Baccalauréat ES
Index des exercices avec des fonctions de 2013 à 2016
Tapuscrit : GUILLAUMESEGUIN
No Lieu et date « Xcas » lect graph. exp ln TVI convexe integrale val moy divers 1
2 Antilles juin 2016 × × × × ×
3 Asie 2016 × × × × qcm
4 Pondichery avril 2016 × × fct annexe
5 Liban 2016 × × × applic eco
6 Polynésie juin 2016 × pb ouvert
7 Métropole juin 2016 × × × ×
8 Centres etrangers 2016 × × × apllicat
9 Amerique du nord 2016 × × × applic éco
10 Amérique du sud nov 2015 × × ×
11 Nouvelle Calédonie nov 2015 × × ×
12 Antilles sept 2015 × × × aires
13 Métropole sept 2015 ex4 × tangente
14 Métropole sept 2015 × × × ×
15 Polynésie sept 2015 ex4 × × × × × ×
16 Polynésie sept 2015 × × Gini + %
17 Asie 2015 ex4 × ×
18 Asie 2015 × × × ×
19 Métropole 2015 ex4 × position tgte
20 Métropole 2015 × × × × × système
21 Nouvelle Calédonie mars 2015 × × ×
22 Nouvelle Calédonie mars 2015 × × × algo
23 Nouvelle Calédonie nov 2014 ex4 × × × algo
24 Nouvelle Calédonie nov 2014 × × ×
25 Amérique du sud nov 2014 × × × ×
26 Métropole sept 2014 ex4 × × × ×
27 Métropole sept 2014 × × graphe def′′
28 Antilles sept 2014 × × confiance, deg4
29 Pondichery 2014 × × × ×
30 Polynésie juin 2014 × × ×
31 Polynésie juin 2014 × coût marg
32 Métropole juin 2014 × × × × ×
33 Liban 2014 × × ×
34 Centres Etrangers 2014 × × × Gini
35 Asie 2014 × × ×
36 Antilles juin 2014 × × × inéq 2nd deg
37 Amérique du Nord 2014 × × ×
38 Nouvelle Calédonie mars 2014 × × × algo
39 Amérique du sud nov 2013 × × × × × aire 2 courbes
40 Antilles sept 2013 × ×
41 Calédonie nov 2013 × ×
42 Métropole sept 2013 × × × ×
43 Polynésie sept 2013 × % + loi normale
44 Amerique du Nord mai 2013 × × × système
45 Asie juin 2013 × × × ×
1. Antilles juin 2016
Commun à tous les candidats
La courbe ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0; 6].
ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2; 0) et le point C a pour coordonnées (4; 0).
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 0
−0,5
−1,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
b b
b b
C B A
D
Partie A
Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d’une lecture graphique.
1. Résoudre graphiquement l’inéquationf(x)>0.
2. Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonction f sur l’intervalle [0; 6].
3. Quel semble être le signe def′(x) sur l’intervalle [2; 6]? Justifier.
4. Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d’inflexion?
5. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de Z4
1 f(x) dx.
Partie B
La fonctionf est la fonction définie sur l’intervalle [0; 6] par f(x)=(10x−5)e−x.
Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier) : f′(x)=(−10x+15)e−x et f′′(x)=(10x−25)e−x.
1. Dresser le tableau de variation de f en précisant la valeur de l’extremum et les valeurs aux bornes de l’en- semble de définition.
2. Étudier la convexité def sur l’intervalle [0; 6].
3. Montrer que la fonctionFdéfinie sur l’intervalle [0; 6] par F(x)=(−10x−5)e−xest une primitive de f sur l’intervalle [0; 6].
4. En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de Z4
2 f(x) dx.
5. On souhaiterait que l’aire du rectangle ABCD soit égale à l’aire du domaine grisé sur la figure. Déterminer, à 0,01 près, la hauteur AD de ce rectangle.
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Asie 2016
2. Asie 2016
Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentativeCf d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 5].
On note f′la fonction dérivée def.
La courbeCf passe par le pointA(0; 1) et par le pointBd’abscisse 1.
La tangenteT0à la courbe au pointApasse par le pointC(2; 3) et la tangenteT1au pointBest parallèle à l’axe des abscisses.
1 2 3 4 5
−1
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
b
A
bB
bC
T0
T1
Cf
PARTIEA
Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n’est demandée. Pour chacune des question, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte0,75point.
Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point.
Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1. La valeur exacte def′(1) est :
a. 0 b. 1 c. 1,6 d. autre réponse
2. La valeur exacte def′(0) est :
a. 0 b. 1 c. 1,6 d. autre réponse
3. La valeur exacte def(1) est :
a. 0 b. 1 c. 1,6 d. autre réponse
4. Un encadrement deR2f(x) dxpar des entiers naturels successifs est :
PARTIEB
1. On admet que la fonctionFdéfinie sur [−1 ; 5] parF(x)= −(x2+4x+5)e−xest une primitive de la fonction f.
(a) En déduire l’expression def(x) sur [−1 ; 5].
(b) Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaine du plan limité par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=0 etx=2.
2. Montrer que sur l’intervalle [−1 ; 5], l’équationf(x)=1 admet au moins une solution.
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3. Pondichery 2016
La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.
L’entrepriseBBE (Bio Bois Énergie)fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.
• Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonctionCdéfinie sur l’intervalle [1; 15] par : C(x)=0,3x2−x+e−x+5
oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes etC(x) le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.
• Dans l’entrepriseBBEle prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros.
La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonctionRdéfinie sur l’intervalle [1; 15] par : R(x)=3x
oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes etR(x) la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.
• On définit parD(x) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recetteR(x) et le coûtC(x), oùxdésigne la quantité de granulés en tonnes.
Partie A : Étude graphique
Sur le graphique situé en annexe (page6), on donneC et∆les représentations graphiques respectives des fonc- tionsCetRdans un repère d’origine O.
Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.
1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.
2. (a) Déterminer les valeursC(6) etR(6) puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus.
(b) Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quo- tidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.
Partie B : Étude d’une fonction On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [1; 15] par :
g(x)= −0,6x+4+e−x+5
On admet que la fonctiongest dérivable sur l’intervalle [1; 15] et on noteg′sa fonction dérivée.
1. (a) Calculerg′(x) pour tout réelxde l’intervalle [1; 15].
(b) En déduire que la fonctiongest décroissante sur l’intervalle [1; 15].
(c) Déduire des questions précédentes le tableau de signe deg(x) sur l’intervalle [1; 15].
Partie C : Application économique 1. Démontrer que pour tout réelxde l’intervalle [1; 15], on a :
D(x)= −0,3x2+4x−e−x+5
2. On admet que la fonctionDest dérivable sur l’intervalle [1; 15] et on noteD′sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout réelxde l’intervalle [1; 15], on aD′(x)=g(x), oùgest la fonction étudiée dans la partie B.
3. En déduire les variations de la fonctionDsur l’intervalle [1; 15].
4. (a) Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal?
On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près.
(b) Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.
ANNEXE
N’est pas à rendre avec la copie
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
∆ C
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4. Liban mai 2016
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [3; 13] par :
f(x)= −2x+20−e−2x+10. Partie A : Étude de la fonctionf
1. Montrer que la fonction dérivéef′, de la fonctionf, définie pour toutxde l’intervalle [3; 13], a pour expres- sion :
f′(x)=2¡
−1+e−2x+10¢. 2. (a) Résoudre dans l’intervalle [3; 13] l’inéquation :f′(x)>0.
(b) En déduire le signe def′(x) sur l’intervalle [3; 13] et dresser le tableau de variations def sur cet inter- valle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à 10−3.
(c) Calculer l’intégrale Z13
3 f(x) dx.
On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3près.
Partie B : Application
Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et 1 300. On suppose que toute la production est commercialisée.
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente dexcentaines de tobog- gans est modélisé sur l’intervalle [3; 13] par la fonction f.
En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :
1. Déterminer le nombre de toboggans que l’usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l’euro.
2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans. Arrondir le résultat à l’euro.
Partie C : Rentabilité
Pour être rentable, l’usine doit avoir un bénéfice positif.
Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l’usine doit fabriquer en un mois pour qu’elle soit rentable. Justifier la réponse.
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5. Polynésie juin 2016
Un publicitaire envisage la pose d’un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0; 10] par :
f(x)=4e−0,4x. Cette courbeCf est tracée ci-dessous dans un repère d’origine O :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
y(en mètres)
x(en mètres) Cf
A
D C
B
Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l’origine du repère, le point B est sur l’axe des abscisses, le point D est sur l’axe des ordonnées et le point C est sur la courbeCf.
1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscissex=2.
Montrer qu’une valeur approchée de l’aire du panneau publicitaire est 3,6 m2.
2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l’énoncé, quelles sont les dimen- sions de celui dont l’aire est la plus grande possible?
On donnera les dimensions d’un tel panneau au centimètre près.
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6. Métropole juin 2016
La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur [0,5 ; 6].
Les points A (1; 3) et B d’abscisse 1,5 sont sur la courbe (C).
Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.
On note f′la fonction dérivée def.
1 2 3 4 5 6
−1
−2 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5
b
A
bB
(C)
Les parties A et B sont indépendantes.
PARTIEA: ÉTUDE GRAPHIQUE
1. Déterminerf′(1,5).
2. La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0 ; 2). Déterminer une équation de cette tangente.
3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=1 etx=2.
4. Déterminer la convexité de la fonctionf sur [0,5 ; 6]. Argumenter la réponse.
PARTIEB: ÉTUDE ANALYTIQUE
On admet que la fonction f est définie sur [0,5; 6] par
f(x)= −2x+5+3ln(x).
1. Pour tout réelxde [0,5; 6], calculerf′(x) et montrer que f′(x)=
−2x+3
x .
2. Étudier le signe def′sur [0,5; 6] puis dresser le tableau de variation de f sur [0,5; 6].
3. Montrer que l’équationf(x)=0 admet exactement une solutionαsur [0,5 ; 6].
Donner une valeur approchée deαà 10−2près.
4. En déduire le tableau de signe def sur [0,5; 6].
5. On considère la fonctionFdéfinie sur [0,5; 6] parF(x) x2 2x 3xln(x).
7. Centres etrangers 2016
Partie A
Soit f la fonction définie sur [0; 8] par
f(x)= 0,4
20e−x+1+0,4.
1. Montrer que f′(x)= 8e−x
(20e−x+1)2 oùf′désigne la fonction dérivée de la fonctionf. 2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
1 f′(x) :=8∗eˆ(−x)/(20∗e ˆ(−x)+1)2
→f′(x) : 8·e−x
400(e−x)2+40e−x+1 2 g(x) :=Dérivée [f′(x)]
→g(x) := 160(e−x)2−8e−x
8000(e−x)3+1200(e−x)2+60e−x+1 3 Factoriser [g(x)]
→8e−x· 20e−x−1 (20e−x+1)3
En s’appuyant sur ces résultats, déterminer l’intervalle sur lequel la fonctionf est convexe.
Partie B
Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes. La fonction f, définie dans la partie A, modélise le profil de ce projet routier. La variable xreprésente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et f(x) représente l’altitude associée, en kilomètres.
La représentation graphiqueCf de la fonctionf est donnée ci-dessous.
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0,2 0,4 0,6 0,8
+
+
A
Cf B
x f(x)
Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente àCf en un pointMest appelé « pente en M ».
On précise aussi qu’une pente enMde 5 % correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe def enMégal à 0,05.
Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu’en aucun point deCf la pente ne dépasse 12 %.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Proposition 1
L’altitude du village B est 0,6 km.
Proposition 2
L ’écart d’altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre.
Proposition 3
La pente en A vaut environ 1,8 %.
Proposition 4
Le projet de route ne sera pas accepté.
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8. Amerique du Nord 2016
Partie A : Étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; 1,5] par
f(x)=9x2(1−2lnx)+10.
La courbe représentative def est donnée ci-dessous :
0 0,5 1,0 1,5
0 5 10 15 20
1. (a) Montrer quef′(x)= −36xlnxoùf′désigne la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle ]0; 1,5].
(b) Étudier le signe def′(x) sur l’intervalle ]0; 1,5].
(c) Déduire de la question précédente les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0; 1,5].
2. On admet quef′′(x)= −36lnx−36 oùf′′désigne la dérivée seconde de la fonctionf sur l’intervalle ]0; 1,5].
Montrer que la courbe représentative de la fonctionf admet un point d’inflexion dont l’abscisse est e−1. 3. SoitFla fonction définie sur l’intervalle ]0; 1,5] par
F(x)=10x+5x3−6x3lnx.
(a) Montrer queFest une primitive de la fonctionf sur ]0; 1,5].
(b) Calculer Z1,5
1 f(x) dx.
On donnera le résultat arrondi au centième.
Partie B : Application économique
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.
Le prix de l’action depuis un an et demi est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, oùxreprésente le nombre d’années écoulées depuis l’introduction en bourse et f(x) représente le prix de l’action, exprimé en euros.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Proposition 1 :
« Sur la période des six derniers mois, l’action a perdu plus d’un quart de sa valeur. » Proposition 2 :
« Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l’action a été inférieure à 17e. » retour au tableau
9. Amérique du sud nov 2015
Les deux parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
La fonctionf est définie pour tout réelxélément de l’intervalle [1; 7] par : f(x)=1,5x3−9x2+24x+48.
On note f′la fonction dérivée de la fonctionf etf′′sa dérivée seconde sur [1; 7].
1. Pour tout réelxde l’intervalle [1; 7] : (a) Calculerf′(x).
(b) Calculerf′′(x).
2. Déterminer sur quel intervalle la fonction f est convexe.
Partie B
Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre 1 000 et 7 000 articles par semaine.
On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d’euros, par la fonction f définie dans la partie A oùx désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués.
On notecla fonction définie sur [1; 7] représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a, par conséquent, pour toutxde [1; 7] :
c(x)= f(x)
x =1,5x2−9x+24+48 x .
On admet que la fonctioncest dérivable sur [1; 7]. On notec′sa fonction dérivée.
1. Montrer que, pour toutxde l’intervalle [1; 7], on a : c′(x)=3(x−4)¡
x2+x+4¢
x2 .
2. (a) Étudier les variations de la fonctioncsur l’intervalle [1; 7].
(b) Déterminer, en milliers, le nombre d’articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit mini- mal.
3. On considère la fonctionΓdéfinie sur l’intervalle [1; 7] par :
Γ(x)=0,5x3−4,5x2+24x+1+48lnx.
(a) Montrer queΓest une primitive decsur l’intervalle [1; 7].
(b) Calculer la valeur moyenneµdecsur l’intervalle [1; 7]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−2.
retour au tableau
10. Nouvelle Calédonie nov 15
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0; 10] par
f(x)=(2x−5)e−x+4+20.
Partie A
1. Montrer que, pour toutxde l’intervalle [0; 10],f′(x)=(−2x+7)e−x+4.
2. En déduire le sens de variation def et dresser le tableau de variation def sur l’intervalle [0; 10].
Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.
3. Justifier que l’équation f(x)=0 admet une unique solution αsur [0; 10] et déterminer un encadrement d’amplitude 0,01 deα.
4. On admet que la fonctionFdéfinie sur [0; 10] par
F(x)=(−2x+3)e−x+4+20x est une primitive de f sur [0; 10].
Calculer la valeur moyenne def sur l’intervalle [0; 10]. Arrondir le résultat au millième.
Partie B
Une entreprise fabrique entre 0 et 1 000 objets par semaine.
Le bénéfice, en milliers d’euros, que réalise cette entreprise lorsqu’elle fabrique et vendxcentaines d’objets est modélisé par la fonction f définie sur [0; 10] par :
f(x)=(2x−5)e−x+4+20.
Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l’unité.
1. Quel est le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum?
Quel est ce bénéfice maximal en euros?
2. À partir de combien d’objets fabriqués et vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif?
3. Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.
retour au tableau
11. Antilles sept 2015
L’évolution de la population d’une station balnéaire pour l’été 2015 a été modélisée par une fonction f, définie sur l’intervalle [0; 70], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1erjuillet, f(x) désigne la population en milliers d’habitants.
Ainsix=30 correspond au 31 juillet et f(30) représente la population qu’il est prévu d’ac- cueillir le 31 juillet.
On estime qu’un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d’eau par jour.
10 20 30 40 50 60 70
2 4 6 8 10
0 10 20 30 40 50 60 70
0 2 4 6 8 10
nombre de jours milliers d’habitants
Partie A Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique
1. (a) Estimer le nombre maximal d’habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l’été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint.
(b) La commune est en capacité de fournir 600 000 litres d’eau par jour, est-ce suffisant?
2. Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d’habitants de la station balnéaire devrait rester su- périeur à 80 % du nombre maximal prévu.
Partie B
On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0; 70] par f(x)=2+0,2xe−0,025x+1.
1. Calculerf(9) puis vérifier que la consommation d’eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de 324 890 litres.
2. (a) Démontrer quef′(x)=(0,2−0,005x)e−0,025x+1oùf′est la fonction dérivée def. (b) Étudier le signe def′(x) sur l’intervalle [0; 70].
(c) En déduire la date de la consommation d’eau maximale.
Partie C
On notegla fonction définie sur l’intervalle [0; 70] par
g(x)=55f(x)=110+11xe−0,025x+1.
Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1erjuillet, g(x) représente alors la consommation maximale d’eau prévue ce jour là et exprimée en m3.
Soit la fonctionGdéfinie sur l’intervalle [0; 70] par
1. En l’illustrant sur la courbeCg de l’annexeà rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d’aires de la sommeS.
2. En déduire une valeur approximative de cette quantité d’eau consommée du 10eau 20ejour.
ANNEXE
Annexe à l’exercice 4 à rendre avec la copie
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 50
100 150 200 250 300 350 400 450 500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
consommation¡ m3¢
nombre de jours Cg
retour au tableau
12. Métropole sept 2015 ex4
On considère la fonction f définie par
f(x)=2x2ln(x) sur [0,2; 10] et on note¡
Cf¢
sa courbe représentative dans un repère du plan.
Le but de cet exercice est de prouver que la courbe¡ Cf¢
admet sur [0,2; 10] une seule tangente passant par l’origine du repère.
On note f′la fonction dérivée de la fonctionf.
1. Montrer que pourx∈[0,2 ; 10],f′(x)=2x(2ln(x)+1).
2. Soitaun réel de [0,2; 10], montrer que la tangente à la courbe¡ Cf¢
au point d’abscisse aa pour équation y=2a(2ln(a)+1)x−2a2(ln(a)+1).
3. Répondre alors au problème posé.
retour au tableau
13. Métropole sept 2015
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [0; 5].
Partie A - À l’aide d’un graphique On a représenté ci-dessous la courbe¡
Cf′¢
de la fonction dérivéef′ainsi que la courbe¡ Cf′′¢
de la fonction dérivée seconde f′′sur l’intervalle [0; 5].
Le point A de coordonnées (1; 0) appartient à¡ Cf′¢
et le point B de coordonnées (2; 0) appartient à la courbe¡ Cf′′¢
.
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
-2
-4 2 4
¡Cf′¢
¡Cf′′¢
b bA B
O
1. Déterminer le sens de variation de la fonctionf. Justifier.
2. Déterminer sur quel(s) intervalle(s), la fonctionf est convexe. Justifier.
3. La courbe def admet-elle des points d’inflexion? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s).
Partie B - Étude de la fonction La fonctionf est définie sur [0; 5] par
f(x)=5xe−x. 1. Justifier que la fonctionf est positive sur l’intervalle [0; 5].
2. Montrer que la fonctionFdéfinie sur [0; 5] parF(x)=(−5x−5)e−xest une primitive def sur [0; 5].
3. Déterminer alors la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe de f, l’axe des abscisses, et les droites d’équationx=0 etx=1.
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14. Polynésie sept 2015 ex4
On considère une fonctionPdéfinie et dérivable sur l’intervalle [0; 60].
On donne, ci-dessous, la courbe représentativeCde la fonctionP.
0 2 4 6 8 101214161820222426283032343638404244464850525456586062 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
C
Partie A
À partir d’une lecture graphique répondre aux questions qui suivent :
1. En argumentant la réponse, donner le signe deP′(54), oùP′est la fonction dérivée deP. 2. Donner un intervalle sur lequel la fonctionPest convexe.
3. Donner, à l’unité près, les solutions de l’équationP(x)=10.
4. On noteAle nombre Z10
0 P(x) dx; choisir l’encadrement qui convient pourA.
0<A<60 60<A<70 6<A<7 10<A<11 Partie B
La fonctionP est définie sur l’intervalle [0; 60] par :
P(x)=6+(60−x)e0,1x−5. À l’aide d’un logiciel de calcul formel on a obtenu les résultats suivants :
Actions Résultats
definir(P(x)=6+(60-x)*exp(0,1*x-5)) x7→6+(60-x)*exp(0.1*x-5)
deriver(P(x),x) (-0.1*x+5)exp(0.1*x-5)
deriver(deriver(P(x),x),x) (-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5)
1. (a) Étudier le signe deP′(x) sur l’intervalle [0; 60] oùP′est la fonction dérivée deP.
(b) En déduire les variations de la fonctionP sur l’intervalle [0; 60] et vérifier que la fonctionPadmet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.
2. Montrer que l’équationP(x)=10 a une solution uniquex0sur l’intervalle [0; 40].
Donner une valeur approchée dex0à 0,1 près.
3. En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonctionP.
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15. Polynésie sept 2015
Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises
Un cabinet d’audit a été chargé d’étudier la répartition des salaires dans deux filiales d’une entreprise, appelées A et B. Pour l’étude, les salaires sont classés par ordre croissant.
Le cabinet d’audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction u pour la filiale A et par la fonctionv pour la filiale B.
Les fonctionsuetvsont définies sur l’intervalle [0; 1] par : u(x)=0,6x2+0,4xet
v(x)=0,7x3+0,1x2+0,2x.
On a tracé ci-contre les courbes représentativesCetC′des fonctionsuetv.
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,1
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
b
E C C′
D:y=x
1. Déterminer la courbe représentative de la fonctionuen justifiant la réponse.
2. Lorsquexreprésente un pourcentage de salariés,u(x) etv(x) représentent le pourcentage de la masse sala- riale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives.
Exemple : pour la courbeC, le point E(0,60; 0,3072) signifie que 60 % des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 30,72 % de la masse salariale.
(a) Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50 % des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires.
(b) Pour les 50 % des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale?
(c) Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire?
3. Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une fonctionf modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule :
cf=2 µ1
2− Z1
0 f(x) dx
¶ . (a) Montrer quecu=0,2.
(b) En observant quecv 2 =
Z1 0 xdx−
Z1
0 v(x) dx, donner une interprétation graphique decv
2 en termes d’
aires.
(c) En déduire quecvest compris entre 0 et 1.
(d) Justifier l’inégalitécu6cv. retour au tableau
16. Asie 2015 ex4
Soit f la fonction définie sur [0; 1] par :
f(x)=2−2x.
On a tracé ci-dessous la droiteDf, représentation graphique de la fonctionf dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan.
Le point C a pour coordonnées (0; 2).
∆est la partie du plan intérieure au triangle OIC.
Soit a un nombre réel compris entre 0 et 1; on note A le point de coordonnées (a ; 0) et B le point deDf de coordonnées (a; f(a)).
Le but de cet exercice est de trouver la valeur dea, telle que le segment [AB] partage∆en deux parties de même aire.
Déterminer la valeur exacte dea, puis une valeur approchée au centième.
1 1
2
I J
O
a B C
Df
retour au tableau
17. Asie 2015
Partie A
Soit f la fonction définie sur [0; 10] par
f(x)=x+e−x+1. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
1 f(x) :=x+exp(−x+1) // Interprètef
// Succès lors de la compilationf
x7−→x+exp(−x+1) 2 derive (f(x))
−exp(−x+1)+1 3 solve (−exp(−x+1)+1>0)
[x>1]
4 derive (−exp(−x+1)+1)
exp(−x+1) 1. Étude des variations de la fonctionf
(a) En s’appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation.
(b) En déduire que la fonctionf admet un minimum dont on précisera la valeur.
2. Étudier la convexité de la fonctionf sur l’intervalle [0; 10].
Partie B
Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l’outil de production utilisé, à mille objets par semaine. Le coût de revient est modélisé par la fonction f oùxest le nombre d’objets fabriqués exprimé en centaines d’objets et f(x) le coût de revient exprimé en milliers d’euros.
1. Quel nombre d’objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum?
2. Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12e. On appelle marge brute pourxcentaines d’objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient.
(a) Justifier que le montant obtenu par la vente dexcentaines d’objets est 1,2xmilliers d’euros.
(b) Montrer que la marge brute pourxcentaines d’objets, notéeg(x), en milliers d’euros, est donnée par : g(x)=0,2x−e−x+1.
(c) Montrer que la fonctiongest strictement croissante sur l’intervalle [0; 10].
3. (a) Montrer que l’équationg(x)=0 possède une unique solutionαsur l’intervalle [0; 10].
(b) Déterminer un encadrement deαd’amplitude 0,01.
4. En déduire la quantité minimale d’objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute posi- tive sur la vente de ces objets.
retour au tableau
18. Métropole 2015 ex4
On considère la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par
f(x)=3x−3xln(x).
On noteCf sa courbe représentative dans un repère orthonormé etT la tangente àCf au point d’abscisse 1.
Quelle est la position relative deCf par rapport àT? retour au tableau
19. Métropole 2015
La courbe (C) ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle [−4 ; 3]. Les points A d’abscisse−3 et B(0; 2) sont sur la courbe (C).
Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe (C) respectivement aux points A et B, la tan- gente au point A étant horizontale. On notef′la fonction dérivée def.
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−2
−4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 1 2 3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
A
(C) B
Les parties A et B sont indépendantes PARTIE A
1. Par lecture graphique, déterminer : (a) f′(−3);
(b) f(0) etf′(0).
2. La fonctionf est définie sur [−4 ; 3] par
f(x)=a+(x+b)e−x oùaetbsont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.
(a) Calculerf′(x) pour tout réelxde [−4 ; 3].
(b) À l’aide des questions 1. b. et 2. a., montrer que les nombresaetbvérifient le système suivant :
PARTIE B
On admet que la fonction f est définie sur [−4 ; 3] par
f(x)= −2+(x+4)e−x.
1. Justifier que, pour tout réelxde [−4 ; 3],f′(x)=(−x−3)e−x et en déduire le tableau de variation de f sur [−4 ; 3].
2. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une unique solutionαsur [−3 ; 3], puis donner une valeur approchée deαà 0,01 près par défaut.
3. On souhaite calculer l’aireS, en unité d’aire, du domaine délimité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équationx= −3 etx=0.
(a) Exprimer, en justifiant, cette aire à l’aide d’une intégrale.
(b) Un logiciel de calcul formel dorme les résultats ci-dessous : 1 F(x) := −2x+(−x−5)∗exp(−x)
//InterprèteF
// Succès lors de la compilationF
x7→ −2∗x+(−x−5)∗exp(−x) 2 derive (F(x))
−exp(−x)−exp(−x)∗(−x−5)−2 3 simplifier(−exp(−x)−exp(−x)∗(−x−5)−2)
x∗exp(−x)+4∗exp(−x)−2 À l’aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l’aireSpuis sa valeur arrondie au centième.
retour au tableau
20. Nouvelle Calédonie mars 2015 exo3
On considère la fonctiong, définie et dérivable sur l’intervalle [0,5; 5], et telle que pour tout nombre réelx, on a : g(x)=2ln(x)+1
x .
On noteg′sa fonction dérivée etΓsa courbe représentative dans le repère ci-dessous.
Soit B le point deΓd’abscisse 1; la droite (OB) est tangente en B à la courbeΓ.
1 2 3 4 5
1 2
D
b b
A
B Γ
1. Déterminer les coordonnées exactes du point A, point d’intersection de la courbeΓavec l’axe des abscisses.
2. (a) Montrer que pour tout réelxde l’intervalle [0,5; 5], on ag′(x)=1−2ln(x) x2 . (b) Étudier le signe deg′(x) sur l’intervalle [0,5; 5].
(c) En déduire les variations degsur l’intervalle [0,5; 5].
3. Déterminer une équation de la tangente à la courbeΓau point B d’abscisse 1.
4. (a) On noteDle domaine défini par l’axe des abscisses, la courbeΓet les droites d’équationx=1 etx=3.
Par lecture graphique, encadrer par deux entiers l’aire deD, exprimée en unités d’aire.
(b) On définit la fonctionGsur l’intervalle [0,5; 5] par
G(x)=ln(x)[ln(x)+1].
Montrer queGest une primitive degsur l’intervalle [0,5; 5].
(c) Déterminer l’aire deDexprimée en unités d’aire.
retour au tableau
21. Nouvelle Calédonie mars 2015
On considère la fonction f définie pour tout réelxde l’intervalle [1,5; 6] par : f(x)=(25x−32)e−x.
On a utilisé un logiciel pour déterminer, sur l’intervalle [1,5; 6], sa fonction dérivée f′et sa fonction dérivée se- conde f′′.
On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère du plan.
On a obtenu les résultats suivants qui pourront être utilisés sans justification dans tout l’exercice.
• f′(x)=(57−25x)e−x
• f′′(x)=(25x−82)e−x
1. (a) Étudier le signe def′(x) sur l’intervalle [1,5; 6].
(b) En déduire le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle [1,5; 6] (Les valeurs seront, si néces- saire, arrondies au centième).
2. Montrer que, sur l’intervalle [1,5; 6], la courbeCadmet un unique point d’inflexion dont on précisera l’abs- cisse.
3. Dans cette question, on s’intéresse à l’équation f(x)=1.
(a) Justifier que l’équationf(x)=1 admet une unique solutionαsur l’intervalle [4; 5].
(b) On a écrit l’algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l’équation f(x)=1 sur l’intervalle [4; 5].
Initialisation aprend la valeur 4 bprend la valeur 5 Traitement
Tant queb−a>0,1 faire yprend la valeurf³a
+b 2
´ Siy>1 alors
aprend la valeura+2b Sinonbprend la valeura+2b Fin de Tant que
Sortie Affichera+2b
Exécuter l’algorithme précédent en complétant le tableau donné en annexe.
(c) Donner une valeur approchée deαau dixième.
Annexe (à rendre avec la copie) a+b
2 yà 10
−3près a b b−a Sortie
Initialisation 4 5 1
1reboucle « Tant que » 4,5 0,894 4 4,5 0,5
2eboucle « Tant que » 3eboucle « Tant que » 4eboucle « Tant que » retour au tableau
22. Nouvelle Calédonie nov2014 exo4
On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants : 1 dériver³ln(x)
x
´
1−ln(x) x2
2 dériver¡1
x2
¢
−2
x3
3 dériver³ln(x)
x2
´
1−2 ln(x) x3
On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l’exercice.
On considère la fonction f définie sur [1; 10] par
f(x)=ln(x) x et on noteC sa courbe représentative dans un repère.
La fonctionf est deux fois dérivable sur [1; 10], on notef′sa fonction dérivée etf′′sa fonction dérivée seconde.
1. (a) Déterminerf′(x) sur [1; 10].
(b) Construire le tableau de variation de la fonctionf sur [1; 10].
2. (a) Justifier quef′′(x)=2ln(x)−3
x3 sur [1; 10].
(b) Étudier le signe def′′sur [1; 10].
(c) En déduire que la courbeC possède un point d’inflexion dont on précisera l’abscisse.
3. On considère l’algorithme suivant :
INITIALISATION
XPREND LA VALEUR 2 Y PREND LA VALEURln(2)2 ZPREND LA VALEUR ln(2,1)2,1 TRAITEMENT
TANT QUE (Y <Z) FAIRE XPREND LA VALEURX+0,1 Y PREND LA VALEURln(XX ) Z PREND LA VALEURln(XX++0,10,1) FIN TANT QUE
SORTIE
AFFICHER X
(a) Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième :
X Y Z Test :Y <Z
2 0,346 6 0,353 3 vrai
2,1 0,353 3 0,358 4 vrai
2,2 . . .
(b) Quelle est la valeur affichée en sortie? Que représente-t-elle pour la fonctionf? retour au tableau
23. Nouvelle Calédonie nov2014
La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ;2].
0,5 1,0 1,5 2,0
−0,5
−1,0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
G
S H
(C)
O
b b b
On note f′la fonction dérivée de la fonctionf. Le point G a pour coordonnées (0; 2).
Le point H a pour coordonnées (1; 3).
La droite (GH) est la tangente à la courbe (C) au point G.
La courbe (C) admet une tangente horizontale au point S d’abscisse ln2.
Le domaine hachuré est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équationx=1 et la courbe (C).
Partie A
Dans cette partie aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique : 1. Donner les valeurs def(0) etf′(0).
2. Résoudre sur [−1 ; 2] l’inéquationf′(x)60.
3. Encadrer par deux entiers consécutifs l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le gra- phique.
Partie B
2. Justifier quea=2 etb=3.
3. Déterminer, sur [−1 ; 2], une primitiveFde la fonction f.
4. En déduire la valeur exacte, en unités d’aire, de l’aire du domaine hachuré sur le graphique.
retour au tableau
24. Amérique du sud nov2014
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; 4] par
f(x)=(3x−4)e−x+2.
1. On désigne parf′la dérivée de la fonction f.
Montrer que l’on a, pour toutxappartenant à l’intervalle [0; 4], f′(x)=(7−3x)e−x.
2. Étudier les variations de f sur l’intervalle [0; 4] puis dresser le tableau de variations def sur cet intervalle.
Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.
3. (a) Montrer que l’équationf(x)=0 admet une unique solutionαsur l’intervalle [0; 4].
(b) Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée deαà 0,01 près.
4. On considère la fonctionFdéfinie sur l’intervalle [0; 4] par F(x)=(1−3x)e−x+2x.
(a) Montrer queFest une primitive def sur [0; 4].
(b) Calculer la valeur moyenne def sur [0; 4]
5. On admet que la dérivée seconde de la fonctionf est la fonctionf′′définie sur l’intervalle [0; 4] parf′′(x)= (3x−10)e−x.
(a) Déterminer l’intervalle sur lequel la fonctionf est convexe.
(b) Montrer que la courbe représentativeC de la fonctionf possède un point d’inflexion dont on précisera l’abscisse.
retour au tableau
25. Métropole sept 2014 ex4
On considère la fonction f définie sur [0,5; 10] par :
f(x)= −x2−4x+15+6ln(x).
On note f′la fonction dérivée de la fonctionf. 1. Vérifier quef′(x)=
−2x2−4x+6
x .
2. Étudier le signe de la fonctionf′sur [0,5; 10], en déduire le tableau de variations def sur [0,5; 10].
3. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une unique solutionαsur l’intervalle [0,5; 10].
Donner une valeur approchée deαà 10−2par défaut.
4. On considère la fonctionFdéfinie et dérivable sur [0,5; 10] telle que : F(x)= −1
3x3−2x2+9x+6xln(x).
Montrer queFest une primitive def sur [0,5; 10].
5. CalculerI= Z3
1 f(x) dx. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième.
6. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [1; 3] : en donner une valeur approchée au millième.
retour au tableau
26. Métropole sept 2014 ex3
On considère une fonction f définie surRet deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f′′, dérivée seconde de la fonctionf, dans un repère orthonormé.
Les points suivants appartiennent à la courbe : A(−2 ; 0); B(0 ;−6) et C(3; 0).
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7 1 2 3 4 5
A
B
C O
Courbe représentative de la fonctionf′′
Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d’arguments graphiques.
1. La courbe représentative def admet-elle des points d’inflexion?
2. Sur [−2 ; 3], la fonction est-elle convexe? Est-elle concave?
3. Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction f : laquelle? Justifier la réponse.
Courbe 1 Courbe 2
10 20 30 40 50 60 70 80
10 20 30 40 50 60 70 80
27. Antilles sept 2014
EXERCICE3 6 points
Commun à tous les candidats
Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.
Un producteur de légumes souhaite s’implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés « bio ».
Partie A
Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2500 foyers de la commune; 80 foyers se déclarent intéressés par l’achat d’un panier par mois.
Déterminer l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d’un panier mensuel.
Quelle aurait dû être la taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude 0,02?
La commune compte 15 000 foyers. La condition pour démarrer l’entreprise est de réaliser une recette minimale de 3 500 euros par mois. Sachant que les paniers seront vendus 20 euros l’un, le producteur peut-il envisager de se lancer? Justifier la réponse.
Partie B
La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1 000 paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonctionCdéfinie sur l’intervalle [0; 10] par
C(x)= −1 48x4+ 5
16x3+5x+10.
Lorsquexest exprimé en centaines de paniers,C(x) est égal au coût total exprimé en centaines d’euros.
On admet que, pour tout nombrexde l’intervalle [0; 10], le coût marginal est donné par la fonctionCm=C′oùC′ est la fonction dérivée deC.
1. CalculerCm(6), le coût marginal pour six cents paniers vendus.
2. On noteC′′la fonction dérivée seconde deC et on aC"(x)= −1 4x2+15
8 x.
(a) Déterminer le plus grand intervalle de la forme [0 ;a] inclus dans [0; 10] sur lequel la fonctionCest convexe.
(b) Que peut-on dire du point d’abscisseade la courbe de la fonctionC? Interpréter cette valeur deaen termes de coût.
Partie C
On admet que l’entreprise produit entre 0 et 1 000 paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20 euros le panier.
La recette mensuelleR, exprimée en centaines d’euros, ainsi que la fonctionCsont représentées par les courbes CRetCCsur le graphique donné en annexe.
Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent.
1. Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice.
Donner une valeur approchée à la dizaine.
2. Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s’il produit et vend 500 paniers dans le mois.
Donner une valeur approchée à la centaine d’euros.
3. Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de 5 000 euros dans un mois? Argumenter la réponse.
ANNEXE Exercice 3 Partie C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
En centaines de paniers En centaines d’euros
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28. Pondichery avril 2014
Commun à tous les candidats
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment
Un artisan glacier commercialise des « sorbets bio ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction f définie pour tout nombre réelxde l’intervalle I = ]0; 3]
par
f(x)=10x2−20xlnx.
Lorsquexreprésente le nombre de centaines de litres de sorbet, f(x) est le coût total de fabrication en centaines d’euros.
La recette, en centaines d’euros, est donnée par une fonctionr définie sur le même intervalle I.
Partie A
La courbeC représentative de la fonctionf et la droiteDreprésentative de la fonction linéairersont données en annexe.
1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.
(a) Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet.
(b) Donner l’expression der(x) en fonction dex.
(c) Combien l’artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l’entreprise dégage un bénéfice?
2. On admet que Z3
1 20xlnxdx=90ln 3−40.
(a) En déduire la valeur de Z3
1 f(x) dx.
(b) En déduire, pour une production comprise entre 100 et 300 litres, la valeur moyenne (arrondie à l’euro) du coût total de production.
Partie B
On noteB(x) le bénéfice réalisé par l’artisan pour la vente dexcentaines de litres de sorbet produits. D’après les données précédentes, pour toutxde l’intervalle [1; 3], on a :
B(x)= −10x2+10x+20xlnx oùB(x) est exprimé en centaines d’euros.
1. On noteB′la fonction dérivée de la fonctionB. Montrer que, pour tout nombrexde l’intervalle [1; 3], on a : B′(x)= −20x+20lnx+30.
2. On donne le tableau de variation de la fonction dérivéeB′sur l’intervalle [1; 3].
x 1 3
B′(x) B′(1)
B′(3)
(a) Montrer que l’équationB′(x)=0 admet une unique solution αdans l’intervalle [1; 3]. Donner une valeur approchée deαà 10−2.
(b) En déduire le signe deB′(x) sur l’intervalle [1; 3] puis dresser le tableau de variation de la fonctionB sur ce même intervalle.
3. L’artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s’il peut atteindre un bénéfice d’au moins 850 euros. Est-ce envisageable?
ANNEXE
Annexe à l’exercice 4
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
centaines de litres centaines d’euros
D
C
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