RELATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE (CORRIGES) :
1. Tension sur un anneau de corde :
L’équilibre dynamique s’écrit vectoriellement : F T T 1 2 0 avec en norme T1 = T2 = T.
La même valeur de tension T, en norme, s’exerce tout au long de l’anneau de corde.
En projetant sur la base ( , )e e x y on tire : T = F/(2cos).
Chaque piton subit l’action des deux brins de la corde. La résultante exercée sur chaque piton est donc :
( cos ) sin tan 1
2 x 2 y 2 cos x 2 y
F F
T T e T e e e
soit en norme :
2 1 2 2
4 tan cos 4
piton
F F
T
Si α devient faible, Tpiton tend vers F/2 ; si α se rapproche de /2, alors Tpiton augmente très rapidement.
2. Tension d’un fil massique :
Si on coupe le câble en P, de cote x décomptée à partir du point d’attache O. Le point P doit subir une tension verticale qui va compenser le poids de la partie inférieure du câble.
En norme : T = mg(L-x)/L. On vérifie bien que T = mg pour x = 0 et T= 0 pour x= L.
Autre approche : Ecrivons la R.F.D. pour un élément de fil de masse dm, compris entre les abscisses x et x+dx (l’axe (Ox) étant vertical descendant). Les actions qui s’exercent sur cet élément de fil seront son poids, la tension sur l’extrémité d’abscisse x et celle sur l’extrémité d’abscisse x+dx. En projetant l’équation d’équilibre de ces forces sur l’axe (Ox ) :
dm.g –T(x) + T(x+dx) = 0 avec dm = (m/L)dx équation différentielle donnant : dT/dx = - mg/L
d'où par intégration et avec la condition limite T(L) = 0 : T(x) = -mg((x/L) - 1).
On remarquera que T(0) = mg correspond au poids de l’ensemble de la corde.
3. Deux masses reliées par une poulie :
Toutes les actions envisagées se traduisent par des forces colinéaires à l’axe vertical.
Isolons d’abord la poulie en tant que système. La RFD amène à écrire que la somme des forces qu’elle subit est nulle, car sa masse étant négligeable, le terme mpoulie.poulie peut être considéré comme nul. La force F exercée sur l’axe de la poulie se répartit donc sur chaque masse en F/2.
Appliquons maintenant la RFD au système « masse m » : la masse m subit la tension du brin de gauche, de norme F/2, dirigée vers le haut, la réaction du support (tant que la masse m repose sur le plan horizontal, et son poids, de norme mg.
En projetant sur l’axe vertical : ( )
m 2 m
m z mgF R
De même en écrivant maintenant la RFD au système « masse M », et en projetant sur l’axe vertical : ( )
M 2 M
m z Mg F R
ex
ey
2α
m M
3 cas possibles : F < 2mg : pas de mouvement, les deux masses m et M reposent sur le plan de travail
; 2mg < F < 2Mg : seule m en mouvement, Rm s’annule dès que la masse m décolle ; F > 2Mg : m et M en mouvement, les réactions Rm et RM s’annulent.
4. Pendule conique : RFD : mg T m
; le mouvement ayant lieu par hypothèse selon une trajectoire circulaire horizontale, on aura en coordonnées cylindriques :
sin r OM l e
(z = cste) ; v l sin . e ;
2
sin . sin . r
l e l e
En explicitant la RFD sur la base cylindrique :
2
sin . sin . r sin r cos z
m ml e ml e T e T mg e
En identifiant termes à termes : 0 d /dt
donc = cste ;
T.cosα – mg = 0 donc T = mg / cos
et –ml sinα.2 = - T sinα qui donne : = arccos(g/l²).
5. Test de freinage :
R : en intégrant la R.F.D., on tire : Fo = mv1/T ; D = mv1²/(2.Fo).
En projetant la RFD sur l’axe horizontal (Ox) : m x Fo
avec la condition initiale v(t = 0) = v1, on intègre cette équation en : x Fot v1 m
L’arrêt du véhicule a lieu à l’instant T, donc 0 = v1 – Fo.T/m d’où Fo = mv1/T.
Une seconde intégration donne : 2 1 2
Fo
x t v t
m qui donne la distance d’arrêt en calculant x(t = T) : D = mv1²/(2.Fo).
La distance d’arrêt augmente avec le carré de la vitesse.
6. Crash-test :
a) La RFD projetée selon l’axe (Ox) donne : m x kx
En effet, vu le schéma, l’abscisse x du mobile correspond à la compression du ressort
Intégrons la R.F.D., avec les C.I. : x(0) = 0 et x(0)vi.
( ) cos k. sin k.
x t A t B t
m m
où A = 0 ;
alors ( ) k cos k.
x t B t
m m
qui impose : B vi m
k
b) La condition v(Δt) = 0 pour x(Δt) = lo/2 amène k = 4mvi²/lo² ; c) v(Δt) = 0 impose
2 k t m
d’où t = lo/(4vi) ;
vi
x = 0 lo / 2 lo
d) max = Fmax/m = k.xmax/m d’où max = 2vi²/lo
7. Satellite circulaire :
RFD : ( ) KMm2 r
m mG r e
r
; le mouvement ayant lieu par hypothèse selon une trajectoire circulaire, on aura en coordonnées polaires :
OMrer
avec r = cste ; v r e ;
2
. r
r e r e
Par identification on aura : 0 d/dt donc = cste mouvement circulaire uniforme ; v² = (r)² = KMm/r où r = R + h donc v² = KM/(R+ h).
vo = 7920 m/s = 28500 km/h pour h ≈ 0. T = 2(R+h)/v donne To = 1h 24mn 37s pour h ≈ 0.
8. Equilibre d’un point matériel :
1°) Les actions exercées sur l’anneau M(m) sont : son poids, la réaction du support, normale au cerceau (pas de frottement) et donc de direction radiale, la force de rappel élastique, portée par (MA).
Dans le triangle (AOM), isocèle, l’angle (AOM) vaut
- θ ; les angles (OAM) et (AMO) valent donc θ/2.
La condition d’équilibre se traduit par :
F k MA mg R 0Projetons cette relation sur la direction (Mx) tangente au cerceau en M, orientée dans le sens croissant de θ :
k.MA.sin(θ/2) - mg.cosθ = 0 avec MA = BA.cos(θ/2) = 2a. cos(θ/2) On tire : tan = mg/ka
Il y a deux solutions à cette équation : θ1 = atan(mg/ka) et θ2 = θ1 + .
2°) Pour discuter la stabilité, on envisage un déplacement dθ à partir d’une des positions d’équilibre et l’on discute du sens de la force dFx qui apparaît suite à ce déplacement.
dFx = d(ka.sinθ - mg.cosθ) = (ka.cosθ + mg.sinθ).dθ
Partant de 1 entre 0 et /2 ; dFx est du signe de dθ : équilibre instable, Partant de 2 = 1+ ; dFx est de signe opposé à celui de dθ : équilibre stable.
9. Les petites voitures : a) OMrer
avec r = cste ; v r e ;
2
. r
r e r e
Le mobile est soumis à la réaction de la sphère, orthogonale à sa surface et donc radiale, et à son poids, vertical.
Projetons la R.F.D. sur la base polaire :
2
. . r cos r sin
m mr e mr e mg R e mg e Par identification, on obtient : mr.mgsin
soit ( / )sing r (1)
O
Ao A B
M (m)
g
O
θ
et
2
. cos
mr mg R
(2)
En multipliant préalablement (1) membre à membre par le facteur qui conduit à
2
( / ) cos
2
d d
dt g r dt
, on intègre en
2 2
( / ) cos cos
2 2
o
g r o
soit
v2vo2
(2 ) cosgr
ocos
2 (g zoz)(3) avec z = r.cos.Remarque : le même résultat peut être établi à l’aide du théorème de l’énergie cinétique, écrit entre l’état initial (z = zo , v = vo) et l’état (z, v).
ΔEc = W s’écrit : m(v²-vo²)/2 = -mgΔz En utilisant l’équation (2), il vient :
2
cos v
mg m R
r soit en injectant le résultat (3) :
2
o 2 o
v z z
R mgz m mg
r r r
soit finalement :
2
3 z vo 2 zo
R mg m mg
r r r
b) La voiture quitte la sphère à partir du moment où la réaction R s’annule. Elle la quittera dès le départ pour R = 0 à z = zo, soit vo = V = gzo . AN :V = 3,0 m/s.
c) Si vo = V/2, la voiture quittera la sphère pour zd telle que R = 0, soit avec zo = r : zd = 3r / 4 donc pour un angle θd = acos(3/4) = 41° ; d’où l = r.θd = 30 cm.
10. Dérapage et virage relevé.
1. En mouvement de rotation uniforme, l’accélération est centripète :
𝑎⃗ = −𝑣 𝑅 𝑒⃗
La RFD s’écrit :
𝑅 ⃗ + 𝑅⃗ + 𝑚𝑔⃗ = −𝑣
𝑅 𝑒⃗ (1)
Il existe en fait aussi une force motrice, tangentielle à la trajectoire, qui va compenser les frottements (dans l’air, sur la route) auquel est soumis le véhicule et qui s’opposent à sa vitesse.
𝐹 ⃗ + 𝐹 ⃗ = 0⃗
La projection de (1) sur la direction radiale donne Rt = mv²/R et sur la direction verticale : Rn = mg.
La condition Rt < f.Rn impose donc mv²/R < f.mg soit finalement : 𝑣 < 𝑓. 𝑔. 𝑅
AN : v = 20 m.s-1= 72 km.h-1.
2. Pour un virage relevé, la vue en travers donne :
Le mouvement de rotation uniforme a toujours pour accélération, centripète : 𝑎⃗ = −𝑣
𝑅 𝑒⃗
La RFD s’écrit de même :
𝑅 ⃗ + 𝑅⃗ + 𝑚𝑔⃗ = −𝑣
𝑅 𝑒⃗ (1)
Il existe en fait aussi une force motrice, tangentielle à la trajectoire, qui va compenser les frottements (dans l’air, sur la route) auquel est soumis le véhicule et qui s’opposent à sa vitesse.
𝐹 ⃗ + 𝐹 ⃗ = 0⃗
La projection de (1) sur la direction radiale donne cette fois Rt .cosα + Rn .sinα = mv²/R et sur la direction verticale : Rn.cosα = mg.
Il vient donc Rn = mg/cosα.
La condition Rt < f.Rn avec Rt = (1/cosα).( mv²/R - Rn .sinα) amène après calculs : 𝑣 < 𝑅. (𝑓. 𝑔 + 𝑔. 𝑡𝑎𝑛𝛼)
AN : pour α = 5°, on obtient v’m = 20,9 m.s-1 = 75 km.h-1. L’effet est minime.
Pour α = 10° on aurait v’m = 79 km.h-1... Le facteur principal reste le rayon du virage et la tenue de route.
11. Chute à ski.
1. La réaction normale doit compenser la projection du poids sur la direction normale : N = mg.cosα.
T = f.N = f.mg.cosα.
2. La projection sur l’axe (Ox) de la RFD donne : mdv/dt = mg.sinα –f.mg.cosα – λ.v soit l’équation différentielle d’ordre 1 sur la vitesse :
𝑑𝑣 𝑑𝑡+ 𝜆
𝑚𝑣(𝑡) = g. sinα – f. g. cosα de solution, avec v(0) = 0 :
𝑣(𝑡) = 𝑚
𝜆 (g. sinα – f. g. cosα). 1 − 𝑒 / On en déduit :
𝑥(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 =𝑚
𝜆 (g. sinα – f. g. cosα). 𝑡 + 𝑚
𝜆 (g. sinα – f. g. cosα). 𝑒 / 3. v(t) tend vers la vitesse limite
𝑣 = 𝑚
𝜆 (g. sinα – f. g. cosα) vlim = 18,5 m/s= 67 km.h-1.
4. La durée pour atteindre vlim/2 est t1 = (m/λ).ln2 = 3,5 s.
5. L’équation du mouvement sur (Ox) devient près t1 : 𝑑𝑣
𝑑𝑡 = g. sinα – f′. g. cosα où f’ = 15.f = 0,75.
v(t) = v(t ) − (g. sinα – f′. g. cosα)(t − t ).
R
𝑅 ⃗
𝑅⃗ 𝑚𝑔⃗
α
Le mouvement est stoppé après une durée
δt = v(t ) g. sinα – f′. g. cosα soit après 3,7 s.
12. Jonglage :
a)En s’appuyant sur la définition d’un barycentre, ou centre d’inertie du système {(C, m) ;(A,mo)} où C est la centre du segment AB :
BG = (mL/2 +moL)/(m + mo) ;
b) G est soumis au poids de l’ensemble. Le point matériel (G,m + mo) a donc un mouvement d’accélération uniforme dans le champ de pesanteur. En projection sur l’axe vertical ascendant (Oz) : dvG(t)/dt = - g.
D’où par intégration vG(t) = vGo – gt
avec pour condition initiale : vGo = vo.BG/L ; lors du lancer, le mouvement de la barre AB est un mouvement de rotation autour d’un axe fixe passant par A, la vitesse de chaque point P de la barre est vP = AP.ω.
c) Pour avoir un tour il faut ∆θ = 2π= ω.∆t où ∆t est la durée nécessaire pour que G soit monté puis redescendu à l’altitude de lancement.
ω telle que vo = L.ω, fixée par la vitesse de lancer de l’extrémité A.
tm temps de montée, tel que vG(tm) = 0. La durée totale ∆t sera double de tm .
∆t = 2.tm = 2.vGo/g.
