X Maths B MP 2018 — Énoncé 1 / 4
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2018 FILIÈRE MP
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B
Durée : 4 heures
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve
Samedi 5 mai 2018, 9h00 – 13h00
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X Maths B MP 2018 — Énoncé 2 / 4
Pour des raisons qui apparaîtront dans la Troisième Partie, on utilise deux entiers naturels distincts n (minuscule) et N (majuscule). Les candidats sont priés de respecter les notations de l’énoncé.
On désigne par R
n[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à n.
Le sous-espace de R
n[X] formé des polynômes pairs (c’est-à-dire vérifiant P (−X) = P (X)) est noté Π
n, et celui des polynômes impairs (c’est-à-dire vérifiant P (−X) = −P (X)) est noté J
n.
On définit l’ensemble A
Nformé des P ∈ R
N[X], tels que P (−1) = P (1) = 1, qui satisfont de plus P (x) > 0 pour tout x dans l’intervalle [−1, 1]. On définit sur R
N[X] une forme linéaire L par
L(P ) = Z
1−1
P (x) dx.
L’objet du problème est l’étude de sa borne inférieure a
Nsur le sous-ensemble A
N: a
N= inf{L(P ) | P ∈ A
N}.
Questions préliminaires
1. (a) Vérifier que A
Nest une partie convexe de R
N[X].
(b) Montrer que l’expression
kP k
1= Z
1−1
|P (x)| dx définit une norme sur R
N[X].
(c) Montrer que A
Nest fermé dans l’espace vectoriel normé ( R
N[X], k · k
1).
2. (a) Montrer que la borne inférieure de L sur A
Nest atteinte.
Dans la suite, on notera B
Nl’ensemble des P ∈ A
Ntels que L(P ) = a
N. (b) Montrer que B
Nest une partie convexe compacte.
(c) Vérifier que B
Ncontient un polynôme pair.
Première Partie
On munit R
n[X] du produit scalaire défini par
hP, Qi = Z
1−1
P (x)Q(x)dx,
et de la norme associée
kP k
2= p hP, Pi
(on ne demande pas de vérifier qu’il s’agit bien d’un produit scalaire et d’une norme).
Pour j ∈ N , on définit le polynôme
P
j(X) = 1 2
jj!
d
jdX
j(X
2− 1)
j. Par convention, P
0= 1.
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3. (a) Quel est le degré de P
j?
(b) Montrer que P
jest un polynôme pair ou impair, selon la valeur de j.
(c) Montrer que P
j(1) = 1 et P
j( − 1) = ( − 1)
j.
4. Au moyen de l’intégration par parties, montrer que la famille (P
j)
06j6nest orthogonale dans R
n[X].
5. On note
g
j= Z
1−1
P
j(x)
2dx, I
j= Z
1−1
(1 − x
2)
jdx.
(a) Établir une relation entre g
jet I
j.
(b) Trouver une relation entre I
jet I
j−1− I
j, et en déduire une relation de récurrence pour la suite (I
j)
j∈N.
(c) En déduire la valeur de I
j, puis celle de g
j.
6. (a) Montrer que la famille (P
j)
06j6nest une base de R
n[X].
(b) En déduire que la famille (P
2j)
06j6n2
est une base de Π
n, tandis que la famille (P
2j+1)
06j6n−12
est une base de J
n.
Deuxième Partie
On choisit un polynôme pair dans B
N(voir la question 2.c), et on le note R
N.
7. Montrer qu’il existe des nombres entiers r, s, t > 0, des nombres réels c
1, . . . , c
rdifférents de ± 1, des réels non nuls ρ
1, . . . , ρ
set des nombres complexes w
1, . . . , w
tqui ne sont ni réels ni imaginaires purs, tels que
R
N(X) =
r
Y
j=1
X
2− c
2j1 − c
2js
Y
k=1
X
2+ ρ
2k1 + ρ
2kt
Y
ℓ=1
X
2− w
2ℓ1 − w
2ℓ· X
2− w
ℓ21 − w
ℓ2.
8. On décide de remplacer tous les ρ
kpar des zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de R
N, X
2+ ρ
2k1 + ρ
2k,
par des facteurs X
2. On obtient ainsi un nouveau polynôme S
Nde même degré que R
N. Montrer que 0 6 S
N(x) 6 R
N(x) pour tout x ∈ [ − 1, 1], puis que S
N∈ B
N.
9. De même, dans la liste des c
j, on décide de remplacer ceux qui n’appartiennent pas à [ − 1, 1] par des zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de S
N,
X
2− c
2j1 − c
2j, par des facteurs X
2. On obtient ainsi un nouveau polynôme T
N.
Montrer que 0 6 T
N(x) 6 S
N(x) pour tout x ∈ [ − 1, 1], puis que T
N∈ B
N. 10. Soit w ∈ C un nombre qui n’est ni réel ni imaginaire pur.
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X Maths B MP 2018 — Énoncé 4 / 4
(a) Montrer que l’équation
z − 1 z + 1
=
w − 1 w + 1
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par w. Vérifier que l’intervalle ] − 1, 1[ coupe ce cercle en un point unique ; on notera y ce point. On exprimera y en fonction du nombre
λ =
w − 1 w + 1 . (b) Montrer l’inégalité
1 − w 1 − y > 1.
(c) Montrer que l’équation
z − w z − y
=
1 − w 1 − y définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par 1 et par −1.
En déduire que, pour tout x ∈ [−1, 1] \ {y}, on a
w − x y − x
>
w − 1 y − 1 =
w + 1 y + 1 . 11. Conclure que R
Na toutes ses racines dans l’intervalle [−1, 1].
Troisième Partie
On note n la partie entière de
N2. On poursuit l’étude du polynôme R
N. 12. Montrer que degR
N= 2n.
13. Montrer que R
Nest le carré d’un polynôme : R
N(X) = U
N(X)
2où U
N(1) = 1 et U
N(−1) = ±1. Que peut-on dire de la parité de U
N?
14. On suppose dans cette question que U
Nest pair ; on a donc U
N∈ Π
n. Dans Π
n, l’équation P(1) = 1 définit un sous-espace affine noté H
n.
(a) Montrer que
kU
Nk
2= min{kP k
2| P ∈ H
n}.
(b) En déduire qu’il existe un nombre réel µ tel que pour tout entier 0 6 j 6
n2, on a hU
N, P
2ji = µ.
(On pourra considérer des polynômes P ∈ H
nde la forme U
N+ t(P
2j− P
2k) avec t ∈ R.) (c) Exprimer U
Ndans la base des P
2j. En déduire que
1 µ = X
06j6n
2
1 g
2j.
(d) Établir dans ce cas la formule
a
N=
X
06j6n
2
1 g
2j
−1
![• Il existe un unique point fixe r de la fonction g(x) dans l’intervalle [a,b]. •](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)