Centre Universitaire d´Ain Temouchent Domaine: SM
Physique 3 3
ersemestre - 2013-2014
Fiche TD 2: Formalisme de Lagrange
Chargé du module: Demmouche & Bensaid 29.10.2013
Devoir 2: Question de cours:
Citer les étapes à suivre pour résoudre un problème à l´aide du formalisme de Lagrange (systèmes holonômes).
Exercice 2.1: Masse sur un repère mobile en rotation
Une massemse déplace sur une droite. Cette dernière fait un mouvement de rotation de vitesse angulaire constanteω (Fig.1). àt= 0 la particule se trouve à la distancer0 de0 avec une vitesse nulle.
1. Donner les relations de liaisons de ce système. Indiquer leurs types. En déduire le nombre de degrés de liberté.
2. Choisir les coordonnées généralisées pour ce systéme et donner les formules de transformations avec les coordonnéés cartésiénnes.
3. Calculer l´énergie cinétiqueT et potentielle V en déduireL.
4. Etablir les équations de Lagrange. Donner l´équation différentielle du mouvement et donner sa solution.
5. Reécrire cette solution avec le système de coordonnées cartésiènne.
x y
ωt
m r
Fig.1
Exercice 2.2: Haltère en oscillation
L´haltère est constitué de deux masses m1et m2 reliées par une tige de masse négligeable et de longeur l (Fig.2). La massem1peut se déplacer sur une droite horizontale alors que la massem2fait un angleϕ avec la verticale. On veut étudier le mouvement dem1etm2où seule la force gravitationellemg agit. A t= 0les deux masses se trouvaient sur la même verticale sans vitesses initiales.
1. Donner les relations de liaisons de ce système. Indiquer leurs types. En déduire que le nombre de degrés de liberté est 2.
2. Quelles sont les deux coordonnées généraliséesq1et q2 adaptées à ce problème ?
3. Ecrire les formules de transformations entre les coordonnées cartésiènnes et les coordonnées général- isées.
4. Calculer l´énergie cinétiqueT et potentielle V en déduireL.
On introduit la notion de l´impulsion généraliséé définie par pi= ∂L
∂q˙i
. Ainsi on dit que la coordonnéeqiest cyclique si on a
qicyclique ⇐⇒ ∂L
∂qi
= 0 ⇐⇒ pi=const, où on a remplacé dans l´équation de Lagrange.
1. Le problème possède une coordonnée cyclique. La quelle ? On la noteq1. 2. Déterminer la relation deq˙1 en fonction de q2,q˙2 ett. En déduireq1(t).
3. Remplacer par les coordonnées cartésiènnes(xi, yi, zi)et donner la trajectoire de la massem2. 4. Quelle est la limite dem1 pour retouver le résultat du pendule simple ?
5. Ecrire l´équation générale de Lagrange pourq2.
6. Trouver la solutionq2(t)dans le cas des petites oscillationsq2<<.
x
y ϕ m1
m2
l
Fig.2
2
