_________________________________________________________________________ PHYSIQUE ATOMIQUE ET COLLISIONS 1.1 Physique des Plasmas - Chapitre I................................................................................................4

Physique des Plasmas - Chapitre I ... 4

Physique atomique - Collisions... 4

La Section efficace...4

(A) Réactions thermonucléaires ...8

(B) Réactions avec les électrons...11

(i) Collisions élastiques e-neutre ...11

(ii) Collisions inélastiques e-neutre ...11

(C) Réactions avec les ions ...22

(D) Diffusion élastique - collisions binaires...26

(E) Interactions avec une surface ...45

Émission secondaire ...47

Pulvérisation...48

Rétrodiffusion...52

La déposition de l’énergie chimique...53

Liste des figures

Figure 1 Schéma pour le calcul de la section efficace...4

Figure 2 La section efficace...6

Figure 3 Schéma d’une collision ...8

Figure 4 Sections efficaces de différentes réactions de fusion...9

Figure 5 Génération du Tritium à partir du Lithium. ...10

Figure 6 Probabilité de collision élastique des électrons dans l’hélium en fonction de leur énergie. ...12

Figure 7 Courbes d’énergie potentiel pour les états électroniques de H₂ et H₂⁺ entre l’état fondamental et 20 eV ...14

Figure 8 Courbes d’énergie potentielle pour les états électroniques de H₂⁺ pour des énergies plus élevée ...15

Figure 9 Énergie de seuil, états excités et résultats de la collision d’un électron sur la molécule de H2...16

Figure 10 Taux de réaction en cm³/sec et section efficace en cm² pour la production d’un ion H₂⁺ par la collision avec un électron...17

Figure 11 Taux de réaction en cm³/sec et section efficace en cm² pour la production d’un ion H⁺ par la collision avec un électron...18

Figure 12 Recombinaison...21

Figure 13 Section efficace d’échange de charge. ...25

Figure 14 Schéma d’une collision binaire. ...26

Figure 15 Illustration graphique de VAB = UAB...30

Figure 16 Collision binaire dans le référentiel du centre de masse. ...31

Figure 17 Représentation équivalente d’une collision binaire élastique...33

Figure 18 Potentiel coulombien...35

Figure 19 Potentiel de polarisation. ...36

Figure 20 Angle de déflection...39

Figure 21 Diffusion...40

Figure 22 Angle de diffusion ...41

Figure 23 Sommaire des interactions plasma-paroi...46

Figure 24 Coefficient d’émission secondaire électronique à incidence normale sur un métal typique...47

Figure 25 Coefficient d’émission secondaire pour le bombardement ionique de divers métaux...48

Figure 26 Taux de pulvérisation...50

Figure 27 Parcours de particules incidentes sur une surface dans le matériau...51

Figure 28 Coefficient de réflexion des particules et de l’énergie. ...52

Liste des tableaux

Table 1 Section efficace différentielle...23 Table 2 Section efficace totale ...23 Table 3 Valeurs maximales du coefficient d'émission secondaire et les énergies auxquelles les valeurs se produisent

...47 Table 4 Fonction de travail f, constante d’émission A et densité de courant pour différents émetteurs. (Tiré de Ionized Gases de Von Engel) ...48

Physique des Plasmas - Chapitre I

Physique atomique - Collisions

La Section efficace

Considérons un faisceau de particules incident sur une plaque dans le milieu d'intérêt:

Figure 1 Schéma pour le calcul de la section efficace

Il y a dn réactions/sec dans la boite. Si la densité de particules (atomes, molécules, noyaux)

dx n σ Γ

= Γ

d − _c 1. 3 qui admet comme solution:

Γ e

= (x)

Γ λ

x

o − 1. 4 où:

n σ

= 1 λ

c

1. 5 est le "libre parcours moyen" pour l'interaction considérée.

Si le faisceau est incident avec une vitesse v, on a x = vt:

e

=Γ (t)

Γ λ

t v

o − 1. 6 si on suit le faisceau, c’est-à-dire que le temps moyen entre les collisions est donné par:

v n σ

= 1 v

= λ τ

c

1. 7

et la fréquence de collisions ν est l’inverse du temps moyen entre les collisions donc:

v n σ τ =

=1

ν _c . 1. 8

La discussion qui précède introduit de façon intuitive le concept de libre parcours moyen. Peut-on définir ce concept de façon plus rigoureuse en se servant de la définition statistique du terme

"moyenne"?

Dans la Figure 2, le nombre de particules qui survit jusqu'à x est:

n e

= (x)

n _o ^{−x ncσ} 1. 9

Figure 2 La section efficace On peut considérern e x n σncσ

o − ^c comme une probabilité de collision dans (x, x + dx), e dx

x

= dx n σ e x n

=

>

l

<

x nσ 0 σ c

x n o 0

c c

∞

−

∞

∞

−

∞

∫

∫

1. 11

e

=n

n(t) _o ^{−ncσ vt} 1. 13 Le nombre de collisions entre t et t + dt est:

dt v n σ n

= dx n σ n

=

dn _{c c} 1. 14

e dt dt e t

= dt v n σ e n

dt v n σ e t n

=

>

t

<

vt nσ 0

vt n σ 0

vt c n σ o t

0

vt c n σ o t

0

c c

c c

−

∞

−

∞

−

−

∫

∫

∫

∫

1. 15

v n σ

= 1

c

1. 16

le temps moyen <t> entre les collisions est v n σ

1

c

, et alors la fréquence des collisions pour un faisceau est:

v n σ

> = t

<

= 1

ν _c 1. 17 Il faut noter que si les particules dans la plaque ont leur propre vitesse, il faut considérer le mouvement de la cible:

Figure 3 Schéma d’une collision

Considérons maintenant les sections efficaces pour des différents processus importants dans un plasma:

(A) Réactions thermonucléaires

En général, ces réactions sont importantes pour les énergies élevées (voir les graphiques). Le système le plus réactif est T(d,n) He⁴, ayant un maximum ~ 4 barns ( 1 barn ~ 10^-24 cm² où 10^-28 m² ) à une énergie de 10⁵ eV.

Cette section efficace est relativement grande sur une échelle nucléaire, mais est très faible sur une échelle atomique, où la distance typique est ~ 10^-10 m, donnant une section efficace ~10^-20

Figure 4 Sections efficaces de différentes réactions de fusion

(Produite par N. Bigaouette, 2005)

Exemple:

Considérons l’injection d’un atome de deutérium (D) ou de tritium (T). La section efficace pour l’ionisation est de l’ordre de 10 ^-20 m², celle pour la réaction thermonucléaire est de l’ordre de10 ^-28 m². L’énergie nécessaire pour ioniser un atome est de l’ordre de 20 eV tandis que l’énergie libérée dans une réaction nucléaire est de l’ordre de10 MeV. L’énergie nécessaire pour ioniser est donc le produit de la section efficace d’ionisation multipliée par l’énergie nécessaire par ionisation donc de l’ordre de 20x 10 ^-20 = 2x 10 ^–19 eV*m² . De l’autre côté, l’énergie produite est de la même façon, le produit de la section efficace de réaction de fusion avec l’énergie libérée par chaque réaction, c’est-à-dire 10 ⁷ x 10 ^-28 = 10 ^–21 eV*m², 200 fois inférieure à l’énergie requise à l’ionisation.

- la réaction D-T est de loin la plus rapide, et donc il faut produire le Tritium qui n'est pas une ressource naturelle:

T → He³ + e (T½ ~ 12 ans) La réaction favorisée pour la production de T est:

Li⁶ + n → T + He⁴ + 4.8 MeV [Li⁶ (n,α)T]

qui va être produite dans une couverture autour de la source de neutrons (Figure 5)

(B) Réactions avec les électrons

(i) Collisions élastiques e-neutre

Pour les collions élastiques, l'énergie interne des particules n'est pas changée - il y a simplement un changement de direction des particules, avec une redistribution des énergies de translation entre les deux. Quand un électron rencontre un atome (ou molécule), la force de l'interaction est le résultat de l'interaction coulombienne avec le noyau, et l'interaction avec le nuage électronique. Ce nuage est redistribué par cette interaction, et une polarisation est induite dans l'atome.

En examinant la Figure 6 on voit:

- pour E ≥ 10 eV la section efficace décroît avec l'énergie (~ 1/v ).

- la section efficace varie avec la polarisabilité de l'atome ou molécule, et peut atteindre des valeurs relativement grandes (≥ 10 x 10^-16 cm² pour A, par exemple, pour E ~ 10 eV).

- la section efficace diminue à basse énergie pour la plupart des atomes et molécules. Ceci s'appelle l'effet Ramsauer et est dû à des effets quantiques. A basse énergie la longueur d'onde de l'électron approche le diamètre de l'atome, et il y a une réfraction de l'onde autour de l'obstacle

(ii) Collisions inélastiques e-neutre

Une collision inélastique implique une perte (ou un gain) d’énergie par l’électron dans la collision.

Ceci implique un transfert de l’énergie de translation de l’électron en une énergie potentiel d’un atome ou une molécule.

Excitation Atomes

Si l'électron est injecté dans un gaz, on voit l'émission de raies caractéristiques des atomes si l'énergie de l'électron est plus grande qu'une certaine valeur. Pour un atome c'est relativement simple à visualiser l'électron qui transfère une certaine quantité de l'énergie aux électrons atomiques, qui sont excités à un niveau plus élevé. Quand il y a une désexcitation on voit la lumière émise. Le seuil est simplement l'énergie entre l'état normal et le premier niveau excité. En plus de produire du rayonnement par l’excitation de niveaux “radiatifs”, l’impact des électrons produit des atomes (et des ions) dans des niveaux métastables. Ces niveaux ne peuvent pas rayonner pour atteindre un niveau plus bas - les atomes restent “piégés” jusqu’à une collision électronique arrive pour le “détruire”. Ces niveaux métastables sont importants dans un plasma, parce qu’ils peuvent

Figure 6 Probabilité de collision élastique des électrons dans l’hélium en fonction de leur énergie.

permanent, et pour les molécules homonucléaires (H2, O2) l'interaction se fait par le moment quadripolaire.

L'excitation d'un mode vibrationnel implique le transfert de l'énergie de l'électron au mouvement des noyaux - encore peu d'énergie (0.54 eV pour H2). Expérimentalement, la section efficace est beaucoup plus importante qu'attendue des estimés théoriques. Il semble que les processus impliquent la formation d'un ion négatif - un "excimer" qui dissocie en laissant une molécule excitée. Les sections efficaces pour l'excitation d'un mode purement vibrationnel sont importantes pour Ei ≤ 3 eV.

Pour les électrons plus énergétiques, on trouve le spectre correspondant aux excitations électroniques. Pour les molécules, le principe "Franck-Condon" entre en jeu pour déterminer la probabilité de certaines transitions:

Les noyaux ne bougent pas pendant la transition - la ligne est verticale- parce qu'on considère seulement la configuration électronique. Par cette règle on peut estimer la distribution dans les niveaux vibrationnels dans l'état excité. Dans certains cas l'état excité corresponde à un état répulsif, qui donnera une dissociation de la molécule en deux atomes.

Figure 7 Courbes d’énergie potentiel pour les états électroniques de H2 et H2+ entre l’état fondamental et 20 eV

(de H. S. W. Massey and E. H. S. Burhop, ELECTRONIC AND IONIC IMPACT PHENOMENA, Clarendon Press, 1952)

Figure 8 Courbes d’énergie potentielle pour les états électroniques de H2+ pour des énergies plus élevée

(de H. S. W. Massey and E. H. S. Burhop, ELECTRONIC AND IONIC IMPACT PHENOMENA, Clarendon Press, 1952)

Figure 9 Énergie de seuil, états excités et résultats de la collision d’un électron sur la molécule de H2

(de H. S. W. Massey and E. H. S. Burhop, ELECTRONIC AND IONIC IMPACT PHENOMENA, Clarendon Press, 1952)

Figure 10 Taux de réaction en cm³/sec et section efficace en cm² pour la production d’un ion H2+

par la collision avec un électron

Ionisation Atomes

Si on augmente l'énergie des électrons, on commence à produire des électrons secondaires - le niveau supérieur est dans le continuum. On voit que pour H, par exemple, la section efficace est 10^-16 cm² (10^-20 m² ) pour une énergie de 50 eV. Il y a un seuil de ~ 13.6 eV, l'énergie d'ionisation de l'atome, et la section efficace tombe de ~ 1/v pour les hautes énergies.

Molécules

Pour la plupart des gaz l'état normal est moléculaire [H2 ,D2, N2, O2] et le chemin pour arriver à un ion est plus compliqué. On voit sur le graphique (Error! Reference source not found.) le système de H2, avec V vs. r. La probabilité de production de H2+ est beaucoup plus grande que celle de production de H⁺ + H⁺. La production d'ions H⁺ est le résultat d'une série d'excitations. Si le H2 est incident sur un plasma, il va être dissocié à H + H, ou il va être excité à un état de H2+ - la probabilité est ~ 200 fois plus grande d'arriver dans ²Σg, un état lié. La molécule H2+ est ensuite ionisée en passant à ²Σu(III) par une collision (en produisant H + H⁺) ou à (IV) H⁺ + H⁺ par collision. Les particules (H, H⁺) auront la différence d'énergie en translation:

particule /

eV 5 2 =

18 III−28−

particule /

eV 6 2 =

35 IV 47−

−

Par ce processus on produit des ions et des atomes a relativement haut énergie (~ 5 eV). On les appelle les particules "Franck-Condon" et elles sont importantes parce qu'elles pénètrent beaucoup plus loin dans le plasma qu'un atome de ~ 300 K.

Ionisation Dissociative

On peut aussi avoir un cas où l’impact de l’électron provoque une dissociation d’une molécule, où une des particules résultantes est en forme ionique:

e + AB → A + B⁺ + 2e

Ce processus demande plus d’énergie qu’une simple dissociation (voir graphique pour H2), et l’atome et l’ion formés ont aussi une énergie “Franck-Condon”.

Quand un électron rencontre un ion dans le plasma, il y a une probabilité que l’électron soit capturé par l’ion, surtout si l’énergie de l’électron est relativement faible, ainsi produisant une particule neutre. Il y a différents types de réactions qui peuvent donner lieu à cette “disparition de charges”, et celle qui domine dépend de la température électronique et de la densité électronique.

(a) Recombinaison radiative

RR est une réaction à deux corps, où l’électron est “capturé” par l’ion. Pour conserver l’énergie et la quantité de mouvement il faut avoir l’émission d’un photon:

e + A⁺ → A* + hν A* → A + hν’

On voit que l’énergie du premier photon a une valeur minimale, dépendant du niveau atomique dans lequel l’électron se trouve.

Une fois l’électron “capturé”, il y a une “cascade” vers les niveaux plus bas, avec l’émission de raies discrètes.

(b) Recombinaison à 3 corps

A haute densité la recombinaison à 3 corps domine; dans ce cas la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement est assurée par la présence d’un troisième corps (B), normalement un électron:

e + A⁺ + B → A* + B

L’énergie libérée dans le processus de recombinaison est portée par l’électron - et cette énergie peut être considérable.

Et de conversion d’ions:

H⁺ + H2* → H + H2+ e + H2+ → H + H*

Le résultat de l’ensemble de ces réactions est un taux de recombinaison qui excède de beaucoup le taux de recombinaison radiatif pour des températures électroniques en bas de ~ 5 eV (voir graphique). Ce processus est possiblement très important pour les plasmas “froid” dans le déflecteur d’un tokamak.

Attachement

Dans certains gaz, les atomes ou les molécules ont une affinité pour les électrons, et forment des ions négatifs. Ce processus est important pour O2, Cl, F..., et est important parce qu’il modifie le transport dans le plasma (les porteurs de charge négatifs sont maintenant plus lourds).

(C) Réactions avec les ions

(i) Collisions élastiques i-neutre

La collisions d'un ion avec un atome est semblable à celle entre un électron et un atome - surtout pour H⁺. Dans le cas des ions plus complexes la redistribution de charge dans l'ion affecte aussi la mécanique de la collision. Pour le cas de H⁺ on trouve que σ tombe à peu près comme 1/v.

En comparaison avec la diffusion des électrons la déviation angulaire est très faible, un fait qui rend la mesure de σel très difficile. Aussi, à cause du fait que la longueur d'onde de Broglie λ = h/p diminue avec la masse, les effets de diffraction (mécanique-quantique) sont négligeables sauf pour les énergies et les angles de diffusion très faibles.

Les tableaux ci-dessous donnent les sections efficaces totale et différentielle calculées pour le

(i) Section efficace différentielle en unités de πa² Table 1 Section efficace différentielle

Argon (protons 72 eV)

Hélium (protons 110 eV) Angle de diffusion

(coordonnées

relatives) Champ auto-

consistent

Champ Coulomb non-écranté

Champ auto- consistent

Champ Coulomb non-écranté

0° 5.1 x 10⁴ ∞ 2.87 x 10² ∞

12° 7.0 5.04 x 10³ 3.5 29.6

28° 2.29 246 0.64 1.94

34° 0.88 116.5 0.23 0.91

57° 0.30 16.3 0.07 0.13

80° 0.15 4.8 0.03 0.04

114° 0.05 1.69 0.01 0.01

137° 0.025 1.12 -- 0.01

167° 0.015 0.83 .. 0.005

(ii) Section efficace totale Table 2 Section efficace totale

Gaz énergie des protons (eV)

section efficace (en unités de πa²)

section efficace gaz- cinétique (unités de πa² )

90 3.75 2.6

He 800 2.0 --

73 16.4 7.3

Ar 650 10.7 --

Pour certains gaz, la section efficace tend vers une constante pour les hautes énergies (voir figures).

Ceci est une signature d’une collision type “boule de billard”, où la section présentée par l’atome est à peu près constante.

(ii) Collisions inélastiques i-neutre

L'impact d'un ion sur un atome peut produit plusieurs réactions, dépendant du fait que l'ion peut accepter un électron pour produire un atome.

sont identiques. Pour la réaction H⁺ + H2→ H + H2+ les particules après la réaction sont différentes de celles avant, et σ tombe à basse énergie. Ceci démontre la règle de pouce que la fréquence υ ~ v/d devrait correspondre à une résonance dans le système:

∆E = hυ ~ hv/d

où ∆Ε est le changement de l'énergie interne, v la vitesse de la particule et d la longueur de l'interaction. Pour le cas d'une réaction "résonante", ∆E = 0 et donc σ a un maximum à v = 0.

En fait, à basse énergie les réactions d'échange de charge sont dominantes, et dans un tube à décharge elles assurent un bon couplage entre les atomes et les ions. Si, par exemple, on a un plasma à basse température, même si les ions sont bien confinés, il y a un bon couplage avec les atomes, et la perte de chaleur des ions peut être déterminée par la conduction thermique des atomes.

(b) A⁺ + B → A⁺ + B⁺ + e ionization et

(c) A⁺ + B → A⁺ + B^* excitation

(d) ) A⁺ + B → A⁺⁺ + B + e "stripping"

Dans une collision entre un ion rapide A⁺ et un atome ou molécule B, un (ou plusieurs) électron peut être excité à un niveau supérieur - ou même enlevé complètement de l'atome. Pour le cas des électrons on voit que pour H + e → H⁺ + 2e la section efficace σie a un maximum vers 50 eV, et que la valeur au maximum est de l'ordre de 10^-16 cm² à une énergie de ~ 50 keV. Ceci est plus ou moins en accord avec notre règle de pouce parce que l'énergie de la particule incidente varie avec la masse:

2 2

inc h

E m d 2

~1 2mv

E 1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ∆

(e) A* + B → A + B* échange d’énergie (f) A* + B → A + B⁺ + e “Penning ionization”

Quand un atome (ou un ion) A* dans un état excité (normalement un niveau métastable) rencontre une autre molécule, l’énergie peut être transférée à l’autre “partenaire” B, et ce dernier peut être excité ou même ionisé pendant la collision. Ces processus sont importants dans des décharges avec des gaz rares. Exemple: transfert dans un laser HeNe.

(D) Diffusion élastique - collisions binaires

Pour les collisions élastiques, l'énergie interne des particules n'est pas changé - il y a simplement un changement de vitesse des particules. Un exemple d'intérêt particulier pour le cas d'un plasma est l'interaction électron-ion. Considérons le cas où la particule A (mA, vA) rencontre la particule B (mB,vB):

Figure 14 Schéma d’une collision binaire.

on définit:

+m m M m m m + M m

B A

B B

B A

A

A≡ ≡ avec M_A +M_B=1 1. 18 Et:

et la conservation de l'énergie:

2 B B 2

A A 2

B B 2

A

A m U

2 U 1 2m 1 V 2m V 1 2m

1 + = + 1. 20

La position du centre de masse dans le laboratoire est donnée par:

(

m_A+m_B

)

rr=m_Arr_A+m_Brr_B 1. 21 et sa vitesse dans le référentiel du labo par:

( )

(

m^A_A m_B^B

)

V m^A_AV^A_A m^B_B^BV_B r m r m r m

m r r r

r r

r

+

= +

+ ′

= ′ + ′

1. 22 d’où

( ) ( )

AB B A

B A B A B A

V M - V

V - V M - V M M

V r r

r r r

r

= +

= 1. 23

Donc

AB B

A V M V

Vr r r

+

= 1. 24 et de la même façon

BA A

B V M V

Vr r r

+

= 1. 25 En utilisant la conservation de la quantité de mouvement 1.19 et 1.22 on peut écrire:

(

m_A +m_B

)

Vr =m_AVr_A+ m_BVr_B = m_AUr_A+ m_BUr_B 1. 26 mais on peut écrire dans le centre de masse :

(

m_A m_B

)

Ur m_AUr_A m_BUr_B +

=

+ 1. 27 Donc on obtient

r

r =

Avec

AB B

A U M U

Ur r r

+

= 1. 29 l’équivalent dans le centre de masse de 1.24 on obtient en utilisant 1.28:

AB B

A V M U

Ur = r + r 1. 30

et de la même façon

BA A

B V M U

Ur r r

+

= 1. 31 Si on substitue ces relations dans l'équation de la conservation de l'énergie 1.20 avec

( ) ( )

2 AB 2 B AB B 2

AB B AB

B A A 2 A

V M V . V 2M V

V M V V

M V

V V V

+ +

=

+

• +

=

•

=

r r

r r

r r

r r

1. 32

et

( ) ( )

2 BA 2 A BA A 2

BA A BA

A B B 2 B

V M V . V 2M V

V M V V

M V

V V V

+ +

=

+

• +

=

•

=

r r

r r

r r

r r

1. 33

et de la même façon dans le centre de masse :

( ) ( )

2 BA 2 A BA A

2

BA A BA

A B B 2 B

U M U

. V 2M V

U M V U

M V

U U U

+ +

=

+

• +

=

•

=

r r

r r

r r

r r

1. 35

En tenant compte du fait que Vr_AB Vr_BA

−

= et Ur_AB Ur_BA

−

= et en définissant: MBmA = MAmB≡ µ la masse réduite on obtient pour l'équation de conservation de l'énergie:

(

_{A B}

)

² _AB²

(

_{A B}

)

² µU²_AB

2 1 V m 2 m

µV 1 2 V 1 m 2 m

1 + + = + + 1. 36

qui implique que VAB = UAB. La vitesse relative (module) entre les particules A et B est la même après et avant la collision.

On peut représenter ce résultat graphiquement dans la Figure 15.

De ce diagramme on note que l'angle de déflexion χ est la même pour la particule A et la particule B dans le référentiel du centre de masse.

On note que, avec Vr_A Ur_A -Vr_A

≡

∆ et Vr_B Ur_B -Vr_B

≡

∆ , on obtient:

M v |

∆

=| M

v |

∆

|

A B B

A

On note aussi que le mouvement des deux particules est dans un plan déterminé par les vecteurs vitesse Vr_A et Vr_B . Du diagramme on peut calculer le changement de l'énergie cinétique de la particule A avant et après la collision:

∆EA = ½ mAUA2 - ½ mAVA2 1. 37 qui devient:

∆EA = ½ mA[2MBVABV { cos (ξ + χ) - cosξ} + MB2VAB2 { cos²(ξ + χ) - cos²ξ}

+ MB2VAB2 { sin²(ξ + χ) - sin²ξ} ] 1. 38

Figure 15 Illustration graphique de V_AB = U_AB

∆EA = µVABV { cos(ξ + χ) - cos ξ } d'où:

( )

{

cos ξ χ cosξ

}

V V 2µ

∆E_A = _AB + − 1. 39

exemple: si mA = me et mB = mp (µ ≅ me)

1 } 1 cosχ m {

2m E

∆E

p

e − <<

≅ 1. 41 pour la collision d'un électron sur un proton au repos.

Du diagramme, il est aussi évident que si on situe notre système de coordonnées avec le centre de masse (ie le système se déplace avec la vitesse _V^r ), l'angle de déflection χ ne sera pas la même que celle vue dans le référentiel du laboratoire, où la déviation ψ dépend de la vitesse du centre de masse. Dans le référentiel du centre de masse, l'énergie des deux particules est conservée indépendamment. Pour ces raisons le calcul de collisions binaires est normalement fait dans le référentiel du centre de masse tel qu'illustré à la Figure 16 ci-dessous.

Figure 16 Collision binaire dans le référentiel du centre de masse.

Dans ce cas,

V V X r

r

X_{A A} r_A r_A r

&

r r r

−

=

⇒

−

= 1. 42 V

V X r

r

X_{B B} r_B r_B r

&

r

r = r − ⇒ = − 1. 43 et on a

| m |

| r r r

r

(

²_{A A} ²

)

_B

(

²_{B B} ²

)

A m X 2X V V

2 V 1 V X 2 X 2m

1 + • + + + • +

= & & & & 1. 45

m r m + - m m r

m + m r -

= r r -

X = ^B

B A

B A

B A

A A

A rA r r r r

r 1. 46

( )

_r

+m m

= m r m r

+ m

= m _AB

B A

B B

A A B

B r −r r 1. 47

et de la même façon

AB B A A A

B B A

A

B r

+m m - m

= r ) r - m ( m +

= m

Xr r r r 1. 48 0

) r - r µ(

X m X

m_A&_A + _B&_B = &_AB &_AB = 1. 49 Énergie totale _A ²_{A B} ²_B V²

(

m_A m_B

)

2 X 1 2m X 1 2m

1 + + +

= & & 1. 50

2 B A

2

AB (m m )V

2 1 r 2µ

1 + +

= & 1. 51

X 2µ 1 r 2µ

E_cm 1 _AB² _AB² ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ =

= & & 1. 52

Rappel _(mA+mB)r^r _=mA^r_{rA +mB}^r_rB et rr_AB=rr_A -rr_B =Xr_AB

Figure 17 Représentation équivalente d’une collision binaire élastique.

( XAB )1 = r cosθ ( XAB )2 = r sinθ

Avec ce changement de coordonnées, l'expression pour l'énergie du centre de masse devient:

] θ r r [ 2µ 1

] θ θ cos r θ sin r θ θ sin r θ cos r [ 2 µ 1

X 2µ 1 E

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 AB cm

&

&

&

&

&

&

&

+

=

+ +

+

=

=

∴

1. 53

Moment angulaire: µ r²θ = Pθ

Energie potentielle: φ(r)

Pour t → −∞, on a Ecm → ½ µ g² où g est la vitesse relative (avant la collision).

Aussi Pθ → µ b g

[

r r θ

]

φ

( )

r 2µ

µg 1 2

1 _{2 2 2 2}

+ +

= & & décrit la conservation de l'énergie et µ r²θ&=µ bg décrit la conservation du moment cinétique ou b est le paramètre d’impact.

Φ(r) r

2µ 1

r (r) g b 2µ 1 r 2µ 1 g 2µ 1

2

2 2 2 2

2

+

=

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

&

& ϕ

1. 54

c'est-à-dire que le mouvement de la particule est tel qu'on peut l'envisager comme un mouvement radial, dans un potentiel fictif Φ(r):

( )

(r)

r µg b 2 r 1

Φ ₂

2

2 ⎟⎟ +ϕ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ 1. 55

Le minimum de r se trouve à rmin = R, (la distance minimale d'approche) où (R)

R g b 2µ Φ(R) 1 g

2µ 1

2 2 2

2 ⎟⎟ +ϕ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= 1. 56

L’équation 1.56 découle de l’application de la conservation de l’énergie.

EXEMPLE: Pour

n 0 0

r

(r) r ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=ϕ ⎛ ϕ on obtient:

(i) pour n = 1 (eg une force coulombienne)

Figure 18 Potentiel coulombien.

Posons

( )

ε r 4π

q

= q r

o B

ϕ A . L’équation 1.56 devient:

( )

R

ε R 4π

q

= q b R g 2µ

1 ₂

o B A 2

2 2− 1. 57 au point correspondant à la distance minimale d'approche.

C'est-à-dire :

0

= b ε R

π 4 g µ

q q

R 2 ²

o 2A B

2 ⎟⎟⎠ −

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛ 1. 58

Quand b → 0, on obtient de 1.57

) q -

= q si - , q

= q si + b ( ε 2

π 4 g µ

q 2 q

=

R _{c A B A B}

o 2A B ⎟⎟⎠≡

⎜⎜ ⎞

⎝

→ ⎛ 1. 59

mais de façon plus générale il faut résoudre l'équation R² - 2 bcR - b² = 0

K K + + 1 b =

R ₂

1. 61

(ii) pour n > 2 (eg n = 4 pour la force de polarisation) Pour le cas d'un potentiel de polarisation on peut écrire ₄

4 o o r φ r -

φ = , où _{o o}⁴ αe² 2 1 r

φ = ,

et α est la polarisabilité de l'atome. L’équation 1.56 donne

4 4 0 0 2 2 2

R φ r R g b 2µ 1 g 2µ

1 ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ 1. 62

Figure 19 Potentiel de polarisation.

De telle sorte que

4 1

2 4 0 0

min µg

r φ

b 8 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 1. 65

Si on prend σ = πbmin2 on obtient:

2 1

2 2 2

1

2 4 0 0

g µ

e α π 4 g

µ r φ π 8

σ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ 1. 66

qui se comporte comme α et l'inverse de g, la vitesse avant la collision.

Calcul de l'angle de déflection.

À la distance r = R, on a _{2 2} R bg r θ&=bg =

Avec 1.54 on a ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

µ 2 Φ - g r^{2 2}

& on obtient:

2 1

2 2 2 2

1

2 µg

2 r 1 b g g

µ Φ 1 2 g

r ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

±

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

±

= ϕ

& 1. 67

2 1

2 2 2 2

g µ

2 r 1 b b r dt / dθ

dt / dr dθ

r

d ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

±

=

= ϕ

1. 68

Il est à remarquer que dr/dθ est négatif jusqu'à la distance minimale d'approche (r = R) et positif après.

∫ ( )

∫

∫

∞ ∞

⎥⎤

⎢⎡

−

−

−

=

−

=

= ^R

2 1 2 2

θ R

0 m

r 2 1 b

r

dr b dr/dθ

θ dr d θ

m

ϕ

1. 69

∫ ( )

∞

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − −

+

=

= ^R

2 1

2 2

2 2 m

g µ

r 2 r 1 b r b dr 2 π θ 2 - π χ

ϕ

1. 70

où χ = l'angle de déflection en utilisant que χ +2θ_m =π de par la géométrie de la collision (Figure 15)

Pour une collision coulombienne le potentiel prend la forme

ε r 4π

q

= q ) r (

o B

ϕ A donc

∫

∞

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − −

−

=

R 2

1

2 0

B A 2

2 2

g rµ πε 4

q q 2 r 1 b r b dr 2 π

χ 1. 71

effectuons les changements de variable:

µ g πε 4

q

= q et b r r d -1

= u d r ,

=1

u ₂

o B c A

2

l'intégrale 1.70 devient:

u ] -b b u 2 - 1 [

u b d

2 π

= χ

2 2 1 c 2

1/R

∫

0

− 1. 72

Il faut se rappeler qu'au minimum (r = R) on a:

R² - 2bcR - b² = 0 ⇒ 1 - 2bc(1/R) - b² (1/R)² = 0 En utilisant:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

∫ − ⁻

c a b 4

b x c 2 sin -

c

= 1 cx + x b + a

x d

2 1 2

l'intégrale devient:

1 ) = -b R ( R

b ) - R (

=R +b b R 2 R - R

b R R -

c c 2c

2 c 2 c

1. 74 et sin^-1(1) = π/2

l'intégrale devient alors:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +b b sin b 2 - π b

= 1

2c 2 1 c -

et

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+b b sin b 2

=

+b b sin b 2 - π 2 - π

= χ

c2 2 1 c -

2c 2 1 c -

1. 75

c'est-à-dire

+b b

= b 2 ) (χ

sin 2

2 c

c ou

b

=b 2) (χ

tan ^c 1. 76

Donc, bc est le paramètre d'impact qui produit une déflection de 90°:

Figure 20 Angle de déflection.

le nombre (dN/dt) de particules qui sont diffusés à chaque seconde dans l'angle solide dΩ, à l'angle χ.

Soit I l'intensité du faisceau, mesuré par le nombre de particules par cm² qui passent une surface par seconde.

Le nombre de particules diffusé est donné par:

dΩ ) ψ χ, ( σ I dt =

dN

dΩ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 1. 77

où dΩ = sinχdχdψ est l'angle solide et

σ(χ,ψ) est la section efficace différentielle pour la diffusion élastique.

Figure 21 Diffusion

S'il n'y a pas de dépendance azimutale, on peut calculer le nombre de particules dans

Figure 22 Angle de diffusion I χ) ( σ χ d χ sin π 2

= b d b π 2 I dt =

dN

anneau

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 1. 79

Donc la section efficace microscopique est donnée par:

( )

dχ

db χ sin

= b χdχ sin

db

= b χ

σ 1. 80 Pour une interaction coulombienne on a trouvé:

b

= b 2 tan χ ⎟ ^c

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ , où (

πε 4 g µ

q

= q b

o 2A B

c ) qui après dérivation par rapport à χ donne :

2b +b -b dχ = db

c 2c 2

Avec

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

2 sin χ

2 cos χ

=b 2 tan χ

= b

b ^c _c on obtient:

= b

db _c

1. 81

[ ]

²

2c 4

2c

2 c c

χ cos - 1

= b

2 sin χ 4

= b

2 sin χ 2

b 2

χ 2 cos sin χ 2

2 sin χ

2 χ cos b

= ) χ ( σ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

1. 82

La diffusion décrite par cette formule s'appelle diffusion de Rutherford.

La section efficace totale est donnée par:

( ) [ ]

²

π

0 c2 π

0

T 1 -cosχ

χ d χ b sin π 2

= dχ χ sin π 2 χ σ

σ =

∫ ∫

1. 83 Si on met Y = 1 - cos(χ) on obtient

Y b dY π 2

σ = ₂

2

0 c2

T

∫

et c'est évident que l'intégrale diverge à Y → 0.

Le problème provient des collisions à grand b qui produisent χ → 0.

Une autre section efficace importante est celle pour le transfert de la quantité de mouvement.

La quantité de mouvement de la particule incidente (dans une direction) est µg, et après la collision la quantité de mouvement dans la même direction est µg cosχ, donc la particule a transféré une quantité µg [1- cosχ] au centre de diffusion. Donc, le transfert total est donné par:

Avec

[ ]

²

2c

χ cos - 1

= b ) χ (

σ on obtient:

χ cos - 1

χ d χ b sin π 2 σ =

π

0 c2

m

∫

De nouveau, si on substitue Y = 1 - cosχ on obtient:

Y Y b d π 2 σ =

2

0 2c

m

∫

et, encore une fois, l'intégrale explose pour χ → 0, ou b → ∞.

Dans un plasma, il est évident qu'on ne peut pas considérer une collision binaire si b devient comparable à la longueur d'interaction des forces coulombiennes. Donc, il y a un angle minimum, ou un paramètre maximum pour la collision:

+b b

= b 2 cos χ b

= b 2 tan χ

2c 2max min max

max

min c ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

→ ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 1. 85

+b b

2b Y =

+b b

-b

= b χ ) (

cos ₂

2 c max

c2 2 min

2 c max

2c 2max

min →

∴ 1. 86

⎭⎬

⎫

⎩⎨

≅ ⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

∴

∫

⎧

Y b 1 π 2

2 -1 Y 1 πb 2 Y = b dY π 2 σ =

min 2C

min 2c 2

2

Y 2c T

min 1. 87

La section efficace pour le transfert de la quantité de mouvement est normalement celle qui nous intéresse:

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

∫

^dY_Y ^{=2 πb ln} ⎡_Y² πb

2 σ =

min 2c

2

Y 2c m

min

1. 88

On verra dans le chapitre 2 que la distance de "coupure" est de l’ordre de λD - la longueur de Debye. Avec bmax = λD on obtient:

χ ⎞ b

⎛ q q

Pour <<1 λ b

D

c , on peut écrire

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≅ ⎛

2

c D 2c

m b

ln λ πb

σ 2 1. 89

Normalement, dans un plasma on met: µg² ≅ 3kT dans le logarithme.

( )

( )

^{⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤}

≅

∴ λ

q q

k T ε 3 π ln 4 πε 4 g µ

q

σ q D

B A

e o o2

2 2 2 B

m A Æ

( )

( )

_⎥^⎥⎥_⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ²³

2 e o 2 1 e 2o

2 2 2 B A

e k T ε n ln 12π πε 4 g µ

q q

[ ]

^Λ

ε ln π ) 4 µ g (

) q q

= (

σ 2

o 2 2

2 B A

m 1. 90 On note que notre méthode de calcul laisse un peu à désirer - nous avons pris λD comme une limite d'intégration. Pourquoi pas 2λD ou...? En principe on aurait dû calculer la diffusion d'une particule dans un plasma, en tenant compte des autres charges autour de la cible, c'est-à-dire utiliser un potentiel blindé ("screened Coulomb potential"). Les calculs ont été faits en utilisant ce modèle, et le résultat est à peu près identique à notre résultat.

En plus de ceci, il y a un autre problème - la définition d'une collision. Quand b = bc il y a une forte déflexion, mais quand b → ∞ la déviation devient de plus en plus faible. [Dans Rose et Clark ils donnent l'exemple qu'à Te = 10 keV et ne = 10²⁰ m^-3, l'angle de déviation moyenne est ~ 7.4 x 10^-8 degrés.] Donc, il y a un compromis à faire entre la force électrique et les collisions. La distinction est un peu arbitraire, mais normalement on prend la limite qu'on a pris ici: b < λD = collision binaire. En plus, le fait que la déviation est tellement faible nous permet de mettre θT = Σ θi et de considérer même les collisions au même moment d'être les collisions consécutives.

(E) Interactions avec une surface

La présence de surfaces près du plasma est inévitable - dans un tube à décharge il y a des électrodes pour maintenir la décharge, et des parois (normalement un isolant) qui déterminent la frontière du plasma. Même dans une décharge "confinée" comme dans un Tokamak il y a une surface quelque part qui détermine la configuration du plasma.

Dans un tube à décharge, la présence des électrodes est essentielle, et les processus de

"surface" déterminent en grande partie les caractéristiques de la décharge. "On peut éliminer la colonne positive, mais il faut avoir une gaine cathodique". Dans les plasmas utilisés pour le traitement de matériaux, on veut “utiliser” ces interactions pour produire un résultat. Dans le cas d'un Tokamak, par contre, on veut minimiser les mauvais effets de l'interaction plasma-paroi.

Émission secondaire

Le bombardement des surfaces par les électrons, ions, et atomes (rapides) du plasma peut causer l'émission d'électrons (l'émission secondaire), la désorption d'impuretés collées sur la surface ("ion or electron-induced desorption") ou l'émission d'atomes métalliques de la surface (la pulvérisation ou "sputtering").

Un électron incident sur une surface peut transférer son énergie à un autre électron dans le solide, et causer l'émission de ce dernier. (L'électron incident peut être aussi réfléchi, avec à peu près sa pleine énergie). Si on regarde le nombre d'électrons produit par l'électron incident (δ), on voit que δ dépend de l'énergie de l'électron et de la surface:

Figure 24 Coefficient d’émission secondaire électronique à incidence normale sur un métal typique.

Table 3 Valeurs maximales du coefficient d'émission secondaire et les énergies auxquelles les valeurs se produisent

Matériau

Valeur maximale du coefficient d'émission

secondaire δmax

Energie à laquelle le maximum se produit

(eV)

Al 1.0 300

Au 1.46 800

Ba 0.83 400

C 1.0 300

Cu 1.3 600

Li 0.5 85

NaCl 6 600

Mélange BaO-SrO oxide 5-12 ≈ 1200

On note que la forme des courbes est semblable pour les métaux et les isolants. En général, le taux d'émission pour les isolants est plus élevé que pour les métaux. (Cet effet peut causer un avalanche, et les électrons peuvent percer un trou dans le "verre"). En plus, la valeur de δ dépend des conditions de la surface - δ est augmenté s'il y a une couche de gaz

L'émission secondaire peut aussi être produite par l'impact d'ions, et en général l'énergie des ions doit être beaucoup plus élevée que celle des électrons pour libérer un électron. Encore une fois, δi - le nombre d'électrons par ion - varie avec l'énergie, et peut atteindre des valeurs élevées à quelque keV:

Figure 25 Coefficient d’émission secondaire pour le bombardement ionique de divers métaux.

Pulvérisation

Le transfert d'énergie d'un ion (ou atome) incident sur une surface peut aussi causer l'émission d'un atome. Dans le cas de la pulvérisation, l'énergie transférée doit être suffisante pour

Carbure de Th 3.5 550 4 2000

C 4.4 48 0.15 2400

Rétrodiffusion

Un atome ou un ion peut être réfléchi" d'une surface - la même chose qui arrive pour la pulvérisation, mais l'atome qui sort est l'atome qui a pénétré la surface. A basse énergie, étant donné que l'atome ne pénètre pas loin dans le "métal", le coefficient de réflexion RN est très élevé. A plus haute énergie, l'atome pénètre plus loin et les chances de revenir sont plus faibles.

En général, l'atome perd un peu d'énergie par collision, ce qui donne un "coefficient de réflexion de l'énergie" RE.

incidents atomes

nombre

réfléchis

atomes d

nombre RN=

′

énergie x

incid.

atomes d

No.

moyenne énergie

X réfl.

atomes d

= No.

incidente énergie

réfléchie énergie

RE= ′

′

On note que le résultat est à peu près le même pour les ions et pour les atomes, mais qu'en général, l'ion incident sort comme un atome, ayant recombiné avec un électron du solide.

La déposition de l’énergie chimique

Quand les ions tombent sur une surface, ils se recombinent avec des électrons. Ce processus est l’inverse du processus d’ionisation, et donc va libérer de l’énergie (l’énergie d’ionisation). En plus, si les atomes qui se déplacent sur la surface se recombinent pour produire une molécule, l’énergie de dissociation est aussi libérée. La majorité de cette énergie est livrée à la surface, et la chauffe. Pour le cas de l’hydrogène, chaque ion incident va libérer 13.6 + 4.5 eV. Cette énergie est plus élevée que l’énergie livrée par “l’impact” si la température électronique est plus que 5 eV.

APPENDICE P7

e dx h ( n ) = x^{n a x2}

∫

0

∞

) = a

h ( π

2

0 1

) = a

h ( 2

1 1 erf ( x ) = e^t dt

x

2

0

2_π

∫

a ) =

h ( ₃

4

2 1 π

a ) =

h ( ₂

2 3 1

a ) =

h ( ₅

8

4 3 π

a ) =

h ( 1₃

5

Problème 1. 1

Nous avons vu que lors d'une collision entre deux masses A et B, le vecteur vitesse du centre de masse avant et après la collision reste inchangé à cause de la conservation de la quantité de mouvement (Équation 1.28).

Pour les fins de cette discussion, nous avons considéré que les deux masses restaient inchangées avant et après la collision. Supposons maintenant que lors de la collision une partie de la masse de la particule A reste "attachée" à la particule B dont la vitesse était nulle avant la collision.

Est-ce que dans ce cas, le vecteur vitesse du centre de masse reste toujours inchangé par la collision?