Diaporama C1

(1)

C

HAPITRE

1 - S

YSTÈMES LINÉAIRES Julie Scholler - Bureau B246

septembre 2019

I. Systèmes linéaires

Équation linéaire à p inconnues

a₁x₁ +· · ·+ a_px_p = b avec a₁, . . . ,a_p et b des réels.

Système d’équations linéaires de n équations à p inconnues











a_1,1x₁ +a_1,2x₂ +· · ·+ a_1,px_p = b₁ (L₁) a_2,1x₁ +a_2,2x₂ +· · ·+ a_2,px_p = b₂ (L₂)

...

a_n,1x₁ + a_n,2x₂ + · · ·+ a_n,px_p = b_n (L_n) avec (a_i_,j)_(i_,j_)∈

J1,nK×J1,pK et (b₁, . . . ,b_n) des réels

(2)

Usine

• production de 3 produits : P₁, P₂, P₃

• passant chacun par 3 ateliers différents : A₁, A₂, A₃

• temps de passage en heure pour chaque produit dans chaque atelier

A₁ A₂ A₃

P₁ 2 1 1

P₂ 5 3 2

P₃ 3 2 2

Lors d’un programme de fabrication, la charge horaire des différents ateliers a été de 104h pour A₁, 64h pour A₂ et 55h pour B₃.

Quelles ont été les quantités produites de chaque produit ?











a_1,1x₁ +a_1,2x₂ +· · ·+ a_1,px_p = b₁ (L₁) a_2,1x₁ +a_2,2x₂ +· · ·+ a_2,px_p = b₂ (L₂)

...

a_n,1x₁ + a_n,2x₂ + · · ·+ a_n,px_p = b_n (L_n) Vocabulaire

• inconnues : variables x₁, . . ., x_p

• coefficients : (a_i_,j)_(i_,j)∈

J1,nK×J1,pK

• second membre : (b₁, . . . ,b_n)

• système homogène associé :











a_1,1x₁ + · · ·+a_1,px_p = 0 a_2,1x₁ + · · ·+a_2,px_p = 0

...

a_n,1x₁ + · · ·+a_n,px_p = 0

(3)

Résoudre un système linéaire dans R^p

c’est trouver l’ensemble des solutions dans R^p du système,

c’est-à-dire l’ensemble des éléments (x₁, . . . ,x_p) de R^p qui vérifient toutes les équations.

Exemple

Résoudre x = 2 dans R puis dans R². Système compatible

système admettant au moins une solution

Exemples et représentation géométrique dans R

²







x +y = 5

2x −y = 1

(1)











x +y = 5

2x −y = 1

x −y = 3

(2)







x + y = 0 x + y = 1

(3)







2x + y = 3

4x + 2y = 6

(4)

Encore des exemples







2x + y = 1

y = 2

(5)











x + y + z = 8 y + z = 6 z = 3

(6)







x + y + z = 8 z = 3

(7)

II. Systèmes échelonnés et leur résolution

Système échelonné

si le nombre de coefficients nuls au début de chaque équation augmente strictement d’une équation à la suivante, pour finir

éventuellement par des équations dont tous les coefficients sont nuls (mais dont les seconds membres peuvent être non nuls)











a_1,1x₁ + a_1,2x₂ + a_1,3x₃+ . . . +a_1,px_p = b₁

a_2,2x₂ + a_2,3x₃+ . . . +a_2,px_p = b₂

. .. ...

a_r_,rx_r + · · ·+ a_r_,px_p = b_r 0 = b_r₊₁

... 0 = b_n

(5)

Encore des exemples







2x + y = 1

y = 2

(5)











x + y + z = 8 y + z = 6 z = 3

(6)







x + y + z = 8 z = 3

(7)

Vocabulaire

• pivot : premier coefficient non nul de chaque équation, s’il existe

• variable liée : variable correspondant à un pivot

• variable libre : variable ne correspondant à aucun pivot

Rang d’un système échelonné

• nombre de pivots du système

Système échelonné réduit

• tous ses pivots sont égaux à 1 et pour chaque inconnue

admettant un pivot, les coefficients en cette inconnue sont tous nuls à l’exception du pivot

(6)

Exemples







2x −y = 10 y = 0







2x +y +z = 1

−y = 0







2x +y +z = 1

10z = 0







x −y = 1

z = 0











x −y = 1

z = 0 0 = 0











x −y = 1

z = 0 0 = 5











x −y = 1

z = 0 z = 5

Équations de compatibilité

dans un système échelonné, les éventuelles dernières lignes de la forme 0 = b, où b est une constante

Proposition

Un système linéaire échelonné est compatible si et seulement s’il n’admet aucune équation de compatibilité fausse.

Existence de solutions d’un système linéaire échelonné

dépend uniquement de ses éventuelles équations de compatibilité, pas des autres équations.

Elle dépend du second membre de manière cruciale.

(7)

Rang d’un système échelonné nombre du pivot du système

On considère un système linéaire échelonné à p inconnues, de rang r et compatible.

Résolution d’un système linéaire échelonné compatible

• Si r = p, alors il admet une unique solution.

• Si r < p, alors il admet une infinité de solutions et l’ensemble des solutions peut être paramétré par les p − r variables libres.

Structure de l’ensemble des solutions si le rang est égal à

• p, alors il admet une unique solution

• p −1, alors l’ensemble des solutions est une droite paramétrée par 1 paramètre

• p −2, alors l’ensemble des solutions est un plan paramétré par 2 paramètres

(8)

III. Algorithme de Gauss–Jordan

Opérations élémentaires

• Échange de deux lignes.

Pour tous entiers i et j distincts dans J1,nK, l’échange de la i^e ligne et de la j^e ligne est noté

L_i ←→ L_j

• Multiplication d’une ligne par une constante non nulle.

Pour tout réel λ dans R^?, et tout entier i dans J1,nK, la multiplication de la i^e ligne par λ est notée

L_i ←− λL_i

• Ajout à une ligne d’un multiple d’une autre ligne.

Pour tout réel µ dans R et tous entiers i et j distincts dans J1,nK, l’ajout à la i^e ligne de la j^e ligne multipliée par µ est notée

L_i ←− L_i + µL_j

Systèmes équivalents

Si on peut passer d’un système à un autre par des opérations élémentaires

Proposition

S’ils sont équivalents, alors ils ont les mêmes ensembles de solutions Exemple







x +y = 5

2x −y = 1

(1)

(9)

Usine

• production de 3 produits : P₁, P₂, P₃

• passant chacun par 3 ateliers différents : A₁, A₂, A₃

• temps de passage en heure pour chaque produit dans chaque atelier

A₁ A₂ A₃

P₁ 2 1 1

P₂ 5 3 2

P₃ 3 2 2

Lors d’un programme de fabrication, la charge horaire des différents ateliers a été de 104h pour A₁, 64h pour A₂ et 55h pour B₃.

Quelles ont été les quantités produites de chaque produit ?

Représentation matricielle des systèmes linéaires

Matrice de taille (n,p) à coefficients dans R famille d’éléments de R : A = (a_i_,j)_(i_,j)∈

J1,nK×J1,pK, que l’on représente sous la forme d’un tableau rectangulaire de la façon suivante

A =







a_1,1 a_1,2 . . . a_1,j . . . a_1,p a_2,1 a_2,2 . . . a_2,j . . . a_2,p

... ... ... ... ... ... a_i_,1 a_i_,2 . . . a_i_,j . . . a_i_,p

... ... ... ... ... ... an,1 an,2 . . . an,j . . . an,p







• M_n,p(R) : ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans R

(10)

Matrices associée à un système linéaire

Matrice des coefficients

A =







a_1,1 a_1,2 . . . a_1,p a_2,1 a_2,2 . . . a_2,p

... ... ... ... a_n,1 a_n,2 . . . a_n,p







Matrice augmentée

(A | B) =







a_1,1 a_1,2 . . . a_1,p a_2,1 a_2,2 . . . a_2,p ... ... ... ... a_n,1 a_n,2 . . . a_n,p

b₁ b₂ ... b_n







Équivalence par lignes de matrices

On dit que deux matrices M et M⁰ de même taille sont équivalentes par lignes, et on note M ∼

L M⁰, si et seulement si on peut passer de l’une à l’autre en effectuant un nombre fini

d’opérations élémentaires sur les lignes.

Justification de la représentation matricielle

Deux systèmes linéaires sont équivalents si et seulement si leurs matrices augmentées sont équivalentes par lignes.

(11)

Algorithme de Gauss

• permet de passer d’un système linéaire à un système linéaire échelonné ayant les mêmes solutions

Algorithme de Gauss–Jordan

• permet de passer d’un système linéaire à un système linéaire échelonné réduit ayant les mêmes solutions

Usine











2x₁ + 5x₂ + 3x₃ = 104 x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 64 x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 55

(usine)

Matrice augmentée associée

U =







2 5 3 1 3 2 1 2 2

104 64 55







(12)

Algorithme de Gauss

On considère une système à p inconnues.

Étape 0 Si tous les coefficients de la première colonne sont nuls, on considère le système comme un système à p − 1 inconnues, etc.

Étape 1 Détection et choix du pivot de la colonne 1

• on va faire en sorte que a₁₁ soit non nul et assez simple (idéalement égal à 1)

• on utilise les opérations élémentaires : L₁ ↔ L_j et/ou L₁ ← 1

a₁₁L₁

Étape 2 Annulation de tous les coefficients sous le pivot

• on utilise les opérations élémentaires L_i ← L_i − a_i₁

a₁₁L₁

Étape 3 On recommence les étapes précédentes en considérant le système sans la ligne 1 et la colonne 1.

Algorithme de Gauss–Jordan

Même chose mais en plus

• on met systématiquement les pivots à 1 avec les opérations élémentaires : L_i ← 1

a_ij L_i

• on annule également les coefficients au-dessus des pivots avec les opérations élémentaires : L_k ← L_k − a_kj

a_ij L₁ Algorithme de Gauss–Jordan

Tout système linéaire est équivalent à un unique système linéaire échelonné réduit (avec les variables dans le même ordre).

(13)

Rang d’un système (S) quelconque

rang de l’unique matrice échelonnée réduite par lignes équivalente à la matrice du système (S)

Proposition

Le nombre de pivots ne dépend pas de la manière d’échelonner.

Le rang d’un système linéaire (S) est le rang de tout système linéaire échelonné équivalent à (S).

On considère un système (S) de n équations et p inconnues et notons r son rang.

• 0 6 r 6 p et 0 6 r 6 n

• Il y a r variable(s) liée(s).

• Il y a n − r variable(s) libre(s).

• Le rang d’un système ne dépend pas du second membre.

(14)

Cas 1 : r = p et r = n

(S) ⇔











x₁ = b₁⁰

x₂ = b₂⁰ . .. = ...

x_r = b_r⁰

Dans ce cas, le système admet une unique solution (b₁⁰,· · · ,b_r⁰).

• aucune variable libre : au plus une solution

• aucune équation de compatibilité : au moins une solution

Cas 2 : r < p et r = n

(S) ⇔











x1 +a⁰_1,r₊₁xr+1+ · · ·+ a⁰_1,pxp = b₁⁰ x2 +a⁰_2,r₊₁xr+1+ · · ·+ a⁰_2,pxp = b₂⁰

. .. ... ... = ...

x_r +a_r⁰_,r₊₁x_r₊₁+ · · ·+ a_r⁰_,px_p = b_r⁰

• au moins une variable libre : pas unicité des éventuelles solutions

• aucune équation de compatibilité : au moins une solution











x₁ = b₁⁰ − a⁰_1,r₊₁x_r₊₁ − · · · −a_1,p⁰ x_p ...

x_r = b_r⁰ − a⁰_r_,r₊₁x_r₊₁ − · · · −a_r⁰_,px_p

L’ensemble des solutions est infini et est paramétré par les d = n −r variables libres.

(15)

Cas 3 : r = p et r < n

(S) ⇔











x₁ = b₁⁰

x₂ = b₂⁰

. .. = ... x_r = b_r⁰

0 = b_r⁰₊₁ ... = ...

0 = b_n⁰

• aucune variable libre : au plus une solution

• des équations de compatibilité

• aucune solution si une de n−r équations de compatibilité est fausse

• exactement une solution (b₁⁰,· · · ,b_r⁰) si toutes les équations de compatibilités sont vraies

Cas 4 : r < p et r < n

(S) ⇔











x₁ +a⁰_1,r₊₁x_r₊₁+ · · ·+ a⁰_1,px_p = b₁⁰ x₂ +a⁰_2,r₊₁x_r₊₁+ · · ·+ a⁰_2,px_p = b₂⁰

. .. ... ... = ...

x_r +a_r⁰_,r₊₁x_r₊₁+ · · ·+ a_r⁰_,px_p = b_r⁰ 0 = b_r⁰₊₁

... = ... 0 = b_n⁰

(16)

Récapitulatif

r = p r < p

(d = p − r variables libres)

r = n exactement une

solution

une infinité de solution (de dimension d) r < n

(n − r équations de compatibilité)

aucune solution ou une unique solution

aucune solution ou une infinité de

solution (de dimension d)

Cas des systèmes homogènes











a_1,1x₁ +a_1,2x₂ +· · ·+ a_1,px_p = 0 a_2,1x₁ +a_2,2x₂ +· · ·+ a_2,px_p = 0

...

a_n,1x₁ + a_n,2x₂ +· · ·+ a_n,px_p = 0

Remarques

• les équations de compatibilité sont toujours vraies

• (0, . . . ,0) est toujours une solution

(17)

IV. Exemples et systèmes à paramètres

Soit m un réel fixé. Résoudre dans R³ le système suivant.











3x + y − z = 1

x − 2y + 2z = m

x + y − z = 1

(8)

Soit k un réel fixé. Déterminer en fonction de k le nombre de solution de ce système dans R³.











kx + y + z = 2

2x − 3y − 4z = k

x − y − 3z = −1

(9)