Correction
Exercice 1.
1.a. vn+1=un+1 6=1
3un+4 6=1
3un 2=1
3(un 6)=1
3vn donc la suite (vn) est géométrique de raison q=1
3 et de premier terme v0=u0 6=1 6= 5 .
1.b. Donc pour tout n dans ℕ , on a vn=v0×qn= 5×
(
13)
n. Or vn=un 6 donc un=vn+6et on obtient bien un= 5×
(
13)
n+6 .1.c. 1
3∈] 1 ; 1[ donc lim
n→+ ∞
(
13)
n=0 donc limn→+ ∞ 5×
(
13)
n=0 et donc on en déduit facilement que la suite (un) converge et que limn→+ ∞un=6 .
2.a. Appliquons la formule de récurrence définissant (wn) pour n=10 : 10 w10=11 w9+1 donc 10 w10=11×19+1=210 donc w10=21 .
2.b. On conjecture que la suite (wn) est arithmétique de raison r=2 et de premier terme w0=1 , autrement dit que pour tout n dans ℕ , on a wn=2 n+1 . Démontrons-le par récurrence sur n : notons Pn la proposition « wn=2 n+1 ».
• Initialisation : w0=1 et 2×0+1=1 donc P0 est vraie.
• Hérédité : Soit n un entier quelconque dansℕ. Supposons Pn vraie. On sait que (n+1)wn+1=(n+2)wn+1 . Or par hypothèse de récurrence, on sait que wn=2 n+1 donc (n+1)wn+1=(n+2)(2 n+1)+1=2 n2+5 n+3=(2 n+3)(n+1). Or n+1≠0 donc on en déduit que wn+1=(2 n+3)=2(n+1)+1 et donc Pn+1 est vraie. Ainsi, la proposition Pn est héréditaire.
• Conclusion : par le principe de récurrence, la proposition Pn est vraie pour tout n dans ℕ, à savoir que pour tout n dans ℕ, wn=2 n+1 d'où w2014=4029 .
E
xercice 3.
a) lim
n→+∞
un = lim
n→+∞
n2+3 n 2 n3
5 n2+1 = lim
n→+∞
n3(1 n+3
n2 2) n2(5+1
n2)
= – ∞ donc la suite ( un ) ne converge pas vers
1
5 donc l'affirmation est fausse.
b) lim
n→+∞
un = lim
n→+∞
5 n+4
11n+1 = lim
n→+∞
5 n(1+ 4 5 n) 11n(1+ 1
11 n) = 5
11 donc la suite ( un ) est bornée donc l'affirmation est vraie.
c) Si la suite ( un ) est définie sur par un+1 = 3un + 2 alors la suite ( vn ) définie sur par
vn = un + 1 = 3un-1 + 2 + 1 = 3un-1 + 3 = 3(un-1 + 1) = 3vn-1 est géométrique de raison 3 et divergente (sauf cas très particulier) donc l'affirmation est fausse.
Exercice 4.
On considère la suite ( un ) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1=
√
2un.1) a) Pour n = 3, un =
√
2√
2√
2 ≈ 1,8340.b) L'algorithme permet de calculer le terme un.
c) La suite ( un ) semble être croissante et semble converger vers 2.
2) a) Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < un ≤ 2.
• Initialisation : u0 = 1 et 0 < un ≤ 2.
• Hérédité : Supposons que 0 < un ≤ 2, pour un n fixé.
On veut montrer que 0 < un+1 ≤ 2 :
On sait que 0 < un ≤ 2 d'après l'hypothèse de récurrence donc 0 < 2 un ≤ 4
donc 0 <
√
2 un ≤ 2 car la fonction racine carrée est croissante sur d'où 0 < un+1 ≤ 2.Ainsi, la propriété est héréditaire.
• Conclusion : par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n dans ℕ.
b) un+1 – un =
√
2 un – un = 2 un un2√
2 un+un = un2 un
√
2 un+un ≥ 0 car 0 < un ≤ 2 donc ( un ) est croissante.c) ( un ) est convergente car elle est croissante et majorée.
