3 Régularité de la transformée

T RANSFORMATION DE F ^OURIER

1 Cas des fonctions L

1.1 Une dimension

D^ÉFINITION 1.1 : Transformée de F^OURIER dans R

Soit f ∈L¹(R) alorstransformée de FOURIER (T.F.), notée fbouFf, est une fonction de Rdans C définie par :

fb(ξ) = 1 p2π

Z

R

f(x)e^−ixξ dx

P^ROPRIÉTÉ 1.1 :

Voici quelques propriétés immédiates :

➊ f ∈L¹(R)⇒x7−→f(x)e^−ixξ ∈L¹(R)

➋ On ramarque quefbest bornée :

bf(ξ)¶ 1

p2πkfk_L¹_(R)

1.2 N dimensions

D^ÉFINITION 1.2 : Transformée de F^OURIER dans R^N

Soitf ∈L¹(R^N)alorstransformée deFOURIER(T.F.), notée fbouFf, est une fonction deR^N dansC^N définie par :

∀ξ ∈R^N, fb(ξ) = 1 (2π)^N/2

Z

R^N

f(x)e^−ix·ξdx oùx·ξ =P_N−1

i=0 x_iξ_i. P^ROPRIÉTÉ 1.2 : Là aussi :

bf(ξ)¶ 1

p2π^Nkfk_L¹_(R^N₎

Remarque :

➊ Il existe d’autres définitions, par exemple : fb(ξ) =

Z

R

f(x)e^−2iπxξ dx

➋ On définit de la même manière la T.F.conjuguée:

∀f ∈L¹(R^N),Ff = 1 (2π)^N/2

Z

R^N

f(x)e^−ix·ξdx

➌ Si f est à variables séparables :

f(x) = YN

i=1

f_i(x_i)

Alors :

fb(ξ) = YN

i=1

bf_i(ξ)

2 Le théorème de R

-L

THÉORÈME2.1 : RIEMANN-LEBESGUE

Soitf ∈L¹(Rⁿ). Alors fbest une fonctioncontinueet quitend vers0 à l’infini.

f(x) f(x)cos(xξ)

FIG. 1 – Représentation d’une fonctionf, dex7−→f(x)cos(xξ)et de la partie réelle de la fonction de fourier àξ fixe

⋆Exemple : On calcule la transformée de FOURIERde f : x7−→χ_[−a,a](x)pouradonné.

fb(ξ) = È2

π

sin(aξ) ξ – fbestC^∞alors que f n’est pas continue.

– fbn’est pas intégrable.

⋆

2

3 Régularité de la transformée

3.1 Définitions

DÉFINITION 3.3 : Décroissance rapide

On dira que f est àdécroissance rapidesi, et seulement si :

∀α∈R^N, x^αf −−−→

|x|→∞ 0

3.2 Une dimension

THÉORÈME 3.2 :

Soitf ∈L¹(R). Si, pour toutx∈R,x7−→x f ∈L¹(R)alors fb∈ C¹(R)et : dfb

dξ(ξ) =(Ù−ix)f(ξ) De même, sixⁿf ∈L¹(R)alors fb∈ Cⁿ(R)et :

dⁿfb

dξⁿ(ξ) =(Û−ix)ⁿf(ξ)

3.3 n dimensions

THÉORÈME 3.3 :

Soit f ∈ L¹(Rⁿ). Si, pour tout x ∈Rⁿ et pour tout α∈ Rⁿ, |α| ¶ n, x 7−→ x^αf ∈ L¹(Rⁿ) alors fb∈ Cⁿ(R):

∂^αfb=(Û−ix)^αf oùx^α=Q_n

i=1x_i^αi.

4 Régularité de la fonction initiale

THÉORÈME4.4 : Dimension 1

Soitf une fonction telle que ses dérivées jusqu’à l’ordrensontL¹(R)alors : (iξ)ⁿfb=df⁽ⁿ⁾

THÉORÈME 4.5 : DimensionN Soitf une fonction telle que ànfixé

∀α∈R^N,|α|¶n,∂^αf ∈L¹(R^N) alors :

(iξ)^αfb=∂Ô^αf

4.1 Translation

P^ROPRIÉTÉ 4.3 : Translation On définit :

τ_af(x) =f(x−a) Soitf ∈L¹(Rⁿ)eta∈Rⁿ. Alors :

F(τ_af) =e^−iaξFf et :

F(e^iaxf) =τ_aFf

4.2 Fonction f_λ

P^ROPRIÉTÉ 4.4 :

Soitf ∈L¹(Rⁿ), on définie f_λ(x) = f(λx). Alors :

∀λ∈R^∗, bf_λ(x) = 1

|λ|ⁿfb

‚ξ λ

Œ

5 Exemples

➊ Soit f(x) = e^−x2/2 alors fb(ξ) = e^−ξ2/2. Grâce aux propriétés ci-dessus on obtient pour τ_af_λ(x) = E^{−λ2(x−a)2/2}(λ∈R⁺) :

τÔ_af_λ(ξ) = 1

λe^{−ξ2/2λ2−iaξ}

4

6 Convolution

Rappel : si f ∈L¹(R)et g∈L¹(R)alors f ∗g∈L¹(R).

En application du théorème de FUBINI, on obtient :

T^HÉORÈME6.6 : Convolution Soitf ∈L¹(R)et g∈L¹(R)alors :

Õf ∗g=p 2πfbbg De même en dimensionN :

Õf ∗g=p

2π^Nfbbg

7 Transformée de F

des distributions

7.1 L’espace de S^CHWARZ S(R^N)et l’espace des distributions tempéréesS^′(R^N) On a cherché à définir un espace de fonction testS (R^N)tel que :

D(R^N)⊂ S(R^N) (⇒ S^′(R^N)⊂ D^′(R^N)) F(S(R^N))⊂ S(R^N) (⇒ F(D(R^N))⊂ S(R^N))

DÉFINITION 7.4 : L’espace de SCHWARZ L’espace de SCHWARZest défini :

S (R^N) =

ϕ, ϕ∈ C^∞(R^N)et∀(α,β)∈(R^N)², x^α∂^βϕ−−−→

|x|→∞ 0

PROPRIÉTÉ 7.5 :

➊ L’espaceS (Rⁿ)estcomplet.

➋ L’espaceD(Rⁿ)estdensedansS(Rⁿ).

P^ROPRIÉTÉ 7.6 : Soitϕ∈ S(R^N).

➊ ∀α∈R^N, ∂^αϕ∈ S(R^N)

➋ Pour toute fonction polynômialeqsurR^N,qϕ∈ S(R^N)

➌ ϕb∈ S(R^N)

➍ La T.F. estcontinuedeS (R^N)dansS(R^N).

DÉFINITION 7.5 : Distributions tempérées

L’espaceS^′(R^N)des distributions tempérées est le dual deS (R^N). Autrement dit, une forme linéaire T surS(R^N)est une distribution tempérées si, et seulement si :

∃C >0,∃n₀∈N,∀ϕ∈ S(R^N),|〈T,ϕ〉|¶C sup

|α|¶n₀

|β|¶n₀

sup

x∈R^N

x^α∂^βϕ(x)

En pratique, on prendT ∈ S^′(R^N)et on veut savoir si c’est une distribution tempérée. Alors on montre que la continuité est vrai pour toutϕ∈ D(R^N)etpar densité,T se prolonge àS(R^N).

P^ROPRIÉTÉ 7.7 : SoitT ∈ S^′(R^N).

➊ ∀α∈R^N, ∂^αT ∈ S ^′(R^N),∀ϕ∈ S(R^N), 〈∂^αT,ϕ〉= (−1)^|α|〈T,∂^αϕ〉

➋ Pour toute fonction polynômialeq,qT ∈ S^′(R^N)

Remarque :

D(Rⁿ)⊂ S(Rⁿ) et S^′(Rⁿ)⊂ D^′(Rⁿ)

Attention :Le produit d’une distribution tempérée et d’une fonctionC^∞n’est pasforcément une distribution tempérée !

6

PROPRIÉTÉ 7.8 : Fonctions L¹_loc

Les fonctionsL¹_locne sont pas nécessairement des distribution tempérées. Cependant les fonctions f ∈ L¹_locvérifiant :

∀m∈N, p.p.x,|f(x)|¶C(1+|x|^m) appelées fonctionsà croissance lentesont des distributions tempérées.

Preuve 1 : On se limite à al dimension 1. . . Soit f ∈L¹_{l oc}, etϕ∈ S

On a :

I =|〈f,ϕ〉|= Z

Rf(x)ϕ(x)dx D’où :

I ¶C Z

R(1+|x|^m)ϕ(x)dx En multipliant par ¹⁺₁₊^|x|2

|x|², on obtient que : I ¶C

Z

R

1

1+|x|²dx sup

R (1+|x|²)(1+|x|^m)|ϕ(x)|

7.2 La transformée de^FOURIER des distributions tempérées

DÉFINITION 7.6 :

SoitT ∈ S^′(Rⁿ), on définitTb∈ S^′(Rⁿ)par :

∀ϕ∈ S(Rⁿ), DTb,ϕE

=〈T,ϕb〉

PROPRIÉTÉ 7.9 : SoitT ∈ S^′(Rⁿ), on a :

➊

F(∂^αT) = (iξ)^αF(T)

➋

∂^αF(T) =F((−ix)^αT)

T^HÉORÈME 7.7 : Formule de réciprocité SoitT ∈ S^′(Rⁿ), alors :

F(FT) =T

La transformation de FOURIERréalise donc une bijection deS^′(Rⁿ)dans lui-même car elle réalise une bijection deS dans lui-même dont l’inverse de la transformation conjuguéeF est définie par :

∀ϕ∈ S (Rⁿ), F(ϕ)(ξ) = 1 (2π)^n/2

Z

Rⁿ

ϕ(x)e^ix·ξdx=F(ϕ)(−ξ)

7.3 Convolution des transformées de F^OURIER des distributions tempérées

T^HÉORÈME7.8 : Convolution

Soit une distribution tempéréesT etU ∈ S^′(Rⁿ)à support compact. Alors : F(T ∗U) = (2π)^n/2F(T)F(U)

7.4 Résultats

➊ F(1) = (2π)^n/2δ

➋ F(δ) =δb= 1 (2π)^n/2

➌ F(∂^αδ) = (ix)^α (2π)^n/2

8

➍ SoitT ∈ S^′(Rⁿ)eta∈Rⁿ. Alors :

F(τ_aT) =e^−ia·ξFT et

F(e^ia·xT) =τ_aFT où l’on rappelle que

〈τ_aT,ϕ〉=

T,τ_−aϕ

➎ F(Y) = 1 p2π

πδ−i·vp 1

ξ

8 Équation de L

On recherche ici la solution appelée fonction de GREENG:

∆G=δ

9 Formules de G

SoitΩun ensemble régulierΩ∈Rⁿ, on noteΓ =∂Ωetnla normale unitaire extérieur àΓ.

Siu∈ C²(Ω)etv∈ C¹(Ω). Alors : Z

Ω

(∆u)v=− Z

Ω

∇u· ∇v+ Z

∂Ω

∂u

∂nv

où∂u

∂n =∇u·n.