M.S.KA. Page 1 AN / SERIE N°1 :

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^iéme

Edition

conforme au nouveau programme de mathématiques du 1^ier cycle octobre 2006

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ENSEMBLE Q DES NBRES RATIONNELS.

Exercice 1: Ensemble Q

1. Compléter les pointillés par



ou



. a)

21 3

«« IN ;

3

41

«« IN ;

3

41

«« Q.

b)

3

21

«« ; -

12

40

««Q ;

375

125

«« Q⁺.

c) -

73

365

«.. Z ;

11

121

««Q ;

42 6

_««,'

d) «Q ;

3

41

« ;

4

3

« Q ; -

3

45

«« IN.

2. Compléter les pointillés par

 ou Œ

.

,1««4 ; =«,1 ; ««,' 4«,' Exercice 2: Le PGCD et le PPCM.

1. Calculer PGCD (504;; 492) et PGCD (888 ;; 777) puis simplifier la fractions : A =

504 492

_{et B= -}

777 888

.

2 .Dans chacun des cas suivants, déterminer : PPCM (a, b) et PGCD (a, b).

1^ier CAS: a = 504 ;; b= 492 2^iéme CAS: a =121 ;; b=210.

3. Montrer que 1029 est un multiple de 147.

En déduire PGCD (1029;; 147) et PPCM (1029 ;; 147).

Exercice 3: Opération dans Q.

1. Calculer les sommes suivantes puis simplifier :

A=

3

5 4 3

;; B=

¸

¹

¨ ·

© §

¸

¹

¨ ·

© §

2 3 7

2

;; C =

¸

¹

¨ ·

© §

¸ ¹

¨ ·

© §

13 7 13

2

2. Calculer les différences suivantes puis simplifier :

A=

3

2 4

3

;; B=

¸

¹

¨ ·

© §

2

3 3

;; C =

¸

¹

¨ ·

© §

¸ ¹

¨ ·

© §

15 7 15

12

3. Calculer les produits suivants (simplifier) : a) A= -3

u

4

3

;; B=

¸

¹

¨ ·

© § u 2

3 3

;; C =

35

15 2 ¸ u

¹

¨ ·

© §

. b) A=

12 9 3

4 u

;; B=

50 49 14 125

u

;; C =

21 16 4

248 u

.

4. Calculer les quotients suivants (simplifier) : a) A= -

: 3

5

7

;; B=

: 12 6

4

;; C =

: 8 15

2 ¸

¹

¨ ·

© §

.

b) A= -

5 4 3 2

;; B=

3 7 5

;; C =

8 7 5

;; D= -

25 : 14 15

4

.

5. Calculer les puissances suivantes (simplifier) : A=

5

5 2 ¸

¹

¨ ·

© §

;; B =

5 3

9 2 2

3 ¸

¹

¨ ·

© u §

¸ ¹

¨ ·

© §

;; C =

5

2 1

¸ ¹

¨ ·

© §

Exercice 4:

Dans une classe de 3^iéme ,

3

2

des élèves désirent

SRXUVXLYUHOHXUVpWXGHVHQVHFRQGHG·HQVHLJQHPHQW général,

6

1

veulent aller en seconde technologique et

les 5 élèves restant souhaitent aller en seconde professionnelle.

1. 4XHOOHIUDFWLRQGXQRPEUHG·pOqYHVGHODFlasse veut aller en seconde professionnelle ?

2. 'pWHUPLQHUOHQRPEUHG·pOqYHVGHODFODVVH

3. 'pWHUPLQHUOHQRPEUHG·pOqYHVGHODFODVVHGpVLUDQW SRXUVXLYUHOHXUVpWXGHVHQVHFRQGHG·HQVHLJQHPHQW général.

Exercice 5:

Le rayon de mercure est égal aux

4

3

du rayon de la

terre. Le rayon de la lune est égal aux

11

3

du rayon de

la terre. A quelle fraction le rayon de mercure, le rayon de la lune est-il égal ?

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Exercice 6: Problème de la vie courante.

Un ordinateur est vendu 12600F. Un tiers de son prix est versé à la commende, un cinquième à la livraison, le reste en dix mensualités identiques.

1. Quelle IUDFWLRQGXSUL[GHO·RUGLQDWHXUOHPRQWDQW G·XQHPHQVXDOLWpUHSUpVHQWe-t-il ?

2. Calculer le montant G·XQHPHQVXDOLWp ? Exercice 7: Puissances.

Mettre les expressions suivantes sous la forme de Puissances simples.

A= (2

u

3)^-4

u

(2³)^-2

u

3²

u

2^-2 ;; B= (7^-3

u

2⁴)^-2

u

(7³)^-2

u

21

u

3.

C = _{2 2 2 3}

3 3 1 2 3

) 3 2 ( ) 3 (

3 ) 2 ( 3 2

u u

u u

u

;; D = _{2 2 2 3}

3 3 1 2

) 7 2 ( ) 7 (

7 ) 2 ( 5 , 0 3 14

u u

u u

u

u

Exercice 8: Puissances.

1. Mettre les expressions suivantes sous la forme de 2 ⁿ

u

3 ^m

u

5 ^p, où n, m et p sont des entiers.

C = 12

u

36

u

6^-5

u

100

u

5^-3 ;; D=2

u

64

u

6^-5

u

100

u

5^-3. 2. Donner une écriture simple de E et F.

E = _{2 2 2}

4 3

2

( )

c b a

bc a

u u u

;; F = _{5 8 7}

6 3

3

( )

u u

u u u

n m m

n n m

n

.

(a, b, c n et m sont différents de zéro).

Exercice 9: Puissances.

Déterminer le signe de chacun des nombres

4

3 1 ¸

¹

¨ ·

© §

;;

5

2 1 ¸

¹

¨ ·

© §

;;

5

2 1

¸ ¹

¨ ·

©

§

_{;; 4-8 ;; -}

4

7

1

.

Exercice 10: Puissances de 10.

Mettre les expressions suivantes sous la forme de a

u

10 ^p, où p



Z.

A=10 ⁷

u

10 ^{² 4}

u

10 ² ;;

B= 5,7

u

10 ^²7

u

(10 ^²5

u

10⁺²)^{- 2}. C = 105,7

u

10 ^²7 - 120

u

10 ^²7 ;;

D = 2,9

u

10^-1 - 17,8

u

10^-2

Exercice 11: Puissances de 10.

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les propriétés des puissances de10.

A = ₇^{5 2}₄

10 10

10 10

u

u

;; B=

100 ) 10 ( 20

10 25 10 8

5 2

6 5

u u

u u

u

C = ₃

2 2

10 . 5

10 . 15 10 . 5 , 0 25 , 0

;; D = _{7 9}

7 5

10 . 2 10

10 5 , 0 . 10 4

u u

u

.

(HP : On donnera les résultats en écriture scientifique si possible) Exercice 12: Valeurs absolues

Ecrire les expressions suivantes sans le symbole de valeur absolue.

A=

4 7 9

;; B =

: 7 4 1 1

;; C=

3 4 4

3

;; D=

: 3

2 1 3

2

.

Exercice 13: Valeurs absolues

On considère les nombres rationnels: a, b et c tels que : a > 0, b< 0 et c>0.

Ecrire les expressions suivantes sans le symbole de valeur absolue.

A =

a

+

b

-

c

;; B =

7 abc

;; C=

au b c

;; D=

a b

Exercice 14: Comparaison

1. Dans chacun des cas ci-dessous, dire si A est-il égale B ?

a) A =

6

5

et B =

36

30

b) A =

12 7

et B =

60 35

^.

2. Comparer les nombres rationnels suivants en utilisant deux méthodes différentes.

a)

6 5

et

5

2

b)

7 2

et

8

3

c) 5,1 et

3 14

.

Exercice 15: Comparaison

Ranger les nombres rationnels ci-dessous dans O·RUGUH croissant :

7 8

;;

8 5

;;

8 7

;;

6 8

;;

5 8

et

8

6

.

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Exercice 16: inverse et opposé.

On considère les nombres rationnels suivantes :

192 64

;;

84 18

;;

28 84

;;

21 7

;; -

160 120

;; -

48 16

et

441 210

^.

1. 6LPSOLILHUO·pFULWXUHGHFKDFXQGHVQRPEUHVrationnels ci-dessous.

2. Quels sont ceux qui sont des opposés ? 3. Quels sont ceux qui sont des inverses ? 4. RDQJHUFHVQRPEUHVGDQVO·RUGUHdécroissant.

Exercice 17: Calcul dans Q.

Calculer chacune des expressions suivantes en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles.

A =

¸

¹

¨ ·

© §

¸

¹

¨ ·

© §

¸

¹

¨ ·

© §

2 3 14

7 7

8

;; B =

2

2 5 5 7 1 7

3 ¸

¹

¨ ·

© § u

;;

C =

1 3 4

2

2 1 2

1 1 ¸

¹

¨ ·

© § u

;; D=

8 17 5

7 5 2

4

^{2 3}

¸

¸

¹

·

¨ ¨

©

§

.

Exercice 18: Calcul dans Q.

Sachant que : a = -

2 5

;; b =

2 3

;; c =

2

1

et d =

6 1

.

Calculer puis rendre irréductible le résultat.

X =

b a d c

;; Y= a

u

c + b : d et Z = (b ² a + c)². Exercice 19: Calcul dans Q.

Calculer chacune des expressions suivantes en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles.

A =

3 1 1

3 1 1

;; B =

4 3 5

4 3 2

²

;; C =

3 1 1

1 4 : 2 4 1 2

3 1 1

;; F =

S S 2 4 3

3 1 2

.

Exercice 20: « CALCULS ETAGERS » Calculer puis rendre irréductible.

A=

2 4 5 : 3 7

1 8

1 5 4 1

4 1 7 2 3

1

u u

u

;; B =

11 1 2

9 1 4 : 3 7 2

3

2

²

5

⁹

u

C =

4 3 7 1 8

1 5 4

4 1 7 2 3

1

u u u

;; D =

2 4 5

3 7

1 8

1 5 4 1

4 1 7 2 3

1

u

Exercice 21: Encadrement.

On considère les encadrements suivants : 1,720 < x< 1,721 et 1,5 < y < 1,51.

a. 'RQQHUXQHQFDGUHPHQWG·RUGUHGHx ₊ y. b. 'RQQHUXQHQFDGUHPHQWG·RUGUHGHx ²y puis en déduire sa valeur approchée par défaut.

Exercice 22: Encadrement.

On considère les encadrements suivants : 3,80 < x< 3,81 et 1,5 < y < 1,51.

1. Donner un encadrement de 3 x + 2y à 10 ^²1 puis en déduire sa valeur approchée par excès.

2. Donner un encadrement de 2 x ² 3y à 10 ^²2 prés.

3. Donner un encadrement de

y

x

à 10 ^²1 prés.

Exercice 23: Encadrement.

On considère un rectangle dont les dimensions en cm sont 3 et x _{² 4.}

On suppose que : 10

d

x < 15.

Donner uQHQFDGUHPHQWGHO·DLUH$HQFP² de ce UHFWDQJOHG·DPSOLWXGHODSOXVSHWLWHSRVVLEOH

Exercice 24: Encadrement.

Soient x et y deux nombres rationnels tels que : x =

7934 934

et y =

3794 973

_.

1. Trouver les entiers a et b tels que : a

d

x < a + 1 et b

d

y < b + 1.

2. Donner un encadrement de : x + y.