Démonstration de la relation de
conversion de puissance électromécanique parfaite dans une machine tournante en régime permanent
1. Moteur synchrone et moteur à courant continu
• Bilan de puissance électrique : tiré de la loi des mailles appliquée à l’enroulement rotorique et à (aux) enroulement(s) statorique(s)
𝒫é𝑙𝑒𝑐𝑎𝑙𝑖𝑚 = 𝒫𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 + 𝒫𝑓𝑐é𝑚
où {
𝒫⏟ 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒
>0
= 𝒫⏟ 𝐶𝑢+ 𝒫𝐹𝑒
pertes modélisées par les résistances
𝒫𝑓𝑐é𝑚
⏟
>0
= 𝐸⏟ 1𝑖1+ 𝐸2𝑖2
moteur synchrone diphasé
ou 𝐸𝐼⏟𝑟
moteur CC
• Bilan de puissance mécanique : tiré du théorème du moment cinétique ou du théorème de l’énergie cinétique appliqué au rotor
𝒫𝑒𝑚𝑚é𝑐𝑎= Γ⏟ 𝑒𝑚Ω
>0
= 𝒫⏟ 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡
>0
+ 𝒫𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒𝑚é𝑐𝑎
• Bilan de puissance global :
𝒫é𝑙𝑒𝑐𝑎𝑙𝑖𝑚 = 𝒫𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠+ 𝒫𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒𝑚é𝑐𝑎= 𝒫𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒+ 𝒫𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡+ 𝒫𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒𝑚é𝑐𝑎 Donc 𝒫é𝑙𝑒𝑐𝑎𝑙𝑖𝑚 = 𝒫𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 + 𝒫𝑒𝑚𝑚é𝑐𝑎, soit :
𝒫𝑓𝑐é𝑚 = 𝒫𝑒𝑚𝑚é𝑐𝑎
Γ𝑒𝑚Ω
⏟
>0
= {
𝐸⏟ 1𝑖1+ 𝐸2𝑖2
moteur synchrone diphasé
𝐸𝐼⏟𝑟
moteur CC
2. Alternateur synchrone ou génératrice CC
• Bilan de puissance électrique : tiré de la loi des mailles appliquée à l’enroulement rotorique et à (aux) enroulement(s) statorique(s)
𝒫𝑓é𝑚 = 𝒫𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒+ 𝒫𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒é𝑙𝑒𝑐
où { 𝒫⏟ 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒
>0
= 𝒫⏟ 𝐶𝑢+ 𝒫𝐹𝑒
pertes modélisées par les résistances
𝒫⏟𝑓é𝑚
>0
= 𝑒⏟ 1𝑖1 + 𝑒2𝑖2
alternateur diphasé
ou 𝑒𝐼⏟𝑟
génératrice CC
• Bilan de puissance mécanique : tiré du théorème du moment cinétique ou du théorème de l’énergie cinétique appliqué au rotor
𝒫𝑚é𝑐𝑎𝑜𝑝 = 𝒫⏟ 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡
>0
− 𝒫⏟ 𝑒𝑚𝑚é𝑐𝑎
Γ𝑒𝑚Ω<0
• Bilan de puissance global :
𝒫𝑚é𝑐𝑎𝑜𝑝 = 𝒫𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠+ 𝒫𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒é𝑙𝑒𝑐 = 𝒫𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡+ 𝒫𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒+ 𝒫𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒é𝑙𝑒𝑐 Donc 𝒫𝑚é𝑐𝑎𝑜𝑝 = 𝒫𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡+ 𝒫𝑓é𝑚, soit :
𝒫𝑓é𝑚+ 𝒫𝑒𝑚𝑚é𝑐𝑎 = 0
Γ𝑒𝑚Ω
⏟
<0
+ {
𝑒⏟ 1𝑖1+ 𝑒2𝑖2
alternateur diphasé
𝑒𝐼⏟𝑟
génératrice CC}
= 0