Université Bordeaux 1

Université Bordeaux 1 MHT631 – Licence

Mathématiques Année 2010–2011

FEUILLE D’EXERCICES n^o 11

Cholesky, moindres carrés

Exercice 1 – Soient A et B deux matrices de M_n,n(R) symétriques définies positives.

1) On définit C ∈ M_n,n(R) par c_i,j = a_i,jb_i,j. En utilisant les décompositions de Cholesky de A etB, montrer que C est symétrique définie positive.

2) On définit E ∈ M_n,n(R) par e_i,j = exp(a_i,j). Montrer que E est symétrique définie positive.

Exercice 2 – (voir TD 10, exercice 6) Soient A, B ∈S_n(R) positives.

1) Montrer que A+B est également symétrique positive.

2)En s’inspirant de l’exercice 6 (TD 10) montrer que siAest définie positive, on a

(detA)^1/n+ (detB)^1/n 6(det(A+B))^1/n.

3) Montrer qu’en fait c’est encore vrai sans cette dernière hypothèse faite sur A.

4) Généraliser ce résultat et celui de l’exercice 6 (TD 10).

Exercice 3 – Soit A∈M_n,n(R) symétrique positive.

1) Montrer que

TrA>n(detA)^1/n.

2) Montrer que le résultat est encore valable pour le produit de deux matrices symétriques positives A etB :

TrAB>n(detAB)^1/n.

Indication : on pourra d’abord supposer Adéfinie positive et utiliser une décom- position de Cholesky de A.

Exercice 4 – En utilisant la décomposition de Cholesky, retrouver le fait (établi en TD) qu’une matrice symétrique définie positive admet une décompositionLU.

Exercice 5 – Soit Soit n>2 un entier. On considère la matrice

Sn =























1 1 0 · · · 0 0

1 2 1 . .. 0 0 1 2 . .. ... ...

... . .. ... ... ... 0

0 . .. ... 2 1

0 0 · · · 0 1 2























∈Mn,n(R).

1) Démontrer que S_n est symétrique définie positive.

2) Déterminer la décomposition de Cholesky de S_n. 3) Déterminer la décomposition LU de S_n.

Exercice 6 – Soit n>2 un entier. On considère la matrice

S_n =

















1 1 1 · · · 1 1 1 2 1 · · · 1 1 1 1 2 · · · 1 1 ... ... ... . .. ... ...

1 1 1 · · · 2 1 1 1 1 · · · 1 2

















∈M_n,n(R).

1) Démontrer que S_n est symétrique définie positive.

2) Déterminer la décomposition de Cholesky de S_n. 3) En déduire l’inverse de S_n.

4) On considère le système (S) : AX = B, où X ∈ R³ et où A ∈ M4,3(R) et B ∈R⁴ sont définis par

A=









1 2 2 1 2 0

−1 0 −2

−1 0 0









et B =









−1 3 0 1







 .

Montrer que A est de rang 3 et que (S) n’a pas de solution.

5) On note k k la norme euclidienne de R³. À l’aide des questions précédentes, déterminer X₀ ∈R³ vérifiant

kAX₀−Bk= inf

X∈R³

kAX −Bk.