C OMPOSITIO M ATHEMATICA
A. P FLUGER
Über das Anwachsen von Funktionen, die in einem Winkelraum regulär und vom Exponential-typus sind
Compositio Mathematica, tome 4 (1937), p. 367-372
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Funktionen,
Winkelraum regulär und
vomExponential- typus sind
von
A.
Pfluger
Zug
Ist die Funktion
F(z)
in einem Winkelraum derdffnung
yr
regulâr
und vomExponentialtypus,
so wird nach einem bekannten Resultate derPhragmén-Lindelôfschen
Methode durchAngabe
ihres Wachstumslângs
der Grenzstrahlen dieses Winkel-raumes ihr Anwachsen im Innern desselben
weitgehend
beein-trächtigt;
genauergesprochen:
IstF(z)
in1 arg zl fJ !n
regulâr
undgilt
so ist
für 1 q; [ z fl.
DiesesErgebnis
kann ohne weitereVoraussetzungen
über die Funktion nicht verbessert werden.
Im
folgenden
soll nun untersuchtwerden,
wie noch durchAngabe
ihres Wachstums aufgenügend
dicht verteilten isolierten Stellen an =f!neÍ0153,. in arg z
«p
ihr Anwachsen im ganzenWinkelraum 1 arg zl : fJ
beeinflul3t wird. Hierübergilt folgender
Satz:
SATZ I : Es
erfülle
die FunktionF(z)
diefolgenden
drei Vor-aussetzungen :
(1) F(z)
istregulâr
und vomExponentialtypus in 1 arg z [ z fl in;
für
eine unbeschriinkt wachsendeFolge komplexer
Zahlen an = eneie»,
368
die der
dreifachen Bedingung
genügt.
Dann istIn diesem Satz ist
folgender
einfacheSpezialfall
enthalten:SATZ II :
Erfiillt
die FunktionF(z)
dieVoraussetzungen (1), (2)
und(3)
von Satz I und zwar die letzteref ür
eine solcheFolge komplexer
Zahlen an =r!neir:t.n,
die derdreifachen Bedingung
genügt,
so istDenn für
jedes genügend
kleine oc > 0 erfüllen die im Winkel-raum
1
arg z agelegenen
Zahlen derFolge {an}
dieBedingun-
gen
(3)
und(4).
Etwasallgemeiner
la13t sieh letzteres Resultatauf
folgende
Art formulieren:SATZ III : Die Funktion
F(z) erfülle
dieVoraussetzung (1)
vonSatz I und
infolgedessen
ihr Wachstumsindikatorh(qq) für
einegeeignete positive
Konstante B dieUngleichung
Dann
gilt für jede Folge komplexer
Zahlen an =ee"-,
die den.Bedingungen (6) genügt,
dieGleichung
Zum Beweise wende man den
vorangehenden
Satz aufF1(z)
=F(z)e-h(O)z
an.Ein erstes Resultat in dieser
Richtung
wurde von G.PÓlya 1)
für ganze Funktioncn und eine
Punktfolge
derspeziellen
Artbewiesen. V. Bernstein
2)
hat dieses in zweiRichtungen
1) G. PÔLYA, LUber Lücken und Singularitâten von Potenzreihen [Math. Zeit-
schr. 29 (1929), 549-640], insbes. 606.
2) V. BERNSTEIN, Sulla crescenza delle funzioni olomorfe di tipo esponen- ziale [Rendiconti Acc. d. Lincei 15 (1932), 30-35].
hin
verallgemeinert,
indem er sowohl eineallgemeinere
Punkt-folge
als auch eineallgemeinere
Funktionenklasse betrachtete.Sein Resultat wird aus Satz III
erhalten,
indem dort a = an = 0, also an = engesetzt
wird. Sein Beweis stützt sich auf einentieferliegenden
Satz aus der Theorie der Dirichletschen Reihen3).
Es ist der
Hauptzweck
dervorliegenden Arbeit,
einen Beweis ohneBenützung jener
Theorievorzulegen.
DasHauptgewicht
desBeweises
liegt
in der Konstruktion einergeeigneten
ganzen Funktion vomExponentialtypus,
welcheF(z)
in den Stellenan
interpoliert.
Dieübrigen Gedankengânge
sind aus derPhrag-
mén-Lindelöfschen Methode
geläufig.
BEWEIS VON SATZ I : Setzen wir
fî(z)
=F(z)e-l’, n
> 0, sogenügt
es,folgende Behauptung
zu beweisen: Ausund
folgt für jedes iî
> 0Ferner
genügt
ein Beweisfür P e .
Gelten nàmlich die Vor-aussetzungen
des Satzes und somit(7) für 2
, sogelten
(7)
und(8)
wegen derStetigkeit
des Indikatorsh( cp)
auch nochfür ein
P’ 2
undq’
q an Stellevon fi
und n. Schliel3lich B sindarf ohne
Einschrânkung
derAllgemeinheit
D= . B (n {1
sin -ex) ange-nommen werden.
Um die
Behauptung (9)
zubeweisen, benbtigen wir,
wie es beider
Phragmén-Lindelôfschen
Methodeallgemein
der Fallist,
eine unsern Verhältnissen
angepal3te
Hilfsfunktion. Wir setzenzu diesem Zwecke
Die
nôtigen Eigenschaften
der HilfsfunktionC(X(z)
erhâlt man3) V. BERNSTEIN, Sur les singularités des séries de Dirichlet [Rendiconti R. Ist.
Lomb. Sc. Lett. (2) 63 (1930), 321--413], 406.
370
aus dem bekannten Verhalten von
C (z)
wiefolgt :
Die beiden leichtzu
beweisenden Ungleichungen
und
ergeben
Weiter
folgt
ausVoraussetzung (4)
desSatzes,
daß der Konden-sationsindex der
Folge {en} gleich
nullist,
d.h.und hieraus in
Verbindung
mitMit Hilfe von
Ca;(z)
lâBt sich nun eine ganze Funktionp(z)
konstruieren,
welchef1](z)
an den Stellen aninterpoliert
undderen Anwachsen
dasjenige
vonC,,,(z),
welches genau vomExponentialtypus ist,
nicht wesentlichübersteigt. 6)
Setzen wirnâmlich
so ist
4) G. PÔLYA, loc. cit., 571.
5) V. BERNSTEIN, Leçons sur les progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet [Paris 1933], 289.
6) Âhnliche Funktionen wurden schon ôfters verwendet; vgl. z.B. M. L. CART- WRIGHT, On certain integral functions of order one [Quarterly Journal (Oxford)
7 (1936), 46-55].
und
wo
K,
einegeeignete positive
Konstante bedeutet und°tr - o,
wenn r - oo. Denn wegen
(4), (8)
und(12)
ist die unendliche Reihe auf der rechten Seite von(13)
aul3erhalb der Kreise1 z - an
1 == eg gleichmäßig konvergent
und stellt sie dort eineregulâre
und beschrânkte Funktiondar;
in den Stellen an besitzt sie einfachePole,
die dann durchMultiplikation
mit derHilfsfunktion
Ca(z),
welche in denselben Punkten einfache Null- stellenbesitzt, aufgehoben
werden.q;(z)
ist demnach eine ganze Funktion undgenügt
denGleichungen (14).
Ebensoergibt
sichdie
Ungleichung (15)
zunâchst für alle z auBerhalb der Kreise1
z -an 1 = e
und hierauf(da
letztere sichgegenseitig ausschlieBen )
nach dem
Maximumprinzip
in der ganzen z-Ebene.Die
folgenden Überlegungen
beruhen auf demPhragmén-
Lindelôfschen
Prinzip.
Setzen wir namlichso
folgt
aus dendargelegten Eigenschaften
der FunktionenCa(z)
undlp(z)
sowie denVoraussetzungen
überF(z) bzg.
fr(z),
daB(17) 0 (z) regulâr
und von derOrdnung
1 istin 1
und
Daß 0 (z)
sichregulâr
verhâlt in1 arg zr p
istklar;
dennwegen
(1)
sind sowohl Zâhler und Nenner desQuotienten (16) regulâr in 1 arg z z fl
und die vom Nenner herrührenden Pole werden dort wegen(14)
durch die Nullstellen des Zàhlers auf-gehoben.
Ebenso ist dieOrdnung
des Zâhlers wegen(1)
und(15)
hôchstens
gleich
1, und diese kann durch dieganze Funktion C0153(z)
der
Ordnung
1 im Nenner nicht erhôht werden. Die Beschränkt- heit auf den Strahlenarg z = :E P folgt
aus(7), (11)
und(15)
zunâchst für die
Betrage und
und hieraus für dieFunktion 1 (P(z) 1.
372
Mit Rücksicht auf
(16) ergibt
sich aber aus(19)
in
1 arg zl fJ
und hieraus wegen(10)
für99 = 0
womit die
Behauptung (9)
und damit Satz 1 bewiesen ist.(Eingegangen den 25. November 1936.)