∂_φψ(r) hr|Lˆ²|ψi=−¯h²

∂_θ²ψ(r) + _tan¹_θ∂_θψ(r) + _sin¹2θ∂_φ²ψ(r)

Ces deux opérateurs ne dépendent pas de la norme r mais uniquement des anglesθ etφ. Ils vont donc commuter avec tout opérateur ne dépendant que de r. On peut montrer alors que :























[ ˆLx,Lˆy] =i¯hLˆz,[ ˆLy,Lˆz] =i¯hLˆx, [ ˆLz,Lˆx] =i¯hLˆy

Les opérateurs Lˆ_z etLˆ² commutent entre eux

Les fonctions propres sont appelées harmoniques sphériques Y_l^m(θ, φ) Les valeurs propres de Lˆ² sontl(l+ 1)¯h²

Les valeurs propres de Lˆ_z sontm¯h l est un entier positif ou nul

m est un entier relatif compris entre −l etl.

3.3 Particule dans un potentiel central - traite- ment quantique

Le laplacien en coordonnée sphérique s'écrit :

∆ψ = ¹_r∂_r²(rψ) + _r¹2

∂_θ²ψ+ _tan¹_θ∂_θψ+ _sin¹2θ∂_φ²ψ

On reconnaît la norme de moment cinétique orbital. Cela signie donc que

Hˆ = _2m^Pˆ2 +V(ˆr) commute avec Lˆ² (toute la dépendance angulaire est contenue dans Lˆ²) et Lˆ_z. Les états stationnaires peuvent donc être cherchés sous la forme ψ(r, θ, φ) = ^ukl_r^(r)Y_l^m(θ, φ)où les Y_l^m sont les vecteurs propres deLˆ².

L'équation de Schrödinger aux valeurs propres,

− ¯h²

2mr∂_r²[rψ(r, θ, φ)] +V(r)ψ(r, θ, φ) + 1

2mr²hr|Lˆ²|ψi=Eψ(r, θ, φ) se ramène donc à :

− ¯h² 2m

d²u_kl

dr² +V_{ef f}u_kl=E_klu_kl avecV_{ef f}(r) =V(r) + l(l+ 1)¯h²

2mr² (3.1)

La résolution de cette équation est beaucoup plus simple que la précédente car il n'y a qu'une seule variabler. Il s'agit d'une équation de Schrödinger d'une particule ctive dans un potentiel eectif à une dimension d'expression

Vef f(r) = V(r) + l(l+ 1)¯h² 2mr²

Le terme en 1/r² représente une barrière centrifuge (terme positif qui augmente si le moment cinétique augmente).

A chaque valeur de l correspond un potentiel eectif. Les énergies propres de ce potentiel seront quantiées (voir paragraphe suivant) ; c'est pour cela que l'on a introduit un indicek supplémentaire pour les énergies propres E_kl et fonctions propres ^ukl_r^(r)Y_l^m(θ, φ). L'indice m n'intervient pas pour l'énergie car Lˆ_z n'inter- vient pas dans le Hamiltonien ¹.

Exemple d'un potentiel en 1/r (énergie électrostatique) :

On voit sur la gure 3.1 les potentiels eectifs pour l = 0,1,2 et 3. Tous ces potentiels forment un puits, mais celui-ci est d'autant moins profond que l est grand. Si on note le potentielV(r) =−α/r, le potentiel eectif aura un minimum en ^l(l+1)¯_mα^h2.

3.4 Notion d'états liés et d'états libres

Le potentiel montré en exemple est caractéristique : il ne représente un puits que pour des particules d'énergie inférieure à une certaine valeurE_q (E_q = 0dans l'exemple précédent).

1Les énergies seront donc forcément dégénérées2l+ 1fois

Fig. 3.1 Potentiel eectif pourl = 0,1,2et 3pour un potentiel en 1/r. Unités arbitraires.

Une particule d'énergie supérieure àE_q sera libre car la probabilité de la trou- ver, lors d'une mesure de sa position, loin der= 0 est non nulle. Ce n'est pas du tout le cas d'une particule d'énergie inférieure àE_q; elle est connée au voisinage du fond de puits de potentiel.

En conséquence,















les niveaux d'énergie supérieure à E_q correspondent à des états dits libres.

→ Les énergies ne seront pas quantiées.

Les niveaux d'énergie inférieure à Eq correspondent à des états dits liés.

→ Les énergies seront quantiées.

Dans la suite on s'intéressera essentiellement aux états liés.

Remarques :

Ce type de potentiel apparaîtra dans le traitement de l'atome d'hydrogène et correspondra au potentiel subi par l'électron. Passer d'un état lié à un état libre correspond alors à l'ionisation de l'atome.

Pluslest grand, plus les niveaux d'énergie sont proches du seuil d'ionisation.

On trouvera dans le chapitre 6 les expressions analytiques des énergies et fonctions propres pour un potentiel d'interaction électrostatique.

Chapitre 4

Moment cinétique partie II

4.1 Dénition

On appelle moment cinétique tout opérateur vectorielˆJ= ˆJxex+ ˆJyey+ ˆJzez

dont les composantes vérient les relations de commutation suivantes :







[ ˆJ_x,Jˆ_y] =i¯hJˆ_z [ ˆJ_y,Jˆ_z] =i¯hJˆ_x [ ˆJ_z,Jˆ_x] =i¯hJˆ_y

On dénit également l'opérateur Jˆ² par Jˆ² = ˆJ_x²+ ˆJ_y²+ ˆJ_z². La dimension d'un moment cinétique est ¯h et donc h¯² pour Jˆ².

4.2 Moment cinétique orbital et moment cinétique de spin

Le moment cinétique orbital déni au chapitre précédent vérie les relations du4.1 et est donc bien un moment cinétique. On l'appelle orbital pour rappeler qu'il est associé au mouvement d'une particule (mouvement de rotation).

Dans les années 1930 il a fallu introduire phénoménologiquement un autre type de moment cinétique pour interpréter certains résultats expérimentaux (expérience de Stern et Gerlach). On l'a appelé moment cinétique de spinSˆqu'on abrégera par spin dans la suite (en anglais "spin" veut dire tourner sur soi-même).

Ce moment cinétique n'a pas d'équivalent classique et n'agit pas dans l'espace réel à trois dimensions. On dénit un espace vectoriel spécique, l'espace vectoriel

de spin. Toutes les particules possèdent un spin.

4.3 Propriétés

On peut montrer les propriétés suivantes.

• Propriétés de commutation : - cf dénition du moment cinétique

- [ ˆJ²,Jˆi] = 0 pour i=x, y, z

• Valeurs propres :















- Les valeurs propres de Jˆ² sont j(j+ 1)¯h² - Les valeurs propres de Jˆ_z sontm¯h

-j est entier ou demi-entier positif

etm prend toutes les valeurs de −j à j par saut de 1.

j etm sont donc soit tous les deux entiers, soit tous les deux demi-entiers

• Exemples :

j = 2→m =−2,−1,0,1,2

j = 3/2→m=−3/2,−1/2,1/2,3/2

• Remarques :

On note généralement les indices (j, m) ou (j, m_j) pour un moment cinétique général, (l, m) ou (l, m_l) pour un moment cinétique orbital et (s, m) ou (s, m_s) pour un spin.

Un moment cinétique orbital à unl entier ; un spin peut avoir unsentier ou demi-entier. Les particules élémentaires (électrons, protons, neutrons) ont un spins= 1/2. La valeur propre de Sˆ² vaut alors ³₄¯h² et celles de Sˆz sont

±¯h/2.

• Notation des vecteurs propres :

Les vecteurs propres communs à Jˆz et Jˆ² sont notés |j, mi ou|k, j, mi. L'indice k rappelle l'indice k du chapitre précédent et est associé à l'opé-

rateur Aˆ (ou les opérateurs s'il y a plusieurs indices k) tel que ( ˆA,Jˆ²,Jˆ_z) forme un ECOC¹. Il est loin d'être évident et très souvent faux de dire que

1Ensemble Complet d'Observables qui Commutent, cf. cours de MECANIQUE QUAN-

j etmsont les seuls indices dont dépendent les énergies propres du système.

On reviendra sur ce point dans le chapitre suivant et sur celui consacré à l'atome d'hydrogène (chapitre6).

La dimension de l'espace vectoriel considéré vaut (nbre d'indiceskpossibles)×(nbre d'indicesjpossibles)×(nbre d'indicesmpossibles)=(nbre d'indiceskpossibles)×(nbre d'indices j possibles)×(2j+ 1).

• Opérateurs Jˆ₊ et Jˆ− :











Jˆ+ = ˆJx+iJˆy

Jˆ− = ˆJ_x−iJˆ_y Jˆ+|k, j, mi= ¯hp

j(j+ 1)−m(m+ 1)|k, j, m+ 1i Jˆ−|k, j, mi= ¯hp

j(j+ 1)−m(m−1)|k, j, m−1i

TIQUE.

Chapitre 5

Composition de moments cinétiques

5.1 Introduction

Au cours de deux derniers chapitres on a introduit le moment cinétique orbital et le moment cinétique de spin. Mais chaque particule possède ces moments. De plus, un atome, même le plus simple, contient plusieurs particules. En résumé, son Hamiltonien dépend de nombreux moments cinétiques. En mécanique classique c'est le moment cinétique total, somme des diérents moments cinétiques qui compte. C'est également le cas en mécanique quantique.

Mais une somme de moments cinétiques est-elle un moment cinétique ? Quels sont ses valeurs et vecteurs propres ?

On va traiter dans la suite de la somme de 2 moments cinétiques. La généra- lisation n'est pas plus compliquée.

5.2 Position du problème

SoitˆJ₁ etˆJ₂deux moments cinétiques. Cela peut être le moment cinétique de deux particules diérentes ou le moment cinétique orbital et de spin de la même particule.

Chacun agit dans son propre espace vectoriel E₁ et E₂ déni par sa base {|k₁, j₁, m₁i}_k1,j1,m1 et{|k₂, j₂, m₂i}_k2,j2,m2¹.

On va se placer dans l'espace vectoriel qui englobe les deux : l'espace vectoriel produit tensorielE =E₁N

E₂. Sa dimension est le produit des dimensions de deux

1On rappelle que les indices ki se réfèrent à des valeurs propres d'opérateurs additionnels pour former des ECOC. Pour simplier les notations, on les omettra dans la suite.

espaces. Les vecteurs |k₁, j₁, m₁iN

|k₂, j₂, m₂i constituent donc une base de E. Remarque :

L'opérateur Jˆ₁² n'est pas un opérateur agissant dans E; c'est par contre le cas de Jˆ₁²NIˆ_d2 opérateur prolongé de Jˆ₁² (Iˆ_d2 l'opérateur identité de l'espace E₂).

Cette notation est cependant assez lourde et par abus de language on conservera très souvent la notation Jˆ₁².

Quelques exemples et règles de calcul :

[ ˆA₁NAˆ₂,Bˆ₁NBˆ₂] = ˆA₁Bˆ₁NAˆ₂Bˆ₂−Bˆ₁Aˆ₁NBˆ₂Aˆ₂ 6= [ ˆA₁,Bˆ₁]N

[ ˆA₂,Bˆ₂]. [ ˆA₁NIdˆ ₂,Idˆ ₁NBˆ₂] = ˆA₁NBˆ₂−Aˆ₁NBˆ₂ = 0.

( ˆA₁NAˆ₂) (|k₁, j₁, m₁iN

|k₂, j₂, m₂i) = ( ˆA₁|k₁, j₁, m₁i)N

( ˆA₂|k₂, j₂, m₂i) On voit ainsi que tout opérateur de l'espace E₁ prolongé dans E (exemple précédent) va commuter avec tout opérateur de E₂ prolongé dans E.

5.3 Composition de deux moments cinétiques

Soit ˆJ =ˆJ1+Jˆ2 la somme de deux moments cinétiques.

On va se restreindre au sous-espace où k₁, j₁, k₂ et j₂ sont xés. L'espace produit tensoriel aura alors pour dimension(2j₁+ 1)×(2j₂+ 1)(ie nombre de valeurs possibles de m1 × nombre de valeurs possibles de m1).

La notation sera alors aussi simpliée ; on notera habituellement le vecteur ci-dessus plutôt |j₁, j₂, m₁, m₂i, voire |m₁, m₂i pour ne laisser apparaître que les quantités variables (m1 =−j1, ..., j1 et m2 =−j2, ..., j2). On montre alors que :







L'opérateur vectoriel ˆJ=ˆJ₁+ˆJ₂ est un moment cinétique.

Valeurs propres : Jˆ² →j(j + 1)¯h², Jˆ_z →m¯h avec m=−j, ..., j

Valeurs possibles de j : j =|j₁−j₂|,|j₁ −j₂|+ 1, ..., j₁+j₂−1, j₁+j₂ Il existe deux bases dans l'espace vectoriel E :























Jˆ₁²,Jˆ₂²,Jˆ_1z etJˆ_2z commutent entre eux

→ il existe une base de vecteurs propres communs notés |j1, j2, m1, m2i voire

|m₁, m₂i. Cette base est appelée base découplée.

Jˆ₁²,Jˆ₂²,Jˆ² etJˆ_z commutent entre eux

→ il existe une base de vecteurs propres communs notés |j₁, j₂, j, mi voire

|j, mi. Cette base est appelée base couplée.

Remarques :

La base couplée a bien la bonne dimension car ^j1P^+j2

j=|j₁−j2|

(2j + 1) = (2j₁ + 1)(2j2+ 1).

Jˆ_z commute avec Jˆ₁², Jˆ₂², Jˆ_1z etJˆ_2z mais ce n'est pas le cas de Jˆ².

5.4 Coecients de Clebsch-Gordan

Il existe donc deux bases naturelles du sous-espace produit tensoriel déni par (k₁, k₂, j₁, j₂). On appelle coecient de Clebsch-Gordan le produit scalaire entre un vecteur de la base couplée et un de la base découplée².

Un tel coecient est noté hj1, j2, m1, m2|j1, j2, j, mi. On montre alors que :

hj₁, j₂, m₁, m₂|j₁, j₂, j, mi= 0 si m6=m₁+m₂ ou j /∈[|j₁−j₂|, j₁+j₂]. Les vecteurs des bases couplée et découplée étant normés,











j1

P

m1=−j1

j2

P

m2=−j2

|hj₁, j₂, m₁, m₂|j₁, j₂, j, mi|² = 1

j1+j2

P

j=|j1−j2| j

P

m=−j

|hj1, j2, m1, m2|j1, j2, j, mi|² = 1 Les coecients sont réels

hj₁, j₂, m₁, m₂|j₁, j₂, j, mi=hj₁, j₂, j, m|j₁, j₂, m₁, m₂i Les coecients de plus grands indices sont connus

hj₁, j₂, j₁, j₂|j₁, j₂, j₁+j₂, j₁+j₂i= 1 hj₁, j₂,−j₁,−j₂|j₁, j₂, j₁+j₂,−j₁−j₂i= 1

Autres notations possibles : hj₁, j₂, m₁, m₂|j, mi, hj₁, j₂, j, m|m₁, m₂i.

2La matrice de changement de base entre les bases couplée et découplée a donc pour éléments les coecients de Clebsch-Gordan.

Chapitre 6

Application à l'atome d'hydrogène

6.1 Position du problème

Après ces chapitres sur le moment cinétique, on est enn prêt à aborder la détermination des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène.

Il faut d'abord bien comprendre que l'on aborde ici un problème à deux par- ticules : un électron et un proton. Le Hamiltonien total est la somme des deux énergies cinétiques et du terme de couplage qui est ici l'énergie électrostatique ¹ en−e²/(4π₀|r₁−r₂|).

Le hamiltonien s'écrit alors Hˆ = _2m^Pˆ21

1 +_2m^Pˆ22

2 −e²/(4π₀|ˆr₁−ˆr₂|).

On peut le réécrire sous la forme Hˆ = ˆH_cm + ˆH_rel où Hˆ_cm = _2M^Pˆ2 est le Hamiltonien du centre de masse etHˆ_rel= ^p_2µ^ˆ2−_4π^e2

0ˆr le Hamiltonien de la particule relative².

Comme la masse du proton est très grande devant celle de l'électron, on peut abusivement confondre le centre de masse avec le proton et la particule relative avec l'électron.

Clairement, les énergies propres de Hˆ_cm ne sont pas quantiées car il n'existe aucune contrainte sur la vitesse de l'atome d'hydrogène. Par contre les énergies négatives de Hˆ_rel seront quantiées. Cet Hamiltonien est exactement du même type que celui rencontré au chapitre3. C'estHˆ_rel qui nous intéressera dans toute

1 C'est évidemment une approximation, on y reviendra au6.3.

2La particule ctive du centre de masse, de masseM =m1+m2, a pour opérateur position R= [m1ˆr1+m2ˆr2]/(m1+m2) et opérateur impulsion Pˆ = ˆp1+ ˆp2. La particule ctive du mouvement relatif, de masse µ=m1m2/(m1+m2), a pour opérateur positionˆr= ˆr1−ˆr2 et opérateur impulsionpˆ= [m2pˆ1−m1pˆ2]/(m1+m2).

la suite du chapitre.

6.2 Energies propres et états stationnaires

6.2.1 Energie

On est donc amené à résoudre l'équation (3.1) avec V(r) = −_4π^e2

0r. Il existe une solution analytique et, par hasard, les énergies propres ne dépendent que d'un entier et non deux comme attendus (l, relié au moment cinétique orbital et l'indice supplémentairek).Cet entier, noté n, est strictement positif et est appelé nombre quantique principal.

On trouve E_n=−^E_n2^I .

E_I =−E₁ est l'énergie à fournir pour ioniser l'atome d'hydrogène depuis son état fondamental ; on l'appelle énergie d'ionisation et elle vaut 13.6 eV ³.

Pour un niveau d'énergie En donné, l varie de 0 àn−1.

6.2.2 Etat stationnaire

Un état stationnaire est déni par trois nombres : n, l et m ⁴. L'entier l, qui correspond au moment cinétique orbital de l'électron, est aussi appelé nombre quantique secondaire et m nombre quantique magnétique (cf Eet Zeeman).

Notation spectroscopique

Un tel état est noté par un chire puis une lettre. Le chire correspond à la valeur de n. La lettre correspond à la valeur de l; (l = 0) ↔ s, (l = 1) ↔ p, (l= 2)↔d, (l = 3)↔f, puis on suit l'ordre alphabétique.

Par exemple, comme 0≤l ≤n−1, on a l'état 1s pourE₁, 2s et 2p pourE₂, 3s,3p et 3d pour E₃, etc.

31 eV= 1.6 10⁻¹⁹ J

4On a pour l'instant négligé le spin d'où son absence (temporaire).

Fonction d'onde

On sait depuis le chapitre 3 que la partie angulaire de la fonction d'onde Ψ_n,l,m(r, θ, φ) de l'état stationnaire est une harmonique sphérique Y_l^m(θ, φ). La forme particulière du potentiel eectif permet de calculer analytiquement la par- tie radiale.

On obtient Ψ_n,l,m(r, θ, φ) =R_n,l(r)Y_l^m(θ, φ) avec R_n,l(r) = e^−nar0

n−1

P

i=l

c_irⁱ. Les coecients c_i sont connus et a₀ ≈5.3 10⁻¹¹ m est le rayon de Bohr.

Le terme en exponentielle montre que la taille caractéristique de l'orbite électronique estna0; plus n est grand plus l'électron est "loin du noyau".

Ce point couplé avec la valeur des niveaux d'énergie correspond au modèle phénoménologique de l'atome d'hydrogène introduit par Niels Bohr avant que le traitement quantique ne soit fait.

Exemples de fonctions d'ondes : niveau 1s : Ψ1,0,0 = √¹

πa³₀ e^−ar0 niveau 2s : Ψ_2,0,0 = √¹

8πa³₀(1− _2a^r

0)e^−2ar0 niveau 2p :







Ψ_2,1,0 = √ ¹

32πa³₀ r

a0 cosθ e^−2ar0 Ψ_2,1,±1 =∓√ ¹

64πa³₀ r

a0 sinθ e^−2ar0e^±iφ

6.3 Corrections - structure ne et hyperne

On distingue deux types d'eets dont on n'a pas tenu compte jusque là. Ces eets étant faibles on peut les calculer par la méthode des perturbations station- naires (cf chapitre 1). Ainsi, les énergies trouvées précédemment sont en réalité composées de plusieurs énergies très proches : la dégénérescence des niveaux est en très grande partie levée.

Structure ne : Tout d'abord il faut prendre en compte des eets relativistes dus à la vitesse de l'électron ; on obtient alors la structure ne. Des divers termes à prendre en compte, citons le couplage spin-orbite proportionnel à L.ˆ ˆS. Le spin intervient donc. Comme L.ˆ Sˆ peut être écrit sous la forme ¹₂(ˆJ²−Lˆ²−Sˆ²), ce terme est diagonal dans la base couplée (vecteurs propres de Lˆ²,Sˆ²,Jˆ²,Jˆ_z où ˆJ=Lˆ+ˆS).