Université Bordeaux 1 MHT631 - Licence
Mathématiques Année 2009-2010
DM numéro 1
Exercice 1 – Soit α un réel vérifiant 0 < α < √
2−1. On considère la matrice A∈M4,4(R) suivante :
A=
1 α α2 α3 α 1 α α2 α2 α 1 α α3 α2 α 1
.
1) Montrer que A∈GL4(R).
2) Montrer que ρ(A)6(1 +α)2.
Exercice 2 – Soit K =R ou C et soit n un entier > 2. On définit sur Mn,n(K) l’application N de la façon suivante : si A = (ai,j)16i,j6n ∈Mn,n(K), alors
N(A) = max
i,j |ai,j|.
1) Montrer que N est une norme deMn,n(K).
2) Est-ce une norme matricielle ? 3) Est-ce une norme induite ?
4) Montrer qu’il existe α >0 tel que pour toutA et tout B deMn,n(K) on ait N(AB)6αN(A)N(B).
Quelle est la plus petite valeur de α possible ? Justifier.
5) Existe-t-il β >0 tel que pour toutA et tout B deMn,n(K) on ait N(AB)>βN(A)N(B) ?
Exercice 3 – Soit (a, b)∈C×Cet considérons la matrice A=
a b b b a b b b a
.
1) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que la suite (An)n>0 converge. Quelle est alors sa limite ?
2) Calculer expA.
Indication : on pourra chercher à écrire A sous la forme λId3+B où B est une matrice “pratique”.
Exercice 4 – Soit
A=
1 2 −2 3
1 1 1 2
2 3 −1 1
−3 −4 5 −4
.
1)Trouver une décompositionLU deAou à défaut une décompositionP A=LU. 2) En déduire detA et A−1.
