Partie A : électromagnétisme et relativité
1.1
Un référentiel est qualifié de Galiléen lorsqu’un point matériel isolé, qui n’est donc soumis à aucune force extérieure, est soit au repos, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme.
1.2.1
Puisque la divergence du champ magnétique est toujours nulle, cela signifie qu’il s’agit d’un champ de rotationnels. En d’autres termes, il est toujours possible de trouver un vecteur A
r
tel que : A B
r r
r =∇Λ (1)
A r
est appelé le potentiel vecteur de B r
.
En injectant l’expression du potentiel vecteur (I) dans l’équation de MAXWELL- FARADAY, on obtient :
( )
0t E A t
E A t A
E =
∂ +∂ Λ
∇
∂ = Λ∂
∇ + Λ
∇
= Λ
∂ ∇ + ∂ Λ
∇
r r r r
r r r r r r
r
(2)
Le rotationnel du dernier membre étant toujours nul, ce dernier appartient donc à un champ de gradient : on peut toujours trouver une fonction scalaire V telle que :
V t .
Er + ∂∂Ar = −∇r
(3)
La fonction V est appelée potentiel scalaire.
De la relation (III), on déduit l’expression du champ électrique en fonction des potentiels vecteur et scalaire :
t V A . E = −∇ − ∂∂
r r r
(4)
1.2.2
En injectant la définition (IV) dans l’équation de MAXWELL-GAUSS, on obtient la première relation :
t 0
. A
. ε
= ρ
∂
−∂ ϕ
∇
−
∇ r r r
(5)
soit encore :
( )
02 .A
V t
. + ∂∂ ∇ = −ερ
∇r r r
(6)
En injectant (I) et (IV) dans l’équation de MAXWELL-AMPERE, on obtient la deuxième relation :
( )
∇Λ = µ + ε µ ∂∂ −∇ − ∂∂ Λ
∇ t
V A t .
. . J
A 0 0 0
r r r
r r r
(7)
On peut développer le double produit vectoriel :
( )
∇ = µ +ε µ ∂∂ −∇ − ∂∂ ∇ +
∇
− t
V A t .
. . J A
. . A
. 0 0 0
2
r r r
r r r r r
(8)
Ce qui conduit à l’expression suivante :
(
.A . Vt)
.Jt . . A . A
. 2 0 0 0
2 0 0
2 r r r r r r
r −∇ ∇ + ε µ ∂∂ = −µ
∂∂ µ ε
−
∇ (9)
1.2.3
En introduisant la jauge de LORENTZ : t 0
. V c A 1
. + 2 ∂∂ =
∇r r
dans les relations (VI) et (IX), on obtient :
J t .
. A . A
. 2 0
2 0
2 r 0 r r
r =−µ
∂∂ µ ε
−
∇ (10)
0 2
2 0 0 2
t . V . V
. = −ερ
∂∂ µ ε
−
∇r
(11)
2.1.1
(
E v B)
q F
r r r
r = + Λ (12)
2.1.2
ve
v '
vr r r
−
= (13)
2.1.3
Dans le référentiel R’, la force de LORENTZ s’écrit :
(
E' v' B')
q(
E'(
v v)
B')
q '
F e
r r r r
r r r
r = + Λ = + − Λ (14)
Dans la cadre de la mécanique classique, les forces F et F’ sont égales. On en déduit :
( )
(
E' v v B') (
qE v B)
q e
r r r r r
r r
Λ +
= Λ
−
+ (15)
Soit encore :
(
Er'−vreΛBr')
+ vrΛBr'= Er + vrΛBr (16)Soit pour conclure : ' B v ' E
E e
r r r
r = − Λ et Br = Br' (17)
2.2.1
Transformation de GALILEE :
x’ = x – ve t y’ = y z’ = z t’ = t (18)
2.2.2
α ) B' .B' 0
' ' z 'B ' y 'B B x
B z B y
B x
. = ∂∂ x + ∂∂ y + ∂∂ z = ∂∂ x+∂∂ y+∂∂ z= ∇ =
∇r r r r
(19)
β ) E 0
E z E y
E x
. = ∂∂ x + ∂∂ y + ∂∂ z =
∇r r
−
=
Λ
= Λ
y e
z e z
y x e e
B v
B v
0
B B B
0 0 v B v r r
y e z z
z e y y
x x
B v ' E E
B v ' E E
' E E
−
= +
=
=
(
E' vB)
z'(
E' vB)
.E' v By' Bz' 0' ' y 'E E x
. x y e z z e y e z y =
∂
− ∂
∂∂ +
∇
=
∂∂ − +
∂∂ +
∂∂ +
=
∇r r r r
(20)
L’équation de MAXWELL-GAUSS n’est pas invariante sous la transformation de GALILEE.
γ ) Les lois de la physique doivent être invariantes par changement de référentiel.
Puisque l’équation de MAXWELL-GAUSS n’est pas invariante sous la transformation de GALILEE, c’est soit que cette équation est incorrecte, soit que la transformation de GALILEE est incorrecte.
2.3.1
Il s’agit d’un problème à deux dimensions (pas de dépendance en z). En choisissant un repère cylindrique (r, θ, z), on se ramène à un problème à une dimension puisqu’il s’agit d’un problème à symétrie cylindrique (pas de dépendance en θ).
Dans (R’), il s’agit d’un problème d’électrostatique. On en déduit immédiatement : 0
' Br =
(21)
Le champ électrique peut être calculer par application du théorème de GAUSS sur une portion de fil de hauteur h :
x
h
r E
r
’
Des considérations de symétrie amènent à conclure que le champ est radial. Dans ces conditions, son flux à travers les disques supérieur et inférieur du cylindre est nul.
L’application du théorème de GAUSS permet d’écrire :
0 0 s 0
int h ) Q
r ( rhE 2 s d '.
E = π = ε = λε
=
Φ
∑
∫∫
r rd’où on déduit :
r ) 2
r ( ' E
0
πελ0
= (22)
2.3.2
En utilisant le résultat 2.1.3 :
' B v ' E
E e
r r r
r = − Λ et B B'
r r =
on déduit : B = B’ = 0 et
r ' 2
E E
0
πελ0
=
= r r
(23)
2.3.2
Dans le référentiel (R), les charges sont animées d’une vitesse ve, elles sont équivalentes à un courant J = λ0 ve
Le théorème d’ampère s’écrit :
∫
Br.drl = µ0JrB 2πr = µ0 λ0 ve
r 2 ) v r (
B 0 0 e
λπ
= µ (24)
2.3.4
Les valeurs de B obtenues aux questions 2.3.2 et 2.3.3 sont différentes. La valeur obtenue en 2.3.3 est difficilement contestable. On en conclut que le raisonnement qui a conduit à la valeur trouvée en 2.3.2 est incorrect, et on peut suspecter fortement la transformation de GALILEE.
3.1.1
Les lois de la physique sont indépendantes du référentiel dans lequel elles sont formulées : elles doivent donc être invariantes par changement de référentiel.
3.1.2
( )
2 2 e e
c 1 v
ct ' x
x
− β
= − y’ = y z’ = z
( )
2 2 e e
c 1 v
x ' ct
ct
− β
= − (25)
3.1.3
0n déduit des relations de transformations des champs :
) c / ' E ' B ( B
) c / ' E ' B ( B
' B B
) ' B c ' E ( E
) ' B c ' E ( E
' E E
y e z e z
z e y e y
x x
y e z e z
z e y e y
x x
β
− γ
=
β + γ
=
=
β + γ
=
β
− γ
=
=
(26)
α )
( )
' 0 z
' E ' y
' E '
t ' B c
' z
' B ' y ' B ' x
' B
0 '
c E ' ' B ' z
c E ' ' B ' y 'B t c '
x
z 0 B y B x
B B .
z y x
e e y z
x e
y e z e z
e y e x
e e
y z x
=
∂
− ∂
∂∂
∂ +
− ∂ β + γ
∂∂
∂ + + ∂
∂∂ γ
=
=
−β
∂∂ γ +
+β
∂∂ γ
∂ + β ∂
∂∂ − γ
=
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂∂
=
∇r r
(27)
Puisque l’équation de MAXWELL-FARADAY est supposée invariante, cela implique que le second terme de l’expression ci-dessus doit être nul. Or Lorsqu’on regarde ce terme et qu’on le compare avec l’équation de MAXWELL-FARADAY, on constate qu’il y a un problème de signe.
La transformation des champs qui est donnée au début de la question 3 est celle qui relie les champs du référentiel (R’) aux champs du référentiel (R) (Les termes avec un prime devraient être à gauche, et les termes sans prime à droite). La correction s’effectue en changeant le signe de la vitesse relative de (R’) par rapport à (R) :
) c / ' E ' B ( B
) c / ' E ' B ( B
' B B
) ' B c ' E ( E
) ' B c ' E ( E
' E E
y e z e z
z e y e y
x x
y e z e z
z e y e y
x x
β + γ
=
β
− γ
=
=
β
− γ
=
β + γ
=
=
(28)
On obtient alors :
( )
' 0 z
' E ' y ' E '
t ' B c
' z
' B ' y
' B ' x
' B
0 '
c E ' ' B ' z
c E ' ' B ' y 'B t c ' x
z 0 B y
B x
B B .
z y x
e e y z
x e
y e z e z
e y e x
e e
y z x
=
∂ + ∂
∂∂
∂ −
− ∂ β + γ
∂∂
∂ + + ∂
∂∂ γ
=
=
+β
∂∂ γ +
−β
∂∂ γ
∂ + β ∂
∂∂ − γ
=
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂∂
=
∇r r
(29)
L’invariance de l’équation de MAXWELL-FARADAY est supposée invariante, ce qui permet d’écrire :
∂∂
−
∂
− ∂
∂∂
−
=
∂∂
∂ −
∂∂ − ∂∂
∂ ∂
− ∂
∂∂
=
Λ
∂∂
∂∂
∂∂
= Λ
∇
' t
' Bt' ' Bt' ' B
' y
' E ' x
'
E x'
' E ' z
' E
' z
' E ' y ' E
' E
' E
' E
' z
' y ' x ' E
z y x
y x
z x
z y
z y
r x
(30)
La première ligne de (30) annule le second terme de la dernière ligne de (29). Il reste :
' 0 z
' B ' y ' B ' x
' B z
B y
B x
B B
. x y z e x y z =
∂∂
∂ + + ∂
∂∂ γ
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂∂
=
∇r r
(31)
On en déduit que :
' 0 z
' B ' y
' B ' x
' ' B B
. x y z =
∂∂
∂ + + ∂
∂∂
=
∇r r
(32)
et on pourrait penser que l’invariance de cette relation a été montrée de manière rigoureuse : en réalité il n’en est rien, car le terme γe présent dans (31) suffirait à rompre cette invariance. Ce qu’on ne voit pas dans (31), c’est que γe est présent en facteur avec 0 dans le dernier membre (voir question suivante), et que donc on aboutit bien à l’invariance (32).
β )
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
' 0 z
' B ' y
' B '
t ' E c c 1
' z
' E ' y
' E ' x
' E
0 ' B c ' ' E ' z
B c ' ' E ' y 'E t c '
x
z 0 E y E x E E .
z y x
2 e e y z
x e
y e z e z
e y e x
e e
y z x
=
∂
− ∂
∂∂
∂ +
− ∂ β γ
+
∂∂
∂ + + ∂
∂∂ γ
=
= β
−
∂∂ γ + β
+
∂∂ γ
∂ + β ∂
∂∂ − γ
=
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂∂
=
∇r r
(33)
L’équation de MAXWELL-AMPERE est supposée invariante, ce qui permet d’écrire lorsque J =0:
∂∂∂
∂∂
∂
=
∂∂
∂ −
∂∂ − ∂∂
∂ ∂
− ∂
∂∂
=
Λ
∂∂
∂∂
∂∂
= Λ
∇
' t
' Et' ' Et' ' E
c 1
' y ' B ' x
'
B x'
' B ' z
' B
' z
' B ' y ' B
' B
' B
' B
' z
' y
' x ' B
z y x
2 y x
z x
z y
z y
r x
r
(34)
La première ligne de (34) annule le second terme de la dernière ligne de (33). Il reste :
' 0 z
' E ' y ' E ' x
' E z
E y E x E E
. x y z e x y z =
∂∂
∂ + + ∂
∂∂ γ
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂∂
=
∇r r
(31)
On en déduit que :
' 0 z
' E ' y ' E ' x
' ' E E
. x y z =
∂∂
∂ + + ∂
∂∂
=
∇r
(32)
Pour montrer que la simplification par γe conserve l’invariance, reproduisons le raisonnement en présence d’une densité volumique de charges ρ, en notant que cette densité volumique se transforme dans le référentiel (R’) en γeρ’, car la charge est invariante par changement de référentiel, tandis que le volume a été contracté suivant la dimension parallèle au déplacement. On obtient
0 e z y
x e 2
e y z
x e
0 y z
x
' '
z ' B ' y
' B '
t ' E c c 1
' z
' E ' y ' E ' x
' E
z E y E x E E .
ερ γ
=
∂
− ∂
∂∂
∂ +
− ∂ β γ
+
∂∂
∂ + + ∂
∂∂ γ
=
ερ
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂∂
=
∇r r
(33)
et on obtient donc :
0 y z
x '
' z
' E ' y ' E ' x
' ' E E
. = ερ
∂∂
∂ + + ∂
∂∂
=
∇r
(34)
γ )
L’équation de MAXWELL-GAUSS est invariante par changement de référentiel sous la transformation de LORENTZ. Par rapport à la question 2.2.2 γ, nous avons conservé les équations de MAXWELL, et trouvé une relation de changement de coordonnées entre référentiels inertiels qui conserve l’invariance de ces équations.
3.2.1
Réponse identique à la question 2.3.1 : 0
' Br =
(35)
r ) 2
r ( ' E
0
πελ0
= (36)
3.2.2
Le référentiel (R) est en déplacement de translation relatif à la vitesse – ve par rapport à (R’).
Dans (R’), le champ est électrostatique donné par (35).
Dans (R), on obtient les champs suivants après avoir changé de signe par rapport à (28) car le référentiel (R) est en déplacement de translation relatif à la vitesse – ve par rapport à (R’).
) c / ' E ' B ( B
) c / ' E ' B ( B
' B B
) ' B c ' E ( E
) ' B c ' E ( E
' E E
y e z e z
z e y e y
x x
y e z e z
z e y e y
x x
β
− γ
=
β + γ
=
=
β + γ
=
β
− γ
=
=
(37)
Ces transformations sont identiques à celles qui sont données dans le texte soit donc :
( )
+ Λ
γ
=
=
Λ
− γ
=
=
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
' c E ' v B B
' B B
' B v ' E E
' E E
2 e e
//
//
e e
//
//
r r
r r r
r r
r r r
(38)
On en déduit les champs dans le référentiel (R) :
( )
θ θ
⊥
⊥
⊥
⊥
µπ γ λ πελ =
= γ
Λ
γ
=
=
=
πελ γ
= γ
=
=
=
r e 2 e v
r c 2
' v c E B v
0 ' B B
r e ' 2
E E
0 ' E E
e 0 0 e 0
0 2
e e 2
e e
//
//
r 0 0 e e
//
//
r r r
r r r
r r r
r r
(39)
3.2.3
α )
Appliquons le théorème de GAUSS dans (R), avec la valeur du champ électrique obtenue à la question précédente :
0 0
0 e s
int Q r
rh 2 2 ) r ( rhE 2 s d .
E = π = π γ πελ = ε
=
Φ
∑
∫∫
r r (40)On déduit :
∑
Qint = γeλ0h dans le référentiel (R) (41)β )
On a dans le référentiel (R’) où le fil est statique :
) ' R ( l référentie 0h int
∑
Q = λ (42)Cette charge est invariante par changement de référentiel. Elle s’écrit dans le référentiel (R) :
) R ( l référentie 0h int
∑
Q = λ (43)La cinématique relativiste introduit une contraction des longueurs telle que :
hréférentiel(R) = hréférentiel(R’) γe (44)
d’où le résultat (41).
γ )
On peut alors évaluer directement le champ dans le référentiel (R) par le théorème d’AMPERE, suivant la méthode décrite en 2.3.2 :
B 2πr = µ0 λ0 γe ve (45)
r 2 ) v r (
B = µ0λ0πγe e (46)
soit donc exactement l’expression obtenue en (39)
