Corrigé
Exercice 1.
On considère la fonction f définie sur [ - 8 ; 4 ] par f(x) = 2x3 + 9x2 – 24x.
1) f est dérivable sur [ - 8 ; 4 ] et f '(x)=6 x2+18 x – 24 .
∆ = 182 – 4 × 6 × ( – 24) x = − 18 – 30
2×6 = – 4 ou x = − 18+30 2×6 = 1 = 324 + 576
= 900
x –8 – 4 1 4
f '(x) + 0 – 0 +
f(x)
–256
112
– 13
176
2) f est strictement croissante et dérivable donc continue sur [ – 8 ; – 4 ]. f(– 8) = – 256 et f(– 4) = 112 donc l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [ – 8 ; – 4 ], d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
f est strictement décroissante et dérivable donc continue sur [ – 4 ; 1 ]. f(– 4) =112 et f( 1) = – 13 donc l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [ – 4 ; 1 ], d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
f est strictement croissante et dérivable donc continue sur [ 1 ; 4 ]. f(1) = –13 et f( 4) = 176 donc l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [ – 8 ; – 4 ], d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
3) Tableau de valeurs, à l'aide de la calculatrice : α ≈ 1,88.
Exercice 2.
On considère la fonction f définie sur par : f(x) =
{
− x+2 si x⩽1x2+3 si x>1 . 1) V. graphique ci-contre.
2) La fonction n'est pas continue sur car elle n'est pas continue en 1.
3) f est continue sur ] – ∞ ; 1] et sur ] 1 ; + ∞ [, par exemple.
Exercice 3.
Le tableau de variation d'une fonction f définie et dérivable sur [ 0 ; 10 ] est donné ci-dessous :
x 0 2 5 10
f(x) –2
3
1
8
1) Pour tout x de ] 0 ; 10 ], f(x) ≥ 0 est faux car f(0) = – 2, par exemple.
2) Pour tout x de [ 2 ; 10 ], f ' (x) ≥ 0 est faux car f est décroissante sur [ 2 ; 5 ].
Exercice 4.
Le bénéfice d'une entreprise en milliers d'euros, en fonction de la quantité x d'objets vendus, en milliers d'unités, est modélisé par B(x) = - 2
3 x3 + 11
2 x2 + 6x – 20 pour x ∈ [0 ; 10].
1) B est dérivable sur [0 ; 10] et B' (x) = - 2
3 (3x2) + 11
2 (2x) + 6 = - 2x2 + 11x + 6.
2) On étudie le signe de B'.
∆ = b2 – 4ac = 169 et √∆ = 13.
x = 6 ou x = - 1
2 , d'où le tableau de variation sur [0 ; 10] :
x 0 6 10
f ' (x) + +
f(x) –20
70
B(10) Avec B(10) ≈ – 76,6.
3) On admet que B(x) = 0 admet deux solutions x1 et x2 dans [0 ; 10], avec x1 < x2.
x1 ≈ 1,548 et x2 ≈ 8,883 à 10 – 3 près.
4) La quantité minimale et la quantité maximale que l'entreprise doit vendre pour que son activité soit rentable sont 1548 et 8883 unités.
