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Submitted on 1 Jan 1985
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Etude d’une machine à réluctance variable en régime sinusoïdal. Application à un prototype à disques
imbriqués de 200 kW
R. Goyet, R. Guillet, A. Leveque, J. Lucidarme, C. Rioux
To cite this version:
R. Goyet, R. Guillet, A. Leveque, J. Lucidarme, C. Rioux. Etude d’une machine à réluc- tance variable en régime sinusoïdal. Application à un prototype à disques imbriqués de 200 kW.
Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1985, 20 (9), pp.661-670.
�10.1051/rphysap:01985002009066100�. �jpa-00245381�
661-
Etude d’une machine à réluctance variable en régime sinusoïdal.
Application à un prototype à disques imbriqués de 200 kW
R. Goyet, R. Guillet, A. Leveque, J. Lucidarme et C. Rioux
Laboratoire d’Electrotechnique, Universités Paris VI et XI, Bâtiment 214, 91405 Orsay, France (Reçu le 6 juin 1984, révisé les 12 octobre 1984 et 30 mai 1985, accepté le 6 juin 1985)
Résumé. 2014 Cet article propose une méthode générale d’étude des machines à réluctance variable fondée sur des essais en régime sensiblement sinusoïdal, en génératrice ou en moteur. Il confronte ensuite les résultats théoriques
attendus avec ceux de l’expérience à propos d’un prototype de puissance déjà significative (200 kW). Cette machine
possède une structure particulière, dite à disques imbriqués. La méthode reprend, en la développant, une théorie classiquement utilisée pour les machines synchrones en insistant sur certains points spécifiques de l’effet de réluc- tance variable. C’est ainsi que sont particulièrement étudiés les irrégularités de couple et le facteur de puissance.
Abstract. 2014 This paper propounds a general method for studying reluctance machines with is based on almost sine wave working, with tests as a generator or as a motor. Then it compares expected theoretical results with
experiment in the case of a prototype of significant power (200 kW). This machine has a special, so called imbricated disk, structure. The method utilizes classical theory of synchronous machines. It lays stress on certain points more specific of reluctance effect, for example torque undulations and power factor.
Revue Phys. Appl. 20 ( SEPTEMBRE 1985, PAGE 661
Classification Physics Abstracts
89 . 20A
1. Introduction.
1.1 DESCRIPTION DU PROTOTYPE. - Les machines à réluctance variable ont quelques avantages spéci- fiques : elles peuvent fournir leur couple nominal à
faible vitesse et ont des structures particulièrement simples liées à l’absence de bobinages au rotor. Elles
sont aussi très bien adaptées à une commande par convertisseur statique et les récents progrès de l’élec- tronique de puissance expliquent leur nouvel essor.
La machine expérimentée ici possède une structure particulière qui lui donne, en plus des avantages
précédents, un couple massique relativement élevé
[1, 2]. D’autres structures sont par ailleurs développées, présentant chacune un intérêt particulier; la plus répandue utilise un effet vernier créé par une différence entre le nombre de dents du rotor et du stator [3, 4].
Le prototype présenté ici est triphasé, il est formé
de trois machines monophasées magnétiquement indépendantes, disposées en ligne. Chacune de ces
machines a la structure présentée sur la figure 1, celle-ci comporte deux disques rotors et trois disques
stators. Tous les disques ont 24 plots magnétiques,
la fréquence et la vitesse de rotation nominales sont 200 Hz et 500 tours/min. Le prototype est associé à
un système d’acquisition de données capable de
mesurer le couple instantané à la sortie de l’arbre.
Un prototype semblable a déjà été construit et expé-
rimenté en moteur, il y a environ une dizaine d’années,
avec plusieurs sortes de convertisseurs [5, 6]. Celui présenté ici a un niveau de puissance et de couple
sensiblement plus élevé (200 kW, 4 000 Nm) et l’expé-
Fig. 1. - Structure d’une phase du prototype.
[Structure of a phase of the prototype.]
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:01985002009066100
rience concerne surtout le fonctionnement en géné-
rateur.
Dans une machine à réluctance variable, le fonc-
tionnement d’une phase est décrit par la courbe fermée parcourue à chaque période électrique dans
le plan (flux)-(ampères-tours), (flux à travers la surface
d’un disque et ampères-tours dans le bobinage stator).
Cette courbe, appelée cycle, est disposée entre deux
autres courbes limites qui correspondent aux positions
du rotor où l’inductance du bobinage est extrême.
Celles-ci peuvent être relevées à l’arrêt lorsque les plots du rotor et du stator sont en conjonction (induc-
tance maximale) puis en opposition (inductance minimale).
Les courbes obtenues sont portées sur la figure 2a
avec, en ordonnée, le flux relevé entre les rayons intérieur et extérieur des plots. En régime linéaire
les pentes de ces courbes donnent les perméances
relatives à la région des plots : 13,6 et 4 03BCH. Les
inductances mesurées aux bornes du bobinage sont
un peu plus élevées du fait des fuites magnétiques.
On trouve L = 15,5 et 1 = 5,3 pH pour une spire de bobinage. La surface comprise entre les deux courbes extrêmes et une droite à ampères-tours constants
donne le maximum d’énergie disponible par cycle.
Avec 13 250 A on trouve 600 J, ceci donne à 200 Hz
une puissance théorique de (3 x 600 x 200 = 360 kW),
sensiblement supérieure à la puissance nominale
retenue (200 kW).
Fig. 2a. - Courbes (flux)-(ampères-tours) en conjonction
et en opposition.
[(Flux)-(amperes-tours) curves at conjunction and oppo-
sition.]
1. 2 FORMES DE RÉLUCTANCE. - L’étude qui est effec-
tuée dans cet article concerne principalement le
fonctionnement en génératrice. Celui-ci est développé
dans les paragraphes 2, 3 et 4 ; on y trouve successi- vement :
- Une première partie théorique, entièrement
analytique, valable seulement en régime non saturé.
Dans cette partie la réluctance A d’une phase est
exprimée en fonction de la position 0 du rotor et du
nombre de plots p d’un disque ; on utilise la forme
dans laquelle les réluctances R et r sont obtenues à partir des inductances extrêmes L et 1 par les rela- tions :
et
Cette forme R(03B8) conduit à un modèle donnant de façon correcte les performances globales de la
machine. Il est développé pour son intérêt analytique
et est surtout utilisé dans la recherche du régime de
fonctionnement optimal conduisant au choix des composants de la charge.
- Une seconde partie expérimentale où sont
donnés les composants utilisés et les résultats obte-
nus, ceux-ci sont ensuite comparés avec les pré-
cédents. Il apparaît alors un assez bon accord concer- nant les valeurs faisant intervenir une moyenne sur
une période (puissance, tensions et courants efficaces).
Les grandeurs instantanées de l’expérience diffèrent
par contre sensiblement de celles fournies par le modèle.
- Une troisième partie où est développé un
modèle numérique plus complexe réalisant l’accord cherché. Celui-ci utilise une forme de réluctance R(03B8)
comportant des harmoniques en 0 et incluant l’effet
de la saturation du fer.
La précision d’un modèle peut être contrôlée à l’aide de quelques mesures statiques et en rotation
à vide. Par exemple les variations de 3t avec 0 déter- minent l’allure du couple C(0) obtenu à l’arrêt, en
différentes positions du rotor, lorsque le bobinage
est parcouru par des ampères-tours inducteurs le.
On a en effet :
De même, lorsque la machine tourne à vide à une
vitesse constante d03B8 d03C4 i est le temps) la tension aux
bornes du bobinage parcouru par les ampères-tours le
est :
Elle est donc de même forme que la courbe précé-
dente. Dans cet essai à vide on peut aussi relever
l’intégrale de la tension, on obtient ainsi l’inductance
663
£ = 1 en fonction de 0. Ces différentes courbes sont Ji
données sur les figures 2b et 2c. On trouve à côté des
mesures expérimentales les courbes correspondant à
deux modèles possibles de type sinusoïdal :
- Celui retenu dans l’article où la réluctance 9t est du type,% = R + r cos p6.
- Celui où c’est l’inductance qui est donnée par
une forme du type C = A - a cos p03B8
Fig. 2b. - Couple d’une phase en fonction de la position
du rotor.
[Single phase torque according to rotor position.]
Fig. 2c. - Inductance d’une phase fonction de la position
du rotor.
[Single phase inductance according to rotor position.]
avec
Ces deux premières expressions, qui donnent les
mêmes inductances extrêmes, sont à peu près équi-
valentes du point de vue précision. Nous avons préféré
la première qui donne une meilleure description des
variations d’inductance (Fig. 2c). Notons que les courbes de la figure 2b laissent prévoir une imprécision
du modèle concernant le couple instantané, surtout
en régime saturé. Les 9 300 ampères-tours indiqués qui
donnent un fonctionnement déjà un peu saturé sont en effet nettement dépassés au régime nominal (Fig. 2a).
- Le dernier paragraphe 5 complète les points de
vue précédents en abordant le fonctionnement en moteur alimenté par le secteur.
2. Représentation analytique du fonctionnement en
génératrice.
2.1 MODÈLE SINUSOÏDAL ÉQUIVALENT. COURBES DE
PUISSANCE. - Le modèle simplifié de réluctance est utilisé tout d’abord en fonctionnement en génératrice.
Le développement est orienté vers la détermination de la puissance recueillie dans la charge en fonction
de la nature, résistance et capacité, de celle-ci.
Chaque phase est supposée caractérisée par le
système :
0 = 1 (03C903C4 + ~) (co : pulsation électrique, T : temps)
p
(tension par spire). On a Uo = cooo - (4)
Les ampères-tours continus inducteurs 7g et alter-
natifs induits I(r) sont alors tels que :
Ici dans le fonctionnement en génératrice, la tension
n’est pas exactement sinusoïdale, les relations (3) et (4)
sont donc approchées. Plus loin, en fonctionnement en moteur, on retrouvera les mêmes équations, mais
exactes cette fois puisque l’alimentation par le réseau est sinusoïdale. Dans les deux cas, la résolution de
l’équation (5) est compliquée par la présence d’harmo- niques. Nous allons la simplifier en limitant le déve- loppement au fondamental de la composante alter- native de I(r). Le modèle correspondant est appelé
modèle sinusoïdal équivalent. On trouve à partir de (5) :
Le circuit induit possède n spires et il est chargé par
un ensemble comportant sur chaque phase une résis-
tance S’ et un condensateur C’ placés en parallèle.
Sur la figure 3, ces composants, ramenés à une spire,
deviennent :
Fig. 3. - Diagramme de Fresnel du fonctionnement en
génératrice.
[Fresnel diagram of generator working.]
L’expression (7) conduit au diagramme de Fresnel
de la figure 3 où sont également données les conven-
tions de signe ; I0 y désigne l’amplitude de I(r).
L’étude du système est simplifiée par l’introduction R
du paramètre t = tg ç = S Cco - - .
La puissance P fournie à la charge par une phase
est alors :
Les courbes correspondantes sont données sur la figure 4 avec C’ comme variable et S’ comme para- mètre. Elles sont tracées pour une fréquence f= 200 Hz
et un nombre de spires n = 8. Ces courbes pourraient
être graduées de façon plus générale en fonction des
courants et des composants ramenés à une spire de bobinage. La présentation adoptée ici facilite la com- paraison avec les résultats d’expérience fournis par la
suite.
Sur ces courbes, on note deux valeurs remarquables
de t : .
* (t = 0) : la capacité C est accordée avec l’induc-
tance L = 1 R. La p uissance est très proche de son maximum, on réalise ainsi une adaptation entre la génératrice et sa charge. Au voisinage de t = 0, la relation (6) se simplifie en le = ROr. Le système
Fig. 4. - Adaptation de la charge.
[Load adaptation.]
(6)-(7) indique que la machine se comporte comme un transformateur statique parfait qui aurait
2022 un rapport de nombres de spires 1 = R
9 r
2022 une alimentation primaire en courant d’amplitude I. et de pulsation w,
e une charge secondaire du type circuit oscillant arallèle : S, L = 1 R, C.
parallèle : S, L = R
Le point C’ = 1000 pF et S’ = 1,45 Q, noté sur la
figure 4, correspond aux conditions retenues pour
l’expérience. Avec le = 5 124 A celle-ci a donné P = 205 kW, alors que le modèle sinusoïdal équivalent
conduit à P = 3 x 2,8 x 10-3 x (5 124)’ = 220 kW.
L’écart donne une idée de la précision des calculs.
Celle-ci est surtout limitée par les non-linéarités du
système (saturation, courbes de conjonction et d’oppo- sition, ...). Elles expliquent par exemple pourquoi à la
résonance la puissance n’augumente pas indéfini- ment avec S’.
* t = - B SR west une valeur correspondante à
l’absence de condensateur. Ici contrairement au cas t = 0, il existe une valeur de S’ donnant P maximum.
2.2 COURBES DE RÉGULATION. - Dans une machine
synchrone il est d’usage de présenter les résultats précédents sous forme de courbes donnant la puissance
en fonction des courants inducteurs et induits. Ce sont les courbes de régulation ou de « Mordey » de la
machine. Elles concernent le cas général où la charge
est de nature capacitive ou inductive. Si l’on ajoute
une inductance en parallèle avec S et C sur la figure 3, la puissance P est toujours donnée par la relation (9) mais avec cette fois :
665
Les courbes de régulation s’obtiennent à partir des
relations (11) et (12) suivantes déduites de (7) et (9) :
Io : Ampères-tours induits (11)
Ie : Ampères-tours inducteurs (12) Io et U° sont dans ces formules les amplitudes des grandeurs concernées.
Les courbes sont tracées figure 5 pour deux valeurs
particulières des paramètres Uo et w. Chaque courbe correspond à une valeur donnée P que l’on a rapportée
à l’ensemble des 3 phases du dispositif. On fixe d’abord le courant 109 la relation (11) donne alors deux valeurs
possibles pour t. Celles-ci, reportées dans la relation
(12), conduisent à deux courants d’excitation le, l’un faible, l’autre fort. Sur la figure 5 en ordonnée est porté
le courant efficace Im dans l’induit lorsque celui-ci possède n = 8 spires ce cas étant celui de l’expérience présentée au paragraphe 3 suivant. On a IM = jo .
82
La tension Uo choisie est celle donnant aux bornes de ces 8 spires une tension efficace V = 8 U0 2 = 294 V.
La pulsation 03C9 correspond à la fréquence f = 03C9 2 03C0 =
200 Hz.
D’un point de vue géométrique les deux solutions
correspondent à deux vecteurs 10 symétriques par rapport à Uo. Dans un cas la charge est de type capa- citif (faible valeur de Ie), dans l’autre elle est de type inductif (forte valeur de Ie).
A côté des courbes à puissance constante on trouve
sur la figure 5 des courbes à facteur de puissance X
constant. Celles-ci sont obtenues à partir de (13) et (12), (13) étant déduit de (11) par l’introduction du para- mètre X = 2 . 00
On fixe d’abord I. et X, (13) donne alors deux valeurs de t qui, portées dans (12), conduisent à deux valeurs des ampères-tours d’excitation le.
Le double réseau de courbes à P et X constants
dégage tout d’abord la possibilité d’augmenter le
courant d’excitation pour obtenir une puissance
donnée avec un meilleur facteur de puissance. Cette tendance, classique pour les machines synchrones est limitée, avec les machines à réluctance, par des consi- dérations de couple instantané. Celui-ci ne doit pas en
effet présenter trop d’irrégularités. Nous allons voir
que c’est le cas avec un courant d’excitation trop élevé.
Fig. 5. - Courbes de régulation à 200 Hz et 294 Veff aux bornes de l’induit monté avec 8 spires. Modèle sinusoïdal.
[Regulation curves at 200 Hz and 294 VRMS at the ends of armature coil with 8 turns. Sine wave model.]
2. 3 IRRÉGULARITÉS DE COUPLE. - Le couple instan-
tané est donné par l’expression :
celle-ci, limitée au fondamental, s’écrit :
On peut alors exprimer simplement Cc et Co en fonc-
tion de deux courants K et J respectivement en phase et en quadrature de phase avec vo sur la figure 3 :
On trouve :
et
avec
On peut ainsi connaître en chaque point de fonc-
tionnement le rapport Y = C0/Cc. Ce rapport carac- térise les irrégularités de couple. Des valeurs trop élevées de Y risquent de solliciter exagérément la ligne
d’arbre ou d’y engendrer des vibrations de torsion.
Dans un moteur à explosion Y est habituellement voisin de 3. Pour notre machine, les valeurs de Y sont portées sur la figure 5 à l’intersection des courbes à puissance constante et des courbes à facteur de
puissance constant. Il apparaît alors que le fonction- nement à facteur de puissance unité est trop contrai- gnant pour la machine (Y = 6 à 200 kW). On est ainsi
conduit à réduire le courant d’excitation jusqu’à la
valeur minimale permettant d’obtenir une puissance
P donnée. C’est ainsi en effet que Y est minimum. Dans
ces conditions, pour obtenir 200 kW il faut se placer
au point projeté sur les axes à la figure 5. Celui-ci correspond aux valeurs numériques données en pre- mière colonne sur le tableau de la figure 6.
Fig. 6. - Circuits et résultats des essais en fonctionnement
en génératrice.
[Circuit and results for generator working.]
3. Essais en génératrice.
L’expérience a été menée avec une charge S’, C’
légèrement différente de celle utilisée avec le modèle.
Les valeurs adoptées pour S’et C’ ainsi que les résul- tats obtenus sont portés dans la deuxième colonne du tableau de la figure 6. Ceux-ci s’écartent au maximum de 10 % des prévisions du modèle. Ce dernier est donc très intéressant pour avoir les performances globales
de la machine. Pour les valeurs instantanées, il est
par contre insuffisant, ceci est illustré par les courbes de courant et de couple de la figure 7. Le courant est celui dans une phase de l’induit, il s’écarte sensiblement
Fig. 7. - Courant induit et couple à la sortie du prototype.
[Induced current and output torque of the prototype.]
667
d’une sinusoïde. On observe le même type de phénol
mène sur les courbes de tension ou sur le cycle flux- ampères-tours obtenu. Ce dernier est porté sur la figure 2a entre les courbes limites de conjonction et d’opposition il apparaît relativement éloigné de l’ellipse
donnée par le modèle sinusoïdal.
Sur la figure 7 on trouve aussi le couple mesuré à la
sortie du prototype ; il est obtenu à l’aide d’une jauge
de contrainte collée sur l’arbre et associée à un système
de télémesure antérieurement décrit [7]. On constate
que ce couple est légèrement ondulé. Il est donc diffé- rent de la somme des trois couples électromagnétiques monophasés donnés par le calcul. Ces derniers sont obtenus à partir de la forme (15) par décalages succes-
sifs de 2 03C0/3 et leur somme est alors forcément cons-
tante. L’écart entre le couple mesuré et la somme des
3 couples monophasés résulte conjointement de :
- La présence d’harmoniques dans les courbes de courant, de flux et de réluctance. Celles-ci compliquent
la forme de couple obtenue à la relation (14).
- La présence d’inerties et de raideurs le long du
rotor. Celles-ci exercent un effet de filtre sur les com-
posantes harmoniques du couple.
Le paragraphe suivant apporte un élément de
réponse relativement au premier point : il donne les résultats de calculs sur ordinateur incluant la présence
de plusieurs harmoniques. Le second point concernant
les vibrations de torsion de la ligne d’arbre n’est pas abordé dans cet article. C’est un problème de méca- nique classique déjà largement étudié dans le cas des moteurs à explosion polycylindriques.
Signalons enfin que la mesure du couple a permis
d’atteindre le rendement q de la machine; dans les
conditions de l’essai de la figure 6 on a trouvé q = 0,96.
4. Simulation numérique des essais en génératrice.
Pour obtenir l’influence des différentes harmoniques il
faut résoudre directement les équations différentielles du système en y introduisant les formes exactes de réluctance. Le modèle mis au point utilise une réluc-
tance 3t fonction à la fois de la position 0 du rotor
et du flux 0 embrassé par le bobinage. Nous avons
cherché une expression R(03B8, 03A6) qui redonne les mêmes résultats que ceux de l’expérience dans le type d’essais décrits au paragraphe 1.2. On arrive alors aux résul- tats suivants : pour un flux 0 donné, l’expression R(03B8, 03A6) est une série de Fourier comportant quatre harmoniques en 0. Pour une position donnée 0, l’expression J1 est un polynôme du quatrième degré
en 0. On a :
L’identification des 25 coefficients Rmn est effectuée à l’aide d’essais indirects où l’on mesure le flux et le courant ; ce sont des essais à l’arrêt ou en rotation à
vide. Dans les essais à l’arrêt, on décharge brusquement
un condensateur dans une phase de la machine;
dans les essais en rotation, on utilise des ampères-tours
d’excitation continus constants le. Dans les deux cas on relève le flux (P par intégration de la tension aux
bornes du bobinage. La connaissance simultanée de ce flux 03A6 et des ampères-tours Ie, à chaque position 0, donne les mesures expérimentales de la fonction
R(03B8, 03A6) = Ie 03A6(5).
Les mesures expérimentales sont comparées avec
celles données par la forme (19) à l’aide de la méthode des moindres carrés. Ceci conduit à la détermination des coefficients R",n. L’expression (19) est alors portée
dans les équations générales du paragraphe 2. 1, la résolution du système étant réalisée par une méthode pas à pas du type Runge-Kutta.
Les résultats obtenus concernant les courbes de courant et de tension se correspondent à quelques
pour cent près (5 %).
Pour le calcul du couple instantané, la forme sim-
plifiée (14) est remplacée par une expression plus complexe valable en régime saturé :
On peut ainsi accéder au couple monophasé inac-
cessible à la mesure sur notre prototype. Les courbes de la figure 8 donnent quelques allures de couple et de cycle flux-ampères-tours obtenus avec différentes
Fig. 8. - Couples et cycles pour différentes charges.
[Torques and cycles at différent loads.]
