Exercices sur les polynômes + Correction

(1)

Classe de première S

http://www.taye.fr/ 1

Exercices sur les polynômes Exercice 1

1) Soit le polynômeP x( )=x⁴−5x³+6x²−5x+1. a) On pose, pour tout x≠0,

x x

X 1

+

= . Calculer X en fonction de ² x. b) En remarquant que pourx≠0, ² ² 5 1₂

( ) 5 6

P x x x x

x x

 

=  − + − + 

 ,

Exprimez : ² 5 1₂

5 6

x x

− + − + en fonction de X 2) Montrez alors que lorsque x≠0,

( ) 0

P x = est équivaut à x x

X = +1 et Q(X) = 0, où Q est un polynôme de degré 2 a préciser.

3) Déterminer les racines du polynôme Q et Déduisez-en celles de P.

Correction

4 3 2

2

2 2

2

4 3 2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

( ) 5 6 5 1

1)a) On pose 1, 0

1 1

2

5 1 1 5

b) ( ) 5 6 5 1 5 6 5 6

1 1

( ) 5 6

D'après a) on a 1

P x x x x x

X x x

x

X x x

x x

P x x x x x x x x x x x

x x x x

P x x x x

x x

x X

x

= − + − +

= + ≠

 

= +  = + +

 

   

= − + − + =  − + − + =  + − − + 

    

=  + −  + + 

   

 

+ =

( ) ( )

2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 donc ( ) s'écrit en fonction de :

1 1

( ) 5 6 2 5 6 5 4

2) Pour 0, on a ( ) ( ) avec ( ) 5 4 et 1.

Donc ( ) 0 ( ) 0 et 1 0 et

P x X

P x x x x x X X x X X

x x

x P x x Q X Q X X X X x

x

P x x Q X X x x

x

−

      

=  + −  + + =  − − + = − +

≠ = = − + = +

= ⇔ × = = + ⇔ ≠

2

( ) 0

3) ( ) 0 5 4 0 1 4.

1 1 1

On en déduit les solutions de ( ) : 1 4.

1 1 1

1 1 0 0 1 0 cette équation n'a pas de solution puisque: 0.

de même 1 4 4 1

Q X

Q X X X X ou X

P x X x x ou x

x x x

x x

x x x x

x x x

x

=

= ⇔ − + = ⇔ = =

= + ⇔ + = + =

+ = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ − + = ∆ <

+ = ⇔ − + 0 2 3 2 3.

Finalement les arcines de ( ) sont: 2 3 2 3.

x ou x

P x x ou x

= ⇔ = − = +

= − = +

(2)

Exercice 2

Le demi cercle C a pour diamètre [AB] , AB = 6 cm .

On considère un point M du segment [AB] (avec M≠A et M≠B) .On pose x=AM .

1) Exprimer l’aire ( )a x du domaine compris entre les trois demi disques en fonction de x .

2) Résoudre les équations et inéquations suivantes ( S désigne l’aire du demi disque de diamètre [AB]).

a) ( ) . 2

b) ( ) .

6 3

c) ( ) . 4 a x S

S S

a x a x S

=

≤ ≤

≤

Correction

1 1

2

1) Soit l'aire du demi disque de diamètre [ ] 6

l'aire du demi disque de diamètre [ ] , le rayon de ce disque est r puis que 2

l'aire du demi disque de diamètre [ ], ce disque a pour r

S AB

a AM x AM x

a BM

=

= =

( )

2

2 2

2

2 2 2 2

1

1 1

2 2 2

2 2

ayon: r 6 , car 6 . 2

3 9

L'aire d'un disque de rayon R est donc avec 3 donc .

2 2 2

r . .

2 2 2 8 8

r 6 36 12

donc 36 12 .

2 2 2 2 4 8

L'ai

x BM x

a R S R R S

x x x

a a

x x x

a a x x

π π π

π

π π π π

= − = −

= = = = =

= =    = =

 

− − +

 

= =   = = − +

 

( ) ( )

1 2

2

2 2

re entre les trois demi disques est: ( )

Soit ( ) 9 36 12 après simplification on obtient: ( ) 6

2 8 8 4

a x S a a

a x π πx π x x a x π x x

= − −

= − − − + = − +

(3)

( )

( ) ( )

2

2 2

2 2 2

2 2

9 6 9

2)a) ( ) 6 6 9 0.

2 4 4 4 4

6 9 0 6 9 0 3 0 3 .

Pour que ( ) il suffit de prendre le milieu de [ ].

2

9 9 9 1 9

b) ( ) 6 6

6 3 12 4 6 12 4 6

Ap

S x x

a x x x x x

x x x x x x

a x S M AB

S S

a x x x x x

π π

π π π

= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + − =

− + − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =

=

≤ ≤ ⇔ ≤ − + ≤ ⇔ ≤ − + ≤

2

2 2

2

2 2

rès simplification on obtient: 3 6 6.

6 3

3 6 6 résoudre cette double inéquation, revient à résoudre le système:

6 6

6 3 6 3 0 (1)

6 6 6 6 0 (2)

si on

x x

x x x x

≤ − + ≤

− + ≥

≤ − + ≤ 

− + ≤



− + ≥ − + − ≥

 

⇔

 

− + ≤ − + − ≤

 

 

1 2

2

1 2

note l'ensemble des solutions de l'inéquation (1) et l'ensemble des solutions de l'inéquation (2) Le système a pour ensemble de solution .

6 3 0: 24 on a deux racines: 3 6 et 3 6 Un

S S

x x x x

∩

− + − ≥ ∆ = = − = +

2

1

polynôme du second degré est du signe de à l'exterieur des racines et du signe contraire entre les racines.

Donc 6 3 est positif sur l'intervalle 3 6;3 6 . donc 3 6;3 6 On peut utili

a

x x   S  

− + −  − +  = − + 

2

1 2

2

ser aussi un tableau de signe.

6 6 0 : 12 on a deux racines: 3 3 et 3 3 . le polynôme 6 6 est négatif sur: 0;3 3 3 3; 6 Le même raisonnement donne: 0;3 3 3 3; 6 Finalement

x x x x

x x

S

− + − ≤ ∆ = = − = +

   

− + −  − ∪ + 

   

= − ∪ + 

( )

1 2

2 2 2

2 2

1

l'ensemble des solutions su système est

soit 3 6;3 3 3 3;3 6

9 9

c) ( ) 6 6 2 12 9 0 .

4 4 8 2

2 12 9 0 : 72 6 2 ,

4 3 2 on a deux racines, après simplification:

2

S S S

S

a x S x x x x x x

x x

x

π π

= ∩

   

= − − ∪ + + 

≤ ⇔ − + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ − + − ≤

− + − ≤ ∆ = =

= − ₂

1

2

4 3 2

et .

2 4 3 2

0 donc elle ne convient pas car est une distance.

2

4 3 2 le polynôme 2 12 9 est donc négatif sur : ; 6 .

2 x

x x

= +

= − <

 + 

− + −  

 