Démonstration de la relation de conversion de puissance électromécanique parfaite dans une machine tournante en régime permanent

Démonstration de la relation de

conversion de puissance électromécanique parfaite dans une machine tournante en régime permanent

1. Moteur synchrone et moteur à courant continu

• Bilan de puissance électrique : tiré de la loi des mailles appliquée à l’enroulement rotorique et à (aux) enroulement(s) statorique(s)

𝒫_{é𝑙𝑒𝑐}^{𝑎𝑙𝑖𝑚} = 𝒫_{𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒} + 𝒫_{𝑓𝑐é𝑚}

où {

𝒫⏟ _{𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒}

>0

= 𝒫⏟ _𝐶𝑢+ 𝒫_𝐹𝑒

pertes modélisées par les résistances

𝒫_{𝑓𝑐é𝑚}

⏟

>0

= 𝐸⏟ ₁𝑖₁+ 𝐸₂𝑖₂

moteur synchrone diphasé

ou 𝐸𝐼⏟_𝑟

moteur CC

• Bilan de puissance mécanique : tiré du théorème du moment cinétique ou du théorème de l’énergie cinétique appliqué au rotor

𝒫_𝑒𝑚^{𝑚é𝑐𝑎}= Γ⏟ _𝑒𝑚Ω

>0

= 𝒫⏟ _{𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡}

>0

+ 𝒫_{𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒}^{𝑚é𝑐𝑎}

• Bilan de puissance global :

𝒫_{é𝑙𝑒𝑐}^{𝑎𝑙𝑖𝑚} = 𝒫_{𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠}+ 𝒫_{𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒}^{𝑚é𝑐𝑎}= 𝒫_{𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒}+ 𝒫_{𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡}+ 𝒫_{𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒}^{𝑚é𝑐𝑎} Donc 𝒫_{é𝑙𝑒𝑐}^{𝑎𝑙𝑖𝑚} = 𝒫_{𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒} + 𝒫_𝑒𝑚^{𝑚é𝑐𝑎}, soit :

𝒫_{𝑓𝑐é𝑚} = 𝒫_𝑒𝑚^{𝑚é𝑐𝑎}

Γ_𝑒𝑚Ω

⏟

>0

= {

𝐸⏟ ¹𝑖₁+ 𝐸₂𝑖₂

moteur synchrone diphasé

𝐸𝐼⏟_𝑟

moteur CC

2. Alternateur synchrone ou génératrice CC

• Bilan de puissance électrique : tiré de la loi des mailles appliquée à l’enroulement rotorique et à (aux) enroulement(s) statorique(s)

𝒫_𝑓é𝑚 = 𝒫_{𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒}+ 𝒫_{𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒}^{é𝑙𝑒𝑐}

où { 𝒫⏟ ^{𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒}

>0

= 𝒫⏟ _𝐶𝑢+ 𝒫_𝐹𝑒

pertes modélisées par les résistances

𝒫⏟_𝑓é𝑚

>0

= 𝑒⏟ ₁𝑖₁ + 𝑒₂𝑖₂

alternateur diphasé

ou 𝑒𝐼⏟_𝑟

génératrice CC

• Bilan de puissance mécanique : tiré du théorème du moment cinétique ou du théorème de l’énergie cinétique appliqué au rotor

𝒫_{𝑚é𝑐𝑎}^𝑜𝑝 = 𝒫⏟ _{𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡}

>0

− 𝒫⏟ _𝑒𝑚^{𝑚é𝑐𝑎}

Γ_𝑒𝑚Ω<0

• Bilan de puissance global :

𝒫_{𝑚é𝑐𝑎}^𝑜𝑝 = 𝒫_{𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠}+ 𝒫_{𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒}^{é𝑙𝑒𝑐} = 𝒫_{𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡}+ 𝒫_{𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒}+ 𝒫_{𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒}^{é𝑙𝑒𝑐} Donc 𝒫_{𝑚é𝑐𝑎}^𝑜𝑝 = 𝒫_{𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡}+ 𝒫_𝑓é𝑚, soit :

𝒫_𝑓é𝑚+ 𝒫_𝑒𝑚^{𝑚é𝑐𝑎} = 0

Γ_𝑒𝑚Ω + {

𝑒⏟ ¹𝑖₁+ 𝑒₂𝑖₂

alternateur diphasé

𝑒𝐼⏟_𝑟

génératrice CC}

= 0