1t etv(t) =t (plus une constante que l’on peut choisir nulle), et on obtient R ln(t)dt=tln(t)−t+c,c∈R

Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion

Math´ematiques Tronc commun, semestre 3

10. ´Equations diff´erentielles

Rappel : int´egration par parties. Siu etv sont des fonctions de classeC¹, alors Z

u(t)v⁰(t)dt=u(t)v(t)− Z

u⁰(t)v(t)dt+c, c∈R.

Exemple : calcul de la primitive de ln(t). On poseu(t) = ln(t) et v⁰(t) = 1, d’o`u u⁰(t) = ¹_t etv(t) =t (plus une constante que l’on peut choisir nulle), et on obtient R

ln(t)dt=tln(t)−t+c,c∈R.

Exercice 1 — Calculer les primitives des fonctions suivantes.

f1(t) =e^{cos 2t}sin 2t f2(t) =t²e^t3 f3(t) = 1

15(cos(7t+ 3))⁸sin(7t+ 3) f₄(t) =te^t f₅(t) =t²e^t

f6(t) =t^αln(t) α6=−1

f7(t) = ln(t) t

Indication : proc´eder par int´egration par parties pour f4, f5, f6.

Exercice 2 — R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes (on pr´ecisera sur quel intervalle), puis trouver la solution telle quey(1) = 1.

y⁰(t) =ay(t) +bt+c (a, b, c)∈R³ y⁰(t) =ay(t) +be^ct (a, b, c)∈R³

y⁰(t) =y(t)−t² ty⁰(t) + (1−t)y(t) =e^2t

Exercice 3 — On s’int´eresse `a l’´equation diff´erentielle

(1) y⁰(t) =ay(t) +b(t)

o`u aest une constante et b(t) une fonction d´efinie sur un intervalle I.

(1) R´esoudre l’´equation sans second membre associ´ee `a (1).

(2) Soity0(t) une solution de (1). Quel est l’ensemble des solutions de (1) ?

(3) Si y(t) est une autre solution de (1), ´etudier le comportement asymptotique quand t → +∞

dey(t)−y0(t).

Exercice 4 — Soitα >0 et β >0. R´esoudre, surI =]0,+∞[, l’´equation (enF(t)) F⁰(t)

1−F(t) =αβt^β−1 avec la condition

t→0limF(t) = 0.

1

* Exercice5 — Dans un mod`ele ´economique, on suppose que la consommation, le revenu, la demande globale et l’investissement autonome sont des fonctions continˆument d´erivablesC(t),Y(t),D(t) etA(t) du temps t. On suppose que ces fonctions satisfont les relations suivantes :







D(t) = C(t) +A(t) C(t) = cY(t)

Y⁰(t) = λ(D(t)−Y(t)),

o`u cla propension marginale `a consommer (c∈]0,1[) et λla vitesse de r´eaction (λ >0).

(1) Trouver une ´equation diff´erentielle satisfaite parY(t) ne faisant intervenir quec,λet l’investissement autonomeA(t).

(2) On suppose que A(t) =A(investissement autonome constant).

(a) Trouver une solution particuli`ereY1 constante.

(b) R´esoudre l’´equation sans second membre associ´ee.

(c) En d´eduireY(t) en fonction deY0=Y(0), du temps tet des donn´ees du probl`eme.

(d) Quel est le comportement asymptotique deY(t) quandt→+∞ ? (3) On suppose maintenant queA(t) =A0e^gt avec A0 >0 et g >0.

(a) Trouver une solution particuli`ere de la formeY1(t) =Ke^gt. (b) R´esoudre l’´equation sans second membre associ´ee.

(c) En d´eduireY(t) en fonction deY0=Y(0), du temps tet des donn´ees du probl`eme.

(d) Que peut-on dire de Y(t)−Y₁(t) quandt→+∞ ?

* Exercice6 — On appelle ´equation diff´erentielle du premier ordre `a variables s´eparables une ´equation diff´erentielle de la forme

(2) y⁰(t) =g(y(t))h(t)

o`u g eth sont deux fonctions donn´ees.

(1) Soit Φ une primitive de ¹_g et H une primitive de h. Montrer que y est solution de (2) si et seulement si Φ(y(t)) =H(t) +c pour une constante c∈R.

(2) Application : r´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes.

y⁰ =t²y y⁰=y² y⁰ = y³

t³ y⁰ = t³ y³

(3) Soita >0 etb >0. On appelle ´equation logistique l’´equation diff´erentielle

(3) y⁰=y(a−by).

(a) Trouver deux r´eelsα etβ tels que 1

x(a−bx) = α

x + β

a−bx.

(b) En utilisant la m´ethode de s´eparation des variables, r´esoudre (3).

(c) ´Etudier le comportement asymptotique des solutions quandt→+∞.